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fonction d'onde

Oscillateurs harmoniques quantiques pour une particule unique sans spin. Les oscillations n'ont pas de trajectoire, mais sont représentées individuellement comme des ondes ; l'a...

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Oscillateurs harmoniques quantiques pour une particule unique sans spin. Les oscillations n'ont pas de trajectoire, mais sont représentées individuellement comme des ondes ; l'axe vertical indique la partie réelle (bleue) et la partie imaginaire (rouge) de la fonction d'onde. Les panneaux A à D présentent quatre solutions d'ondes stationnaires différentes de l' équation de Schrödinger . Les panneaux E et F présentent deux fonctions d'onde différentes qui sont solutions de l'équation de Schrödinger mais ne constituent pas des ondes stationnaires.
La fonction d'onde d'une particule libre initialement très localisée

En mécanique quantique , une fonction d'onde est une description mathématique de l' état quantique d'un système quantique isolé . Les symboles les plus courants pour une fonction d'onde sont les lettres grecques psi majuscule , respectivement).

Selon le principe de superposition de la mécanique quantique, les fonctions d'onde peuvent être additionnées et multipliées par des nombres complexes pour former de nouvelles fonctions d'onde et définir un espace de Hilbert . Le produit scalaire de deux fonctions d'onde mesure le recouvrement entre les états physiques correspondants et est utilisé dans l'interprétation probabiliste fondamentale de la mécanique quantique, la règle de Born , qui relie les probabilités de transition aux produits scalaires. L' équation de Schrödinger détermine l'évolution temporelle des fonctions d'onde, et une fonction d'onde se comporte qualitativement comme d'autres ondes , telles que les vagues à la surface de l'eau ou les ondes sur une corde, car l'équation de Schrödinger est mathématiquement une équation d'onde . Ceci explique le nom de « fonction d'onde » et donne lieu à la dualité onde-corpuscule . Cependant, la question de savoir si la fonction d'onde en mécanique quantique décrit un phénomène physique reste ouverte à différentes interprétations , la distinguant fondamentalement des ondes mécaniques classiques .

Les fonctions d'onde sont à valeurs complexes . Par exemple, une fonction d'onde peut associer un nombre complexe à chaque point d'une région de l'espace. La règle de Born permet de convertir ces amplitudes de probabilité complexes en probabilités. Sous une forme courante, elle stipule que le carré du module d'une fonction d'onde dépendant de la position représente la densité de probabilité de mesurer la présence d'une particule à un emplacement donné. L'intégrale du carré du module d'une fonction d'onde sur tous les degrés de liberté du système doit être égale à 1 ; cette condition est appelée normalisation . Puisque la fonction d'onde est à valeurs complexes, seules sa phase relative et son amplitude relative peuvent être mesurées ; sa valeur, prise isolément, ne renseigne pas sur les amplitudes ou les directions des observables mesurables. Il est nécessaire d'appliquer des opérateurs quantiques , dont les valeurs propres correspondent à des ensembles de résultats de mesures possibles, à la fonction d'onde dépendre de variables autres que la position, comme l'impulsion . L'information représentée par une fonction d'onde dépendant de la position peut être convertie en une fonction d'onde dépendant de l'impulsion, et inversement, par une transformée de Fourier . Certaines particules, comme les électrons et les photons , possèdent un spin non nul , et leur fonction d'onde inclut le spin comme degré de liberté intrinsèque et discret ; d'autres variables discrètes peuvent également être incluses, comme l'isospin . Lorsqu'un système possède des degrés de liberté internes, la fonction d'onde en chaque point des degrés de liberté continus (par exemple, un point de l'espace) associe un nombre complexe à chaque valeur possible des degrés de liberté discrets (par exemple, la composante z du spin). Ces valeurs sont souvent représentées dans une matrice colonne ( Max Planck postula la proportionnalité entre la fréquence d'un photon et son énergie l'impulsion d'un photon et sa longueur d'onde constante de Planck . En 1923, De Broglie fut le premier à suggérer que la relation relation de De Broglie , est valable pour les particules massives , l'indice principal étant l'invariance de Lorentz 14 Cette relation peut être considérée comme le point de départ du développement moderne de la mécanique quantique. Les équations représentent la dualité onde-corpuscule pour les particules massives et sans masse.

