Worldlex Wiki Définition formelle d'atlas
Un atlas d'un espace topologique est une famille indexée de cartes qui recouvrent ( c'est-à-dire, ). Si, pour un certain n fixé , l' image de chaque carte est un ouvert de l'espace euclidien de dimension n , alors on dit que est une variété de dimension n .
Le pluriel d'atlas est atlases , bien que certains auteurs utilisent atlantes .
Un atlas sur une variété de dimension n est dit adéquat si les conditions suivantes sont vérifiées :
Cartes de transition
Une carte de transition permet de comparer deux cartes d'un atlas. Pour ce faire, on considère la composition de l'une avec l' inverse de l'autre. Cette composition n'est pas bien définie à moins de restreindre les deux cartes à l' intersection de leurs domaines de définition. (Par exemple, si l'on dispose d'une carte de l'Europe et d'une carte de la Russie, on peut les comparer sur leur point de chevauchement, à savoir la partie européenne de la Russie.)
Plus précisément, supposons que et soient deux cartes d'une variété M telle que soit non vide . L' application de transition est l'application définie par
Notez que puisque et sont tous deux des homéomorphismes, l'application de transition est également un homéomorphisme.
Plus de structure
On souhaite souvent une structure plus complexe sur une variété que sa seule structure topologique. Par exemple, si l'on souhaite une notion univoque de différentiation des fonctions sur une variété, il est nécessaire de construire un atlas dont les fonctions de transition sont différentiables . Une telle variété est dite différentiable . Étant donné une variété différentiable, on peut définir sans ambiguïté la notion de vecteurs tangents , puis celle de dérivées directionnelles .
Si chaque fonction de transition est une application lisse , alors l'atlas est appelé atlas lisse , et la variété elle-même est dite lisse . On peut aussi exiger que les applications de transition n'aient que k dérivées continues, auquel cas l'atlas est dit lisse .
De manière générale, si chaque fonction de transition appartient à un pseudogroupe d'homéomorphismes de l'espace euclidien, alors l'atlas est appelé un -atlas. Si les applications de transition entre les cartes d'un atlas préservent une trivialisation locale , alors l'atlas définit la structure d'un fibré.