Premier espace dénombrable

En topologie , une branche des mathématiques , un espace à base dénombrable est un espace topologique qui satisfait le premier axiome de dénombrabilité . Plus précisément, un espace est dit à base dénombrable si chaque point possède une base de voisinages dénombrable (base locale). Autrement dit, pour chaque point de cet espace, il existe une suite de voisinages de ce point telle que pour tout voisinage de ce point, il existe un entier tel que inclus dans cette suite. Puisque tout voisinage d'un point contient un ouvert de ce point, la base de voisinages peut être choisie , sans perte de généralité, comme étant constituée des ouverts.

mathématiques sont à base dénombrable. En particulier, tout espace métrique est à base dénombrable. Pour le démontrer, notons que l'ensemble des boules ouvertes de centre et de rayon pour tout entier naturel forme une base locale dénombrable en .

Un exemple d'espace non dénombrable au sens de premier degré est la topologie cofinie sur un ensemble non dénombrable (comme la droite réelle). Plus généralement, la topologie de Zariski sur une variété algébrique sur un corps non dénombrable n'est pas dénombrable au sens de premier degré. Un autre contre-exemple est l' espace ordinal où est le premier nombre ordinal non dénombrable . L'élément est un point d'accumulation du sous-ensemble bien qu'aucune suite d'éléments de ait cet élément comme limite. En particulier, le point dans l'espace n'a pas de base locale dénombrable. Cependant, puisque est le seul point de ce type, le sous-espace est à base dénombrable. L' espace quotient où les nombres naturels de la droite réelle sont identifiés à un seul point n'est pas dénombrable en premier. Cependant, cet espace possède la propriété que pour tout sous-ensemble et tout élément de l'adhérence de , il existe une suite dans convergeant vers . Un espace possédant cette propriété de suite est parfois appelé espace de Fréchet-Urysohn . La dénombrabilité première est strictement plus faible que la dénombrabilité seconde . Tout espace à dénombrabilité seconde est à dénombrabilité première, mais tout espace discret indénombrable est à dénombrabilité première mais pas seconde.

Propriétés

L'une des propriétés les plus importantes des espaces à base dénombrable est que, pour tout sous-ensemble , un point appartient à l' adhérence de si et seulement s'il existe une suite dans qui converge vers (Autrement dit, tout espace à base dénombrable est un espace de Fréchet-Urysohn et donc un espace séquentiel ). Ceci a des conséquences sur les limites et la continuité . En particulier, si est une fonction sur un espace à base dénombrable, alors admet une limite au point si et seulement si, pour toute suite telle que pour tout , on a . De plus, si est une fonction sur un espace à base dénombrable, alors est continue si et seulement si pour tout , alors

Dans les espaces à base dénombrable, la compacité séquentielle et la compacité dénombrable sont des propriétés équivalentes. Cependant, il existe des exemples d'espaces à base dénombrable séquentiellement compacts qui ne sont pas compacts (ce ne sont pas nécessairement des espaces métrisables). L' espace ordinal est un tel espace. Tout espace à base dénombrable est engendré de manière compacte .

Tout sous-espace d'un espace à base dénombrable est à base dénombrable. Tout produit dénombrable d'un espace à base dénombrable est à base dénombrable, mais ce n'est pas nécessairement le cas pour les produits indénombrables.