Worldlex Wiki 
En mathématiques, 1 est l'élément neutre de la multiplication, ce qui signifie que tout nombre multiplié par 1 est égal à ce même nombre. Par convention, 1 n'est pas considéré comme un nombre premier . En informatique , 1 représente l'état « activé » du code binaire , fondement du calcul . Philosophiquement, 1 symbolise la réalité ultime ou la source de l'existence dans diverses traditions.
0. Chaque nombre naturel , y compris 1, est construit par succession , c'est-à-dire en ajoutant 1 au nombre naturel précédent. Bien que 1 réponde à la définition naïve d'un nombre premier , étant divisible uniquement par 1 et par lui-même (également 1), par convention moderne, il n'est considéré ni comme un nombre premier ni comme un nombre composé .Le nombre 1 est l' élément neutre de la multiplication des entiers , des nombres réels et des nombres complexes ; autrement dit, tout nombre multiplié par 1 reste inchangé . Par conséquent, le carré , la racine carrée et toute autre puissance de 1 sont toujours égaux à 1. Plus généralement, en algèbre , il désigne l'élément neutre de la multiplication dans tout anneau ou corps unitaire . Un élément possédant un inverse multiplicatif est appelé une unité , généralisant ainsi le rôle de 1. Pour tout nombre , la première puissance satisfait , de sorte que 1 est également l'élément neutre de tout semi-groupe des puissances.
1 est sa propre factorielle . De plus, le produit vide , c'est-à-dire le produit d'un ensemble de nombres nuls, est également égal à 1. Ainsi, tout nombre élevé à la puissance zéro vaut 1, et 0! vaut 1.
Différentes constructions mathématiques des nombres naturels représentent 1 de diverses manières. Dans la formulation originale des axiomes de Peano par Giuseppe Peano , un ensemble de postulats définissant les nombres naturels de façon précise et logique, 1 était considéré comme le point de départ de la suite des nombres naturels. Peano a par la suite révisé ses axiomes pour que la suite commence par 0. Dans l' attribution cardinale des nombres naturels de Von Neumann , où chaque nombre est défini comme un ensemble contenant tous les nombres qui le précèdent, 1 est représenté par le singleton , un ensemble ne contenant que l'élément 0. Le système de numération unaire , utilisé pour le comptage , est un exemple de système de numération « en base 1 », puisqu'un seul signe – le dé – est nécessaire. Bien que ce soit la manière la plus simple de représenter les nombres naturels, la base 1 est rarement utilisée comme base pratique de numération en raison de sa difficulté de lecture.
Dans de nombreux problèmes mathématiques et d'ingénierie, les valeurs numériques sont généralement normalisées dans l' intervalle [ 0, 1 ], où 1 représente la valeur maximale possible. Par exemple, par définition, 1 est la probabilité d'un événement absolument ou presque certain de se produire. De même, les vecteurs sont souvent normalisés en vecteurs unitaires (c'est-à-dire des vecteurs de magnitude 1), car ceux-ci possèdent souvent des propriétés plus intéressantes. Les fonctions sont souvent normalisées selon la condition qu'elles aient un entier égal à 1, une valeur maximale égale à 1 ou un carré entier égal à 1, selon l'application.
Le chiffre 1 est le plus fréquent en début de nombre dans de nombreuses séries de données numériques réelles. Ceci découle de la loi de Benford , qui stipule que la probabilité d'un chiffre donné est proportionnelle à 1/n. La tendance des nombres réels à croître de façon exponentielle ou logarithmique biaise la distribution vers les petits chiffres initiaux, le 1 apparaissant environ 30 % du temps.
La valeur de la constante de Legendre , introduite en 1808 par Adrien-Marie Legendre pour exprimer le comportement asymptotique de la fonction de comptage des nombres premiers , est égale à 1. La conjecture de Weil sur les nombres de Tamagawa stipule que le nombre de Tamagawa , une mesure géométrique d'un groupe algébrique linéaire connexe sur un corps de nombres global , vaut 1 pour tous les groupes simplement connexes (c'est -à-dire les groupes connexes par arcs sans « trous »).
En tant que mot
Parmi les mots dérivés de « one » , on trouve « alone » , qui signifie « tout seul » au sens d'être seul, « none » , qui signifie « pas un » , « once » , qui désigne une seule fois , et « atone » , qui signifie « ne faire qu'un avec quelqu'un ». L'association de « alone » avec « only » (impliquant « semblable à » ) donne « lonely » , qui exprime un sentiment de solitude. D'autres préfixes numériques courants pour le nombre 1 incluent « uni- » (ex. : monocycle , univers, licorne), « sol- » (ex. : danse solo), dérivé du latin, ou « mono- » (ex. : monorail , monogamie, monopole), dérivé du grec.