Dans les années 1920 et 1930, la mécanique quantique a été développée à l'aide du calcul différentiel et intégral et de l'algèbre linéaire . Parmi ceux qui ont utilisé les techniques du calcul différentiel et intégral, on peut citer Louis de Broglie , Erwin Schrödinger et d'autres, qui ont développé la « mécanique ondulatoire ». Ceux qui ont appliqué les méthodes de l'algèbre linéaire, notamment Werner Heisenberg , Max Born et d'autres, ont développé la « mécanique matricielle ». Schrödinger a par la suite démontré l'équivalence des deux approches.

En 1926, Schrödinger publia la célèbre équation d'onde qui porte désormais son nom . Cette équation repose sur la conservation classique de l'énergie, utilisant des opérateurs quantiques et les relations de de Broglie. Ses solutions sont les fonctions d'onde du système quantique. Cependant, son interprétation restait floue. Initialement, Schrödinger et d'autres pensaient que les fonctions d'onde représentaient des particules dispersées, la majeure partie de la particule se situant là où la fonction d'onde est grande. Cette conception s'avéra incompatible avec la diffusion élastique d'un paquet d'ondes (représentant une particule) par une cible ; ce paquet se propage dans toutes les directions. Bien qu'une particule diffusée puisse se disperser dans n'importe quelle direction, elle ne se fragmente pas et ne se disperse pas dans toutes les directions. En 1926, Born proposa la notion d' amplitude de probabilité . Ceci relie directement les calculs de mécanique quantique aux observations expérimentales probabilistes. Cette approche est acceptée dans le cadre de l' interprétation de Copenhague de la mécanique quantique. Il existe de nombreuses autres interprétations de la mécanique quantique . En 1927, Hartree et Fock ont ​​franchi une première étape dans la résolution de l' équation de Hartree -Fock et ont développé le cycle d'autocohérence : un algorithme itératif permettant d'approximer la solution. Cette méthode est aujourd'hui connue sous le nom de méthode de Hartree-Fock . Le déterminant et le permanent de Slater (d'une matrice ) faisaient partie intégrante de cette méthode, introduite par John C. Slater .

Avant de publier l'équation non relativiste, Schrödinger avait déjà trouvé une équation pour la fonction d'onde satisfaisant la conservation de l'énergie relativiste , mais il l'avait rejetée car elle prédisait des probabilités et des énergies négatives . En 1927, Klein , Gordon et Fock l'ont également trouvée, mais en y intégrant l' interaction électromagnétique et en démontrant son invariance de Lorentz . De Broglie est parvenu à la même équation en 1928. Cette équation d'onde relativiste est aujourd'hui plus communément appelée équation de Klein-Gordon .

En 1927, Pauli a établi phénoménologiquement une équation non relativiste décrivant les particules de spin 1/2 dans les champs électromagnétiques, désormais appelée équation de Pauli . Il a constaté que la fonction d'onde ne pouvait être décrite par une simple fonction complexe de l'espace et du temps, mais nécessitait deux nombres complexes, correspondant respectivement aux états de spin +1/2 et −1/2 du fermion. Peu après, en 1928, Dirac a établi une équation issue de la première unification réussie de la relativité restreinte et de la mécanique quantique appliquée à l' électron , désormais appelée équation de Dirac . Dans cette équation, la fonction d'onde est un spineur représenté par quatre composantes complexes : deux pour l'électron et deux pour son antiparticule , le positron . À la limite non relativiste, la fonction d'onde de Dirac ressemble à la fonction d'onde de Pauli pour l'électron. Par la suite, d'autres équations d'onde relativistes ont été découvertes.

Fonctions d'onde et équations d'onde dans les théories modernes

Toutes ces équations d'ondes conservent une importance capitale. L'équation de Schrödinger et l'équation de Pauli constituent, dans de nombreuses circonstances, d'excellentes approximations des variantes relativistes. Leur résolution dans les problèmes pratiques est considérablement plus aisée que celle des équations relativistes.

