Worldlex Wiki En mathématiques , une structure lisse sur une variété permet une notion non ambiguë de fonction lisse . En particulier, une structure lisse permet d'effectuer une analyse mathématique sur la variété.
est une collection d'atlas lisses équivalents de manière lisse. Ici, un atlas lisse pour une variété topologiqueest un atlas pourde sorte que chaque fonction de transition soit une application lisse , et deux atlas lisses poursont parfaitement équivalents à condition que leur union soit à nouveau un atlas lisse pourCela donne une relation d'équivalence naturelle sur l'ensemble des atlas lisses.Une variété différentiable est une variété topologique.ainsi qu'une structure lisse sur
Atlas lisses maximaux
L'union de tous les atlas appartenant à une structure lisse donne un atlas lisse maximal . Cet atlas contient toutes les cartes compatibles avec la structure lisse. Il existe une correspondance biunivoque naturelle entre les structures lisses et les atlas lisses maximaux. Ainsi, une structure lisse est un atlas lisse maximal et réciproquement.
En général, les calculs avec l'atlas maximal d'une variété sont assez complexes. Pour la plupart des applications, il suffit de choisir un atlas plus petit. Par exemple, si la variété est compacte , on peut trouver un atlas avec un nombre fini de cartes.
Équivalence des structures lisses
Sietsont deux atlas maximaux surles deux structures lisses associées àetsont dits équivalents s'il existe un difféomorphismetel queEn 1956, John Milnor a démontré que la sphère à 7 dimensions admet une structure lisse non équivalente à la structure lisse standard. Une sphère munie d'une structure lisse non standard est appelée sphère exotique .
Collecteur E8
La variété E8 est un exemple de variété topologique qui n'admet pas de structure lisse. Ceci démontre essentiellement que le théorème de Rokhlin n'est valable que pour les structures lisses, et non pour les variétés topologiques en général.
Structures apparentées
Les exigences de régularité sur les fonctions de transition peuvent être assouplies, de sorte que les applications de transition doivent seulement être-fois continûment différentiables ; ou renforcées, de sorte que les applications de transition doivent être analytiques réelles. En conséquence, cela donne unou une structure (réelle-)analytique sur la variété plutôt qu'une structure lisse. De même, une structure complexe peut être définie en exigeant que les applications de transition soient holomorphes.