Compte

Le dénombrement est le processus qui consiste à déterminer le nombre d' éléments d'un ensemble fini d'objets ; autrement dit, à déterminer la taille de l'ensemble. La méthode traditionnelle de dénombrement consiste à incrémenter continuellement un compteur (mental ou vocal) d'une unité pour chaque élément de l'ensemble, selon un ordre précis, tout en marquant (ou en déplaçant) ces éléments afin d'éviter de les parcourir deux fois, jusqu'à ce qu'il ne reste plus d'éléments non marqués. Si le compteur est initialisé à un après le premier élément, sa valeur après avoir parcouru le dernier élément donne le nombre d'éléments recherché. Le terme apparenté d'énumération désigne l'identification unique des éléments d'un ensemble fini (combinatoire) ou d'un ensemble infini par l'attribution d'un nombre à chaque élément.

Le comptage implique parfois des nombres autres que un ; par exemple, lorsqu'on compte de l'argent, qu'on rend la monnaie, qu'on « compte par deux » (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), ou qu'on « compte par cinq » (5, 10, 15, 20, 25, ...).

Des preuves archéologiques suggèrent que l'être humain compte depuis au moins 50 000 ans. Les civilisations anciennes utilisaient principalement le comptage pour consigner des données sociales et économiques telles que le nombre de membres d'un groupe, d'animaux chassés, de biens ou de dettes (c'est-à-dire la comptabilité ). Des os entaillés ont également été découverts dans les grottes de Border en Afrique du Sud, ce qui pourrait indiquer que le concept de comptage était connu des humains dès 44 000 avant notre ère. Le développement du comptage a conduit à celui de la notation mathématique , des systèmes de numération et de l'écriture .

Le comptage verbal consiste à énoncer à voix haute ou mentalement des nombres successifs pour suivre leur progression. Généralement, on utilise la base 10 : « 1, 2, 3, 4 », etc. Le comptage verbal est souvent employé pour les objets présents immédiatement plutôt que pour compter des quantités au fil du temps, car après une interruption, le comptage doit reprendre là où il s’était arrêté, un nombre qu’il faut ensuite mémoriser.

Le dénombrement d'un petit ensemble d'objets, notamment sur une période donnée, peut se faire efficacement à l'aide de marques de pointage : on fait une marque pour chaque nombre, puis on compte toutes les marques une fois le dénombrement terminé. Le dénombrement par marques est un comptage en base 1 .

Le comptage sur les doigts est pratique et courant pour les petits nombres. Les enfants comptent sur leurs doigts pour faciliter le décompte et effectuer des opérations mathématiques simples. Les anciennes méthodes de comptage utilisaient les quatre doigts et les trois phalanges de chaque doigt pour compter jusqu'à douze. D'autres systèmes de gestes de la main sont également utilisés, par exemple le système chinois qui permet de compter jusqu'à 10 en utilisant uniquement les gestes d'une seule main. Avec le système binaire des doigts, il est possible de compter jusqu'à 10²³ = ^2¹⁰ − 1 .

Divers dispositifs peuvent également être utilisés pour faciliter le comptage, tels que les compteurs de pointage et les abaques .

Le dénombrement inclusif et le dénombrement exclu sont deux méthodes de comptage différentes. En dénombrement inclusif, les unités sont comptées en commençant par le début de l'intervalle et en terminant par la fin de l'intervalle précédent. En dénombrement exclu, les unités sont comptées à la fin de chaque intervalle, le début étant donc exclu. Il en résulte un nombre toujours supérieur de un en dénombrement inclusif qu'en dénombrement exclu, pour un même ensemble d'éléments. L'introduction du zéro sur la droite numérique a apparemment résolu cette difficulté ; cependant, le dénombrement inclusif reste utile dans certains cas.

Voir également l' erreur de poteau de clôture , qui est un type d' erreur de décalage d'une unité .

Le comptage inclusif est généralement utilisé pour la gestion du temps dans les calendriers romains et les langues romanes . Dans l' ancien calendrier romain , les nones (qui signifient « neuf ») sont huit jours avant les ides ; plus généralement, les dates sont spécifiées en jours inclusifs jusqu'au prochain jour nommé.

Dans le calendrier liturgique chrétien , la quinzaine (qui signifie 50) se situe 49 jours avant le dimanche de Pâques. En comptant « inclus », le dimanche (premier jour) est considéré comme le premier jour , et le dimanche suivant comme le huitième jour . Par exemple, le terme français pour « quinzaine » est « quinzaine » (15 jours), et des mots similaires existent en grec (« δεκαπενθήμερο », « dekapenthímero »), en espagnol ( « quincena ») et en portugais ( « quinzaine ) .

En revanche, le mot anglais « fortnight » dérive de « a fourteen-night », tout comme le terme archaïque « sennight » dérive de « a seven-night » ; ces mots anglais ne sont pas des exemples de numération inclusive. Dans les langues à numération exclusive comme l’anglais, lorsqu’on compte huit jours « à partir de dimanche », le lundi est le premier jour , le mardi le deuxième , et le lundi suivant le huitième jour . Pendant de nombreuses années, il était d’usage en droit anglais que l’expression « à partir d’une date » signifie « à compter du lendemain de cette date » : cette pratique est aujourd’hui déconseillée en raison du risque élevé de malentendus.

Un système de comptage similaire est utilisé dans le calcul de l'âge en Asie de l'Est , où les nouveau-nés sont considérés comme ayant 1 an à la naissance.

La terminologie musicale utilise également le comptage inclusif des intervalles entre les notes de la gamme standard : monter d'une note est un intervalle de seconde, monter de deux notes est un intervalle de tierce, etc., et monter de sept notes est une octave .

