Worldlex Wiki Une autre propriété fondamentale des ensembles finis est que tout recouvrement d'un ensemble fini par des sous-ensembles admet un sous-recouvrement fini : pour chaque point de l'ensemble fini, on peut choisir un élément du recouvrement qui le contient. La propriété topologique correspondante sert à définir la compacité : un espace topologique est compact si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini. Dans les espaces métriques, cela est équivalent à plusieurs autres formulations, notamment la compacité séquentielle , bien que ces équivalences puissent ne pas être vérifiées dans des espaces topologiques plus généraux. Ainsi, toute suite dans l'intervalle fermé unité droite réelle . Pour les sous-ensembles de l'espace euclidien, la compacité est équivalente à la fermeture et à la bornitude , d'après le théorème de Heine-Borel . La propriété de compacité permet souvent de combiner des informations locales en conclusions globales. Le terme « ensemble compact » peut désigner soit un espace topologique compact, soit, plus couramment, un sous-ensemble d'un espace topologique qui est compact dans la topologie du sous-espace.
La notion de compacité a été formellement introduite par Maurice Fréchet en 1906 dans un travail généralisant le théorème de Bolzano-Weierstrass des ensembles de points aux espaces de fonctions. Plus tard, Pavel Alexandrov et Pavel Urysohn ont développé la formulation de recouvrement ouvert, aujourd'hui standard en topologie. La compacité joue un rôle central en mathématiques ; par exemple, les fonctions continues à valeurs réelles sur les espaces compacts admettent des maxima et des minima, et des résultats majeurs tels que le théorème d'Arzelà-Ascoli et le théorème d'existence de Peano reposent sur la compacité.
Bernard Bolzano ( 1817 ) savait que toute suite bornée de points (sur une droite ou dans un plan, par exemple) possède une sous-suite qui finit par converger arbitrairement vers un autre point, appelé point d'accumulation . La démonstration de Bolzano reposait sur la méthode de la dichotomie : la suite était placée dans un intervalle, puis divisée en deux parties égales, et l'on choisissait une partie contenant une infinité de termes de la suite. On pouvait ensuite répéter le processus en divisant l'intervalle ainsi réduit en parties de plus en plus petites, jusqu'à ce qu'il converge vers le point d'accumulation recherché. Toute la portée du théorème de Bolzano , et de sa démonstration, n'apparut qu'une cinquantaine d'années plus tard, lors de sa redécouverte par Karl Weierstrass .Dans les années 1880, il devint évident que des résultats similaires au théorème de Bolzano-Weierstrass pouvaient être formulés pour des espaces de fonctions et non plus seulement pour des nombres ou des points géométriques. L'idée de considérer les fonctions comme des points d'un espace généralisé remonte aux travaux de Giulio Ascoli et Cesare Arzelà . Le point culminant de leurs recherches, le théorème d'Arzelà-Ascoli , généralisait le théorème de Bolzano-Weierstrass aux familles de fonctions continues . Sa conclusion précise était qu'il était possible d'extraire une suite de fonctions uniformément convergente d'une famille de fonctions appropriée. La limite uniforme de cette suite jouait alors exactement le même rôle que le « point d'accumulation » de Bolzano. Au début du XXe siècle, des résultats similaires à ceux d'Arzelà et Ascoli commencèrent à s'accumuler dans le domaine des équations intégrales , notamment grâce aux travaux de David Hilbert et Erhard Schmidt . Pour une certaine classe de fonctions de Green issues de solutions d'équations intégrales, Schmidt avait démontré l'existence d'une propriété analogue au théorème d'Arzelà-Ascoli, au sens de la convergence en moyenne – ou convergence dans ce qui sera plus tard appelé espace de Hilbert . Ceci a finalement conduit à la notion d' opérateur compact , dérivée de la notion générale d'espace compact. C'est Maurice Fréchet qui, en 1906 , a dégagé l'essence de la propriété de Bolzano-Weierstrass et a forgé le terme de compacité pour désigner ce phénomène général (il avait déjà utilisé ce terme dans son article de 1904 , qui a mené à sa célèbre thèse de 1906).