L' équation de Klein-Gordon et l' équation de Dirac , bien que relativistes, ne constituent pas une réconciliation complète entre la mécanique quantique et la relativité restreinte. La branche de la mécanique quantique où ces équations sont étudiées de la même manière que l'équation de Schrödinger, souvent appelée mécanique quantique relativiste , bien que très performante, présente des limitations (voir par exemple le déplacement de Lamb ) et des problèmes conceptuels (voir par exemple la mer de Dirac ).

La relativité implique inévitablement que le nombre de particules dans un système n'est pas constant. Pour une réconciliation complète, la théorie quantique des champs est nécessaire . Dans cette théorie, les équations d'onde et les fonctions d'onde conservent leur place, mais sous une forme quelque peu différente. Les principaux objets d'intérêt ne sont pas les fonctions d'onde, mais plutôt les opérateurs, appelés opérateurs de champ (ou simplement champs, le terme « opérateur » étant entendu ici), sur l'espace de Hilbert des états (décrit dans la section suivante). Il s'avère que les équations d'onde relativistes originales et leurs solutions sont toujours nécessaires à la construction de l'espace de Hilbert. De plus, les opérateurs de champ libre , c'est-à-dire lorsque les interactions sont supposées inexistantes, satisfont (formellement) la même équation que les champs (fonctions d'onde) dans de nombreux cas.

Ainsi, l'équation de Klein-Gordon (spin Proca (spin l'équation de Rarita-Schwinger (spin équations de Bargmann-Wigner . Pour les champs libres sans masse deux exemples sont l' équation de Maxwell (spin équation d'Einstein (spin invariance de Lorentz . Leurs solutions doivent se transformer sous la transformation de Lorentz d'une manière prescrite, c'est-à-dire sous une représentation particulière du groupe de Lorentz. Cette condition, associée à quelques autres exigences raisonnables, comme la propriété de décomposition en amas , avec ses implications sur la causalité , suffit à fixer les équations.

Ceci s'applique aux équations de champ libre ; les interactions ne sont pas prises en compte. Si une densité lagrangienne (incluant les interactions) est disponible, le formalisme lagrangien conduira à une équation du mouvement au niveau classique. Cette équation peut être très complexe et insoluble. Toute solution se référerait à un nombre fixe de particules et ne rendrait pas compte du terme « interaction » tel qu'il est employé dans ces théories, qui implique la création et l'annihilation de particules et non des potentiels externes comme dans la théorie quantique ordinaire de « première quantification ».

En théorie des cordes , la situation reste analogue. Par exemple, une fonction d'onde dans l'espace des impulsions joue le rôle de coefficient de développement de Fourier dans un état général d'une particule (corde) dont l'impulsion n'est pas définie précisément.

Particules relativistes : classique vs quantique

Source :

Les particules classiques, comme les balles, les fusées et les planètes, sont localisées spatialement. Les ondes classiques, comme le son et les vagues océaniques, se propagent sur de vastes régions spatiales. La dualité onde-corpuscule est une caractéristique unique des particules quantiques. Par exemple, les atomes, localisés spatialement, sont stables grâce à l'existence d'ondes associées aux électrons qui les composent. Il n'existe pas de consensus sur la nature de ces ondes ; en revanche, il existe un consensus sur la manière de calculer les expressions mathématiques qui leur correspondent.

En mécanique quantique non relativiste, une onde est associée à une particule quantique de spin 0. L' équation d'onde de Schrödinger doit être résolue pour obtenir l'expression mathématique correspondant à cette onde. En revanche, en mécanique quantique relativiste, c'est une équation d'onde relativiste qui doit être résolue. Alternativement, un système de deux équations d'onde relativistes de type Schrödinger peut être résolu pour obtenir les expressions mathématiques des deux ondes de type Schrödinger associées à une particule quantique relativiste de spin 0.

Aucune onde n'est associée à une particule classique, mais une onde de Schrödinger est associée à une particule quantique non relativiste de spin 0. De plus, deux ondes de Schrödinger sont associées à une particule quantique relativiste de spin 0. Les particules quantiques classiques et non relativistes libres possèdent une énergie cinétique positive. Cependant, une particule quantique relativiste peut être associée à une onde de Schrödinger « ordinaire », où la particule possède une énergie cinétique positive, mais aussi à une onde de Schrödinger « extraordinaire », où la particule possède une énergie cinétique négative.