Symboles et représentation
Histoire
Le système cunéiforme sumérien est un ancêtre direct des systèmes décimaux cunéiformes sémitiques éblaïte et assyro-babylonien . Les documents babyloniens qui nous sont parvenus datent principalement des époques paléo-babylonienne ( Le glyphe représentatif le plus courant du chiffre 1 dans le monde occidental moderne est le chiffre arabe , un trait vertical, souvent orné d'un empattement et parfois d'un court trait horizontal en bas. On en retrouve l'origine dans l' écriture brahmanique de l'Inde ancienne, telle que représentée par Ashoka sous la forme d'un simple trait vertical dans ses Édits, vers 250 av. J.-C. Les formes des chiffres de cette écriture ont été transmises en Europe via le Maghreb et Al-Andalus au Moyen Âge Les chiffres arabes, ainsi que d'autres glyphes utilisés pour représenter le chiffre un (par exemple, le chiffre romain I et le chiffre chinoisdes logogrammes . Ces symboles représentent directement le concept de « un » sans le décomposer en composantes phonétiques
Polices de caractères modernes
Dans les polices de caractères modernes , le chiffre 1 est généralement composé comme un chiffre aligné avec une ascendante , de sorte qu'il a la même hauteur et la même largeur qu'une lettre majuscule . Cependant, dans les polices avec chiffres de texte (également appelés chiffres elzéviriens ou chiffres non alignés ), le glyphe a généralement la même hauteur d'x et est conçu pour suivre le rythme des minuscules, comme par exemple dans 
. Dans de nombreuses polices avec chiffres de texte, le chiffre 1 présente des empattements parallèles en haut et en bas, ressemblant à une version en petites capitales du chiffre romain I. De nombreuses machines à écrire anciennes ne possèdent pas de touche dédiée au chiffre 1, ce qui oblige à utiliser la lettre L minuscule ou I majuscule comme substituts.
Le « j » minuscule peut être considéré comme une variante ornée du chiffre romain « i » minuscule , souvent employé pour le i final d’un chiffre romain « minuscule ». On trouve également des exemples historiques de l’utilisation de j ou J comme substitut du chiffre arabe 1. En allemand , l’empattement supérieur peut se prolonger par un long trait ascendant aussi long que la ligne verticale. Cette variation peut prêter à confusion avec le glyphe utilisé pour sept dans d’autres pays ; aussi, pour les distinguer visuellement, le chiffre 7 peut être écrit avec un trait horizontal traversant la ligne verticale.
Dans d'autres domaines
En informatique, les données sont représentées par un code binaire , c'est-à-dire un système de numération en base 2 où les nombres sont représentés par une séquence de 1 et de 0. Les données numérisées sont représentées dans des dispositifs physiques, tels que les ordinateurs , sous forme d'impulsions électriques via des dispositifs de commutation comme des transistors ou des portes logiques, où « 1 » représente l'état « activé ». Ainsi, la valeur numérique de « vrai » est égale à 1 dans de nombreux langages de programmation . En lambda-calcul et en théorie de la calculabilité , les nombres naturels sont représentés par le codage de Church sous forme de fonctions, où le chiffre de Church pour 1 est représenté par la fonction appliquée une fois à un argument
En physique , certaines constantes physiques sont fixées à 1 dans les systèmes d'unités naturels afin de simplifier la forme des équations ; par exemple, en unités de Planck, la vitesse de la lumière est égale à 1. Les grandeurs sans dimension sont également appelées « grandeurs de dimension un ». En mécanique quantique , la condition de normalisation des fonctions d'onde exige que l'intégrale du carré du module d'une fonction d'onde soit égale à 1. En chimie, l'hydrogène , premier élément du tableau périodique et élément le plus abondant de l' univers connu , a un numéro atomique de 1. Le groupe 1 du tableau périodique comprend l'hydrogène et les métaux alcalins .
En philosophie, le nombre 1 est généralement considéré comme un symbole d'unité, représentant souvent Dieu ou l'univers dans les traditions monothéistes . Les Pythagoriciens considéraient les nombres comme pluriels et, par conséquent, ne classaient pas 1 comme un nombre en soi, mais comme l'origine de tous les nombres. Dans leur philosophie des nombres, où les nombres impairs étaient considérés comme masculins et les nombres pairs comme féminins, 1 était considéré comme neutre, capable de transformer les nombres pairs en nombres impairs et vice versa par addition. Le traité sur les nombres du philosophe néopythagoricien Nicomaque de Gérasa , tel que retrouvé par Boèce dans la traduction latine de l'Introduction à l'arithmétique , affirmait que 1 n'est pas un nombre, mais la source du nombre. Dans la philosophie de Plotin (et celle des autres néoplatoniciens ), « L'Un » est la réalité ultime et la source de toute existence. Philon d'Alexandrie (20 av. J.-C. – 50 apr. J.-C.) considérait le nombre 1 comme le nombre de Dieu et la base de tous les nombres.