Cependant, une notion de compacité tout à fait différente a également émergé progressivement à la fin du XIXe siècle, issue de l'étude du continu , considérée comme fondamentale pour la formulation rigoureuse de l'analyse. En 1870, Eduard Heine a démontré qu'une fonction continue définie sur un intervalle fermé et borné était en fait uniformément continue . Au cours de sa démonstration, il a utilisé un lemme selon lequel, parmi tout recouvrement dénombrable de l'intervalle par des intervalles ouverts plus petits, il est possible d'en sélectionner un nombre fini qui le recouvrent également. L'importance de ce lemme a été reconnue par Émile Borel ( 1895 ), et il a été généralisé à des ensembles quelconques d'intervalles par Henri Lebesgue ( 1904 ). Le théorème de Heine-Borel , comme on le connaît aujourd'hui, est une autre propriété particulière des ensembles fermés et bornés de nombres réels.
Cette propriété était importante car elle permettait de passer d'informations locales sur un ensemble (comme la continuité d'une fonction) à des informations globales sur cet ensemble (comme la continuité uniforme d'une fonction). Ce sentiment fut exprimé par intégrale qui porte désormais son nom . Finalement, l'école russe de topologie générale , sous la direction de Pavel Alexandrov et Pavel Urysohn , formula la compacité de Heine-Borel d'une manière applicable à la notion moderne d' espace topologique . compacité (relative) séquentielle , découlait, sous certaines conditions, de la version de la compacité formulée en termes d'existence de sous-recouvrements finis. C’est cette notion de compacité qui s’est imposée, car non seulement elle constituait une propriété plus forte, mais elle pouvait être formulée dans un cadre plus général avec un minimum de machinerie technique supplémentaire, puisqu’elle ne reposait que sur la structure des ensembles ouverts dans un espace.
Exemples de base
Tout espace fini est compact ; un sous-recouvrement fini peut être obtenu en choisissant, pour chaque point, un ouvert le contenant. Un exemple non trivial d'espace compact est l' intervalle unité (fermé) nombres réels . Si l'on choisit une infinité de points distincts dans l'intervalle unité, alors il existe nécessairement un point d'accumulation parmi ces points dans cet intervalle. Par exemple, les termes impairs de la suite bornesde l'intervalle, car lespoints d'accumulationdoivent appartenir à l'espace lui-même ; un intervalle ouvert (ou semi-ouvert) des nombres réels n'est pas compact. Il est également crucial que l'intervalle soitborné, car dans l'intervalleles disques fermés sont compacts car, pour toute infinité de points échantillonnés sur un disque, un sous-ensemble de ces points se rapproche indéfiniment soit d'un point à l'intérieur du disque, soit d'un point sur sa surface. De même, un cercle dans le plan est compact (ce qui se vérifie aisément puisqu'il est fermé et borné). En revanche, un disque ouvert n'est pas compact, car une suite de points peut tendre vers la surface sans se rapprocher indéfiniment d'un point intérieur. De même, les sphères sont compactes, mais une sphère à laquelle il manque un point ne l'est pas, car une suite de points peut toujours tendre vers le point manquant, sans donc se rapprocher indéfiniment d'un point intérieur. Les droites et les plans ne sont pas compacts, car on peut prendre un ensemble de points équidistants dans n'importe quelle direction sans s'approcher d'aucun point.
Définitions
Diverses définitions de la compacité peuvent s'appliquer, selon le degré de généralité. Un sous-ensemble de l'espace euclidien est compact si et seulement s'il est fermé et borné . Ceci implique, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass , que toute suite infinie de cet ensemble possède une sous-suite qui converge vers un point de l'ensemble. Différentes notions équivalentes de compacité, telles que la compacité séquentielle et la compacité par point d'accumulation , peuvent être développées dans les espaces métriques généraux .
En revanche, les différentes notions de compacité ne sont pas équivalentes dans les espaces topologiques généraux , et la notion de compacité la plus utile – initialement appelée bicompacité – est définie à l'aide de revêtements constitués d' ouverts (voir la définition de revêtement ouvert ci-dessous). Le fait que cette forme de compacité soit valable pour les sous-ensembles fermés et bornés de l'espace euclidien est connu sous le nom de théorème de Heine-Borel . La compacité, ainsi définie, permet souvent d'étendre une information connue localement – au voisinage de chaque point de l'espace – à une information valable globalement sur tout l'espace. Un exemple de ce phénomène est le théorème de Dirichlet, auquel Heine l'a initialement appliqué : une fonction continue sur un intervalle compact est uniformément continue ; ici, la continuité est une propriété locale de la fonction, et l'uniformité continue la propriété globale correspondante.