L'existence d'ondes de Schrödinger associées à une particule détermine les caractéristiques quantiques de cette particule. Si, pour une raison quelconque, les ondes de Schrödinger disparaissent, la particule perd sa nature quantique et se transforme en une particule classique. Plusieurs exemples transcendants de telles transitions quantiques-classiques ont été proposés pour expliquer pourquoi les objets macroscopiques qui nous entourent semblent être classiques et composés uniquement de matière. Voici quelques exemples de ces frontières entre le quantique et le classique :

  • L'attraction électrostatique entre le noyau et les électrons dans les atomes lourds peut provoquer l'effondrement de l'onde de Schrödinger ordinaire associée à un électron relativiste. Ceci explique l'absence d'atomes neutres de numéro atomique Z > 137.
  • La gravité peut faire s'effondrer l'onde de Schrödinger ordinaire associée à une particule quantique relativiste dotée d'une masse. Ceci explique pourquoi les objets macroscopiques sont classiques.
  • La répulsion électrostatique pourrait faire s'effondrer l'onde de Schrödinger extraordinaire associée à une antiparticule, mais elle ne se produit pas pour les particules quantiques relativistes. Ceci explique pourquoi il n'existe pas de tableau périodique pour les antiatomes et pourquoi la vie composée d'antimatière n'existe pas.

Définition (une particule sans spin dans une dimension)

Ondes progressives d'une particule libre.
Les parties réelles des fonctions d'onde de position Ψ( x ) et d'impulsion Φ( p ) , ainsi que les densités de probabilité correspondantes |Ψ( x )| ² et |Φ( p )| ² , sont représentées pour une particule de spin 0 dans une dimension x ou p . L'opacité de la couleur des particules correspond à la densité de probabilité ( et non à la fonction d'onde) de trouver la particule à la position x ou à l'impulsion p .

Considérons pour l'instant le cas simple d'une particule unique non relativiste, sans spin , dans une dimension spatiale. Des cas plus généraux sont abordés ci-dessous.

Selon les postulats de la mécanique quantique , l' état d'un système physique, à un instant t fixé , est donné par la fonction d'onde appartenant à un espace de Hilbert complexe séparable . Ainsi, le produit scalaire de deux fonctions d'onde

Plus de détails sont fournis ci-dessous . Cependant, le produit scalaire d'une fonction d'onde

est toujours un nombre réel positif. Le nombre norme de la fonction d'onde espace de Hilbert séparable considéré est de dimension infinie , ce qui signifie qu'il n'existe pas d'ensemble fini de fonctions de carré intégrable qui puissent être additionnées de diverses manières pour créer toutes les fonctions de carré intégrable possibles .

fonctions d'onde dans l'espace des positions

L'état d'une telle particule est entièrement décrit par sa fonction d'onde, où fonction à valeurs complexes de deux variables réelles

Condition de normalisation

La probabilité que sa position

Pour un système donné, l'ensemble de toutes les fonctions d'onde normalisables possibles (à un instant donné) forme un espace vectoriel mathématique abstrait , ce qui signifie qu'il est possible d'additionner différentes fonctions d'onde et de les multiplier par des nombres complexes. Techniquement, les fonctions d'onde forment un rayon dans un espace de Hilbert projectif plutôt que dans un espace vectoriel ordinaire.

États quantiques en tant que vecteurs

notation bra-ket , ce vecteur s'écrit et est appelé « vecteur d'état quantique », ou simplement « état quantique ». Comprendre les fonctions d'onde comme représentant les éléments d'un espace vectoriel abstrait présente plusieurs avantages :

fonctions d'onde dans l'espace des impulsions

La particule possède également une fonction d'onde dans l'espace des impulsions : où impulsion dans une dimension, qui peut prendre n'importe quelle valeur de