Apprendre à compter est une étape importante du développement éducatif dans la plupart des cultures du monde. C'est le tout premier pas d'un enfant vers les mathématiques et la notion fondamentale de cette discipline. Cependant, certaines cultures d'Amazonie et de l'Outback australien ne comptent pas et leurs langues ne possèdent pas de mots pour désigner les nombres.

De nombreux enfants, dès l'âge de 2 ans, maîtrisent déjà la récitation des nombres (c'est-à-dire « un, deux, trois… »). Ils peuvent également répondre à des questions d'ordinalité pour les petits nombres, par exemple : « Quel est le nombre qui suit trois ? ». Ils sont même capables de désigner chaque objet d'un ensemble et de réciter les mots un à un. Cela conduit de nombreux parents et éducateurs à conclure que l'enfant sait utiliser le comptage pour déterminer la taille d'un ensemble. Les recherches suggèrent qu'il faut environ un an après l'acquisition de ces compétences pour qu'un enfant comprenne leur signification et la raison d'être de ces procédures. Entre-temps, les enfants apprennent à nommer les cardinalités qu'ils peuvent subitiser .

En mathématiques, l'essence du dénombrement d'un ensemble et de la recherche d'un résultat n réside dans l'établissement d' une bijection entre l'ensemble étudié et l'ensemble des entiers positifs {1, 2, ..., n }. Un fait fondamental, démontrable par récurrence , est qu'aucune bijection ne peut exister entre {1, 2, ..., n } et {1, 2, ..., m } sauf si n = m . Ce fait (ainsi que la composition de deux bijections en une troisième) garantit que le dénombrement d'un même ensemble par différentes méthodes ne peut jamais donner des résultats différents (sauf erreur). C'est le théorème fondamental qui donne tout son sens au dénombrement : quelle que soit la méthode de dénombrement d'un ensemble fini, le résultat est le même. Plus largement, ce théorème illustre un théorème de la combinatoire (finie) — d'où l'appellation parfois donnée à la combinatoire (finie) de « mathématiques du dénombrement ».

De nombreux ensembles rencontrés en mathématiques ne permettent pas d'établir une bijection avec {1, 2, ..., n } pour tout entier naturel n ; on les appelle ensembles infinis , tandis que les ensembles pour lesquels une telle bijection existe (pour un certain n ) sont appelés ensembles finis . Les ensembles infinis ne peuvent être dénombrés au sens usuel ; d'une part, les théorèmes mathématiques qui sous-tendent ce sens usuel pour les ensembles finis sont faux pour les ensembles infinis. D'autre part, les différentes définitions des concepts à l'aide desquels ces théorèmes sont énoncés, bien qu'équivalentes pour les ensembles finis, ne le sont pas dans le contexte des ensembles infinis.

La notion de dénombrement peut être étendue aux ensembles en ce sens qu'elle consiste à établir une bijection avec un ensemble bien défini. Par exemple, si un ensemble est bijectif avec l'ensemble des nombres naturels, il est dit « dénombrable infini ». Ce type de dénombrement diffère fondamentalement du dénombrement des ensembles finis, car l'ajout d'éléments à un ensemble n'en augmente pas nécessairement la taille, la possibilité d'une bijection avec l'ensemble initial n'étant pas exclue. Par exemple, l'ensemble des entiers (y compris les nombres négatifs) est bijectif avec l'ensemble des nombres naturels, et même des ensembles apparemment beaucoup plus grands, comme celui des suites finies de nombres rationnels, restent dénombrables infinis. Néanmoins, certains ensembles, comme l'ensemble des nombres réels , sont trop grands pour être bijectifs avec les nombres naturels ; on les appelle alors « non dénombrables ». On dit que les ensembles entre lesquels il existe une bijection ont la même cardinalité , et, au sens le plus général, compter un ensemble revient à déterminer sa cardinalité. Au-delà des cardinalités données par chacun des nombres naturels, il existe une hiérarchie infinie de cardinalités infinies, bien que très peu de telles cardinalités apparaissent en mathématiques ordinaires (c'est-à-dire en dehors de la théorie des ensembles qui étudie explicitement les cardinalités possibles).

Le dénombrement, principalement d'ensembles finis, a de nombreuses applications en mathématiques. Un principe important stipule que si deux ensembles X et Y ont le même nombre fini d'éléments, et si une fonction f : X → Y est injective , alors elle est également surjective , et réciproquement. Un résultat connexe est connu sous le nom de principe des tiroirs , qui affirme que si deux ensembles X et Y ont respectivement un nombre fini d'éléments n et m avec n > m , alors toute application f : X → Y n'est pas injective (il existe donc deux éléments distincts de X que f associe au même élément de Y ). Ceci découle du principe précédent, car si f était injective, sa restriction à un sous-ensemble strict S de X à m éléments le serait également, et cette restriction serait alors surjective, ce qui contredit le fait que pour tout x ∈ X ∉ S , f ( x ) ne peut pas être l'image de la restriction. Des arguments de dénombrement similaires permettent de prouver l'existence de certains objets sans fournir d'exemple explicite. Dans le cas des ensembles infinis, cela peut même s'appliquer dans des situations où il est impossible de donner un exemple.

Le domaine de la combinatoire énumérative traite du calcul du nombre d'éléments d'ensembles finis, sans les compter réellement ; ce dernier étant généralement impossible car des familles infinies d'ensembles finis sont considérées à la fois, comme l'ensemble des permutations de {1, 2, ..., n } pour tout nombre naturel n .