Définition de couverture ouverte
Formellement, un espace topologique recouvrement ouvert de sous-recouvrement fini . Autrement dit,
il existe une sous-collection finie
Certaines branches des mathématiques, comme la géométrie algébrique , généralement influencées par l'école française de Bourbaki , utilisent le terme quasi-compact pour la notion générale et réservent le terme compact aux espaces topologiques qui sont à la fois Hausdorff et quasi-compacts . Un ensemble compact est parfois appelé compactum , au pluriel compacta .
Compacité des sous-ensembles
Un sous-ensemble
il existe une sous-collection finie
Autrement dit, topologie du sous-espace . En particulier, si
Puisqu'un espace euclidien est un espace métrique, les conditions de la sous-section suivante s'appliquent également à tous ses sous-ensembles. Parmi toutes les conditions équivalentes, il est en pratique plus facile de vérifier qu'un sous-ensemble est fermé et borné, par exemple pour un intervalle fermé ou une boule fermée de dimension un choix dénombrable ) :
- complet et totalement borné (ceci est également équivalent à la compacité pour les espaces uniformes ).
- suite dans les espaces uniformes à dénombrabilité première ).
- compact par point limite (également appelé faiblement dénombrablement compact) ; c'est-à-dire que tout sous-ensemble infini de point limite dans dénombrablement compact ; c'est-à-dire que tout recouvrement ouvert dénombrable de ensemble de Cantor .
- Chaque séquence imbriquée décroissante de sous-ensembles fermés non vides Lemme du nombre de Lebesgue : Pour tout recouvrement ouvert de à base dénombrable , séparable et de Lindelöf ; ces trois conditions sont équivalentes pour les espaces métriques. La réciproque est fausse ; par exemple, un espace discret dénombrable satisfait ces trois conditions, mais n’est pas compact.droite réelle munie de la métrique discrète est fermée et bornée, mais non compacte, car l’ensemble de tous les singletons de l’espace est un recouvrement ouvert qui n’admet aucun sous-recouvrement fini. Il est complet, mais non totalement borné.
Espaces ordonnés
Pour un espace ordonné un choix dénombrable ) sont vraies chaque fois que complètement régulier et homomorphisme d'anneaux . Son noyau est un idéal maximal , puisque d'après le premier théorème d'isomorphisme
Pour un espace de Hausdorff complètement régulier pseudocompact si et seulement si tout idéal maximal réel-compact si et seulement si tout idéal maximal réel est de la forme
Propriétés des espaces compacts
- Un espace dans lequel tout sous-ensemble compact est fermé est appelé un espace KC .
- Un sous-ensemble compact d'un espace de Hausdorff espace vectoriel topologique (EVT), un sous-ensemble compact est complet . Cependant, tout EVT non-Hausdorff contient des sous-ensembles compacts (et donc complets) qui ne sont pas fermés.
- Si homéomorphisme .
- Un espace Hausdorff compact est normal et régulier .
- Si un espace continue est compacte, le théorème des valeurs extrêmes est valable pour de tels espaces : une fonction continue à valeurs réelles définie sur un espace compact non vide est majorée et atteint sa borne supérieure. (Plus généralement, cela est vrai pour une fonction semi-continue supérieurement.) Réciproquement, l'image réciproque d'un espace compact par une application propre est compacte.
Compactifications
Soit totalement ordonné muni de la topologie d'ordre . Alors treillis complet (c'est-à-dire que tous les sous-ensembles ont un suprema et un infima).
Exemples
- Tout espace topologique fini , y compris l' ensemble vide , est compact. Plus généralement, tout espace muni d'une topologie finie (c'est-à-dire d'un nombre fini d'ouverts) est compact ; cela inclut notamment l' espace trivial ℝ² .
- Tout espace muni d'une topologie cofinie est compact.
- Tout espace localement compact et ordonné à la racine carrée la compactification à un point d'Alexandroff . La compactification à un point de cet espace est homéomorphe au cercle
- Aucun espace discret contenant une infinité de points n'est compact. L'ensemble des singletons de cet espace est un recouvrement ouvert qui n'admet aucun sous-recouvrement fini. Les espaces discrets finis sont compacts.