Une solution particulière de l'équation de Schrödinger indépendante du temps est une onde plane , qui peut servir à décrire une particule d'impulsion exactement opérateur d'impulsion . Ces fonctions ne sont pas normalisables à l'unité (elles ne sont pas de carré intégrable), elles ne font donc pas partie de l'espace de Hilbert physique. L'ensemble forme ce qu'on appelle la base d'impulsion . Cette « base » n'est pas une base au sens mathématique usuel. En effet, puisque les fonctions ne sont pas normalisables, elles sont normalisées par rapport à une fonction delta [

Par ailleurs, bien qu'elles soient linéairement indépendantes, leur nombre est trop important (elles forment un ensemble non dénombrable) pour constituer une base de l'espace de Hilbert physique. Elles peuvent néanmoins servir à exprimer toutes les fonctions de cet espace à l'aide de transformées de Fourier, comme décrit ci-après.

Relations entre les représentations de la position et de la quantité de mouvement

Les représentations

Maintenant, prenez la projection de l'état

En utilisant ensuite l'expression connue des états propres d'impulsion convenablement normalisés dans les solutions de représentation de position de l' équation de Schrödinger libre, on obtient

De même, en utilisant les fonctions propres de position,

Les fonctions d'onde dans l'espace des positions et dans l'espace des impulsions sont ainsi des transformées de Fourier l'une de l'autre. Ce sont deux représentations du même état ; elles contiennent la même information, et chacune est suffisante pour calculer n'importe quelle propriété de la particule.

En pratique, la fonction d'onde dans l'espace des positions est beaucoup plus souvent utilisée que celle dans l'espace des impulsions. Le potentiel intervenant dans l'équation (Schrödinger, Dirac, etc.) détermine la base dans laquelle la description est la plus simple. Pour l' oscillateur harmonique , les espaces de Hilbert désignent initialement des espaces préhilbertiens complets de dimension infinie , ils incluent, par définition, également les espaces préhilbertiens complets de dimension finie. En physique, on les appelle souvent espaces de Hilbert de dimension finie . À tout espace de Hilbert de dimension finie correspondent des bases orthonormées qui engendrent l'espace de Hilbert entier.

Si l' ensemble

La fonction d'onde est plutôt donnée par :

Interprétation probabiliste du produit scalaire

Si l'ensemble sont des eigenkets d'une observable non dégénérée avec des valeurs propres , par les postulats de la mécanique quantique , la probabilité de mesurer l'observable est donnée selon la règle de Born comme :

Pour une observable non dégénérée , si les valeurs propres ont un sous-ensemble de vecteurs propres étiquetés comme , d'après les postulats de la mécanique quantique , la probabilité de mesurer l'observable comme étant est donnée par :

Par conséquent, les grandeurs qui spécifient l'état du système quantique ont un carré qui donne la probabilité de mesurer l' état respectif.

Signification physique de la phase relative

Bien que la phase relative ait des effets observables expérimentalement, la phase globale du système est indiscernable expérimentalement. Par exemple, pour une particule en superposition de deux états, la phase globale de la particule ne peut être déterminée ni par le calcul de la valeur moyenne des observables, ni par les probabilités d'observer les différents états, alors que les phases relatives peuvent influencer les valeurs moyennes des observables.

Bien que la phase globale du système soit considérée comme arbitraire, la phase relative de chaque état d'une superposition préparée peut être déterminée en fonction de la signification physique de cet état et de sa symétrie. Par exemple, la construction d'états de spin selon l'axe x comme superposition d'états de spin selon l'axe z peut être réalisée en appliquant une transformation de rotation appropriée aux états de spin selon l'axe z, ce qui confère aux états la phase appropriée les uns par rapport aux autres.

Application incluant la rotation

On peut construire un exemple d'espace de Hilbert de dimension finie à partir des vecteurs propres de spin de particules de spin λ, formant ainsi un espace de Hilbert de dimension λ . Cependant, la fonction d'onde générale d'une particule, qui décrit entièrement son état, appartient toujours à un espace de Hilbert de dimension infinie , car elle implique un produit tensoriel avec l'espace de Hilbert lié à la position ou à l'impulsion de la particule. Néanmoins, les techniques développées pour les espaces de Hilbert de dimension finie restent utiles, car elles peuvent être traitées indépendamment ou en tenant compte de la linéarité du produit tensoriel.

Étant donné que l' opérateur de spin pour des particules de spin données peut être représenté comme une matrice finie qui agit sur des composantes de vecteur de spin indépendantes, il est généralement préférable de désigner les composantes de spin en utilisant la notation matricielle/colonne/ligne selon le cas.

Par exemple, chaque

Mais il s'agit d'un abus de notation courant, car les kets

puisque les vecteurs propres de l'opérateur de spin de composante z sont les vecteurs colonnes ci-dessus, les valeurs propres étant les nombres quantiques de spin correspondants.

Conformément à cette notation, un vecteur d'un tel espace de Hilbert de dimension finie est donc représenté comme suit :

Dans la discussion suivante concernant le spin, la fonction d'onde complète est considérée comme le produit tensoriel des états de spin provenant d'espaces de Hilbert de dimension finie et de la fonction d'onde précédemment développée. La base de cet espace de Hilbert est donc considérée : .

États à une particule dans l'espace de position 3D

La fonction d'onde dans l'espace des positions d'une particule unique sans spin en trois dimensions spatiales est similaire au cas unidimensionnel décrit précédemment : où vecteur position dans l'espace tridimensionnel et notation de Dirac, elle s'écrit :

Toutes les remarques précédentes sur les produits scalaires, les fonctions d'onde dans l'espace des impulsions, les transformées de Fourier, etc., s'étendent aux dimensions supérieures.

Pour une particule de spin β , en négligeant les degrés de liberté de position, la fonction d'onde ne dépend que du spin (le temps est un paramètre) ; où nombre quantique de projection du spin le long de l' axe variable discrète . Par exemple, pour une particule de spin 1/2 , vecteur colonne.

En notation bra-ket , ces éléments s'organisent facilement en composantes d'un vecteur :

Le vecteur fonction vectorielle complexe de l'espace et du temps uniquement.

Toutes les valeurs de la fonction d'onde, non seulement pour les variables discrètes mais aussi pour les variables continues , se regroupent en un seul vecteur.

Pour une particule unique, le produit tensoriel

La factorisation par produit tensoriel des états propres d'énergie est toujours possible si les moments angulaires orbital et de spin de la particule sont séparables dans l' opérateur hamiltonien qui sous-tend la dynamique du système (autrement dit, l'hamiltonien peut être décomposé en une somme de termes orbitaux et de spin ). La dépendance temporelle peut être placée dans l'un ou l'autre facteur, et l'évolution temporelle de chacun peut être étudiée séparément. Sous de tels hamiltoniens, tout état produit tensoriel évolue en un autre état produit tensoriel, ce qui signifie essentiellement que tout état non intriqué reste non intriqué au cours du temps. On dit que cela se produit lorsqu'il n'y a pas d'interaction physique entre les états des produits tensoriels. Dans le cas d'hamiltoniens non séparables, les états propres d'énergie sont dits être une combinaison linéaire de tels états, qui ne sont pas nécessairement factorisables ; on peut citer comme exemples une particule dans un champ magnétique et le couplage spin-orbite .

La discussion précédente ne se limite pas au spin en tant que variable discrète ; le moment angulaire total J peut également être utilisé. D’autres degrés de liberté discrets, comme l’isospin , peuvent être exprimés de manière similaire au cas du spin ci-dessus.

États à plusieurs particules dans l'espace de position 3D

Ondes progressives de deux particules libres, dont deux des trois dimensions sont omises. En haut : fonction d’onde dans l’espace des positions ; en bas : fonction d’onde dans l’espace des impulsions, avec les densités de probabilité correspondantes.

S'il y a plusieurs particules, il n'existe généralement qu'une seule fonction d'onde, et non une fonction d'onde distincte pour chaque particule. Le fait qu'une seule fonction d'onde décrive plusieurs particules rend possibles l'intrication quantique et le paradoxe EPR . La fonction d'onde dans l'espace des positions pour

Pour identique à une autre, c'est-à-dire aucune n'ayant le même ensemble de nombres quantiques), il n'est pas nécessaire que la fonction d'onde soit symétrique ou antisymétrique.