- En portant la topologie limite inférieure , aucun ensemble non dénombrable n'est compact.
- Dans la topologie cocontable sur un ensemble non dénombrable, aucun ensemble infini n'est compact. Comme dans l'exemple précédent, l'espace dans son ensemble n'est pas localement compact, mais reste de Lindelöf .
- L' intervalle fermé théorème de Heine-Borel . L'intervalle ouvert recouvrement ouvert pour nombres rationnels dans l'intervalle fermé
- L'ensemble des nombres réels n'est pas compact car il existe un recouvrement d'intervalles ouverts qui n'admet pas de sous-recouvrement fini. Par exemple, les intervalles
- En revanche, la droite réelle étendue munie de la topologie analogue est compacte ; notons que le revêtement décrit précédemment n'atteindrait jamais les points à l'infini et ne recouvrirait donc pas la droite réelle étendue. En fait, l'ensemble admet un homéomorphisme vers [−1, 1] qui associe à chaque infini son unité correspondante et à chaque nombre réel son signe multiplié par l'unique nombre de la partie positive de l'intervalle dont la division par un moins lui-même donne sa valeur absolue. Puisque les homéomorphismes préservent les revêtements, on peut en déduire la propriété de Heine-Borel.
- Pour tout entier naturel espace vectoriel normé de dimension finie est compacte. Ceci n'est pas vrai en dimension infinie ; en effet, un espace vectoriel normé est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.
- Par ailleurs, la boule unité fermée du dual d'un espace normé est compacte pour la topologie faible*. ( Théorème d'Alaoglu )
- L' ensemble de Cantor est compact. En fait, tout espace métrique compact non vide est une image continue de l'ensemble de Cantor.
- Considérons l'ensemble la convergence simple , est la topologie produit . Avec cette topologie, théorème de Tychonoff .
- Un sous-ensemble de l'espace de Banach des fonctions continues à valeurs réelles sur un espace de Hausdorff compact est relativement compact si et seulement s'il est équicontinu et ponctuellement borné ( théorème d'Arzelà-Ascoli ).
- Considérons l'ensemble condition de Lipschitz distance uniforme . Alors, d'après le théorème d'Arzelà–Ascoli, l'espace
- L'espace des mesures de probabilité de Borel sur un espace Hausdorff compact est compact pour la topologie vague , d'après le théorème d'Alaoglu.
- Une famille de mesures de probabilité sur les boréliens de l'espace euclidien est dite compacte si, pour tout epsilon positif, il existe un sous-ensemble compact contenant toute la masse de chacune des mesures, à l'exception d'un epsilon au plus. Le théorème de Prokhorov affirme alors qu'une famille de mesures de probabilité est relativement compacte pour la topologie vague si et seulement si elle est compacte.
Exemples algébriques
- Tout groupe de Lie semi-simple possède une forme réelle compacte , qui est un groupe topologique compact ; par exemple, le groupe orthogonal d'une forme quadratique définie positive. Ils possèdent également des formes réelles non compactes, comme le groupe linéaire spécial ou le groupe de Lorentz .
- Puisque les entiers homéomorphes à l'ensemble de Cantor, ils forment un ensemble compact.
- Tout corps global K est un sous-groupe additif discret de son anneau adèle , et l'espace quotient est compact. Ce résultat a été utilisé dans la thèse de John Tate pour permettre l'application de l'analyse harmonique à la théorie des nombres .
- Le spectre de tout anneau commutatif muni de la topologie de Zariski (c'est-à-dire l'ensemble de tous les idéaux premiers) est compact, mais jamais de Hausdorff (sauf dans des cas triviaux). En géométrie algébrique, de tels espaces topologiques sont des exemples de schémas quasi-compacts , le terme « quasi- » faisant référence au caractère non de Hausdorff de la topologie.
- Le spectre d'une algèbre de Boole est compact, un fait qui découle du théorème de représentation de Stone . Les espaces de Stone , espaces de Hausdorff compacts et totalement disjoints , constituent le cadre abstrait dans lequel ces spectres sont étudiés. De tels espaces sont également utiles pour l'étude des groupes profinis .
- L' espace structural d'une algèbre de Banach unitaire commutative est un espace de Hausdorff compact.
- Le cube de Hilbert est compact, ce qui découle également du théorème de Tychonoff.
- Un groupe profini (par exemple le groupe de Galois ) est compact.