Pour un ensemble de particules, certaines identiques avec des coordonnées

Là encore, il n’y a pas d’exigence de symétrie pour les coordonnées de particules discernables

En rassemblant tous ces composants en un seul vecteur,

Pour des particules identiques, les exigences de symétrie s'appliquent à la fois aux arguments de position et de spin de la fonction d'onde afin qu'elle possède la symétrie globale correcte.

Les formules des produits scalaires sont des intégrales sur toutes les coordonnées ou impulsions et des sommes sur tous les nombres quantiques de spin. Dans le cas général de de volume tridimensionnelles et

et la probabilité que la particule 1 soit dans la région

Signification physique de la phase

En mécanique quantique non relativiste, on peut démontrer, à l'aide de l'équation d'onde dépendante du temps de Schrödinger, que l'équation :

En utilisant l'expression suivante pour la fonction d'onde : où est la densité de probabilité et est la phase de la fonction d'onde, on peut montrer que :

Par conséquent, la variation spatiale de la phase caractérise le flux de probabilité .

Par analogie classique, pour , la quantité est analogue à la vitesse. Notez que cela n'implique pas une interprétation littérale de comme vitesse, car la vitesse et la position ne peuvent être déterminées simultanément selon le principe d'incertitude . En substituant la forme de la fonction d'onde dans l'équation d'onde dépendante du temps de Schrödinger, et en prenant la limite classique, :

Ce qui est analogue à l'équation de Hamilton-Jacobi de la mécanique classique. Cette interprétation est cohérente avec la théorie de Hamilton-Jacobi , dans laquelle S fonction principale de Hamilton .

Dépendance temporelle

états stationnaires .

Exemples non relativistes

Voici les solutions de l'équation de Schrödinger pour une particule non relativiste sans spin.

Barrière de potentiel fini

Diffusion par une barrière de potentiel finie de hauteur ''V''0"}},"i":0}}] V₀ potentiel de force est prohibitif (en mécanique classique) . Un modèle courant est celui de la « barrière de potentiel ». Dans le cas unidimensionnel, le potentiel est donné par et les solutions stationnaires de l'équation d'onde ont la forme (pour certaines constantes

Dans un cristallite semi-conducteur dont le rayon est inférieur au rayon de Bohr de l' exciton , les excitons sont comprimés, ce qui induit un confinement quantique . Les niveaux d'énergie peuvent alors être modélisés à l'aide du modèle de la particule dans une boîte, où l'énergie des différents états dépend de la longueur de la boîte.

Oscillateur harmonique quantique

Les fonctions d'onde de l' oscillateur harmonique quantique peuvent être exprimées en termes de polynômes d'Hermite

La densité de probabilité électronique des premières orbitales électroniques de l'atome d'hydrogène est représentée sous forme de coupes transversales. Ces orbitales forment une base orthonormée pour la fonction d'onde de l'électron. Les différentes orbitales sont représentées à des échelles différentes.

atome d'hydrogène

Les fonctions d'onde d'un électron dans un atome d'hydrogène sont exprimées en termes d' harmoniques sphériques et de polynômes de Laguerre généralisés (ceux-ci sont définis différemment par différents auteurs - voir l'article principal à leur sujet et sur l'atome d'hydrogène).

Il est pratique d'utiliser les coordonnées sphériques, et la fonction d'onde peut être séparée en fonctions de chaque coordonnée, où

Cette solution ne tient pas compte du spin de l'électron.

Sur la figure des orbitales de l'hydrogène, les 19 sous-images représentent les fonctions d'onde dans l'espace des positions (leur norme au carré). Ces fonctions d'onde correspondent à l'état abstrait caractérisé par le triplet de nombres quantiques L² .

  • Les fonctions affichées sont solutions de l'équation de Schrödinger. Bien entendu, toutes les fonctions de base dénombrable .
  • Les fonctions de base sont mutuellement orthonormées .

    • Fonctions d'onde et espaces fonctionnels

    Le concept d' espaces fonctionnels s'impose naturellement dans la discussion des fonctions d'onde. Un espace fonctionnel est un ensemble de fonctions, généralement muni de certaines conditions (ici, qu'elles soient de carré intégrable ), parfois d'une structure algébrique (ici, une structure d'espace vectoriel muni d'un produit scalaire ), et d'une topologie . Cette dernière sera peu utilisée ici ; elle est uniquement nécessaire pour définir précisément ce que signifie la fermeture d'un sous-ensemble d'un espace fonctionnel . Nous conclurons plus loin que l'espace fonctionnel des fonctions d'onde est un espace de Hilbert . Cette observation est le fondement de la formulation mathématique dominante de la mécanique quantique.

    structure de l'espace vectoriel

    Une fonction d'onde est un élément d'un espace fonctionnel caractérisé en partie par les descriptions concrètes et abstraites suivantes.

    • L'équation de Schrödinger est linéaire. Cela signifie que ses solutions, les fonctions d'onde, peuvent être additionnées et multipliées par des scalaires pour former une nouvelle solution. L'ensemble des solutions de l'équation de Schrödinger est un espace vectoriel.
    • Le principe de superposition en mécanique quantique. Si vecteur nul compte comme un état valide (« absence de système ») est une question de définition. Le vecteur nul ne décrit en tout cas pas l' état de vide en théorie quantique des champs.) L'ensemble des états possibles est un espace vectoriel.

    Cette similitude n'est évidemment pas fortuite. Il convient également de tenir compte des différences entre les espaces.

    Représentations

    Les états fondamentaux sont caractérisés par un ensemble de nombres quantiques. Il s'agit de l'ensemble des valeurs propres d'un ensemble maximal d' observables commutantes . Les observables physiques sont représentées par des opérateurs linéaires, également appelés observables, sur l'espace vectoriel. La maximalité signifie qu'il est impossible d'ajouter à cet ensemble d'observables algébriquement indépendantes commutant avec celles déjà présentes. Le choix d'un tel ensemble est appelé choix de représentation .

    • En mécanique quantique, il est postulé qu'une grandeur physiquement observable d'un système, telle que sa position, son impulsion ou son spin, est représentée par un opérateur hermitien linéaire sur l'espace des états. Les résultats possibles de la mesure de cette grandeur sont les valeurs propres de l'opérateur. Plus fondamentalement, la plupart des observables, voire toutes, apparaissent comme générateurs de symétries .
    • L'interprétation physique est qu'un tel ensemble représente ce qui peut – en théorie – être mesuré simultanément avec une précision arbitraire. Le principe d'incertitude de Heisenberg interdit la mesure exacte simultanée de deux observables non commutatives.
    • L'ensemble n'est pas unique. Pour un système à une particule, il peut s'agir, par exemple, de la projection de la position et du spin selon l'axe opérateur de multiplication dans la représentation de la position) et l'opérateur correspondant à l'impulsion (un opérateur différentiel dans la représentation de la position) ne commutent pas.
    • Une fois la représentation choisie, une part d'arbitraire subsiste. Il reste à choisir un système de coordonnées. Cela peut, par exemple, correspondre au choix des axes coordonnées sphériques utilisées pour les fonctions d'onde atomiques de l'hydrogène. Ce choix final fixe également une base dans l'espace de Hilbert abstrait. Les états fondamentaux sont étiquetés par les nombres quantiques correspondant à l'ensemble maximal d'observables commutatives et à un système de coordonnées approprié.

    Les états abstraits ne sont « abstraits » qu'en ce sens qu'aucun choix arbitraire nécessaire à leur description explicite n'est fourni. Cela revient à dire qu'aucun ensemble maximal d'observables commutatives n'est défini. Ceci est analogue à un espace vectoriel sans base spécifiée. Les fonctions d'onde correspondant à un état ne sont donc pas uniques. Cette non-unicité reflète la non-unicité du choix d'un ensemble maximal d'observables commutatives. Pour une particule de spin en une dimension, à un état particulier correspondent deux fonctions d'onde, transformée de Fourier .

    Chaque choix de représentation doit être considéré comme spécifiant un espace fonctionnel unique dans lequel résident les fonctions d'onde correspondant à ce choix. Il est préférable de conserver cette distinction, même si l'on pourrait soutenir que deux espaces fonctionnels de ce type sont mathématiquement égaux, par exemple l'ensemble des fonctions de carré intégrable. On peut alors considérer ces espaces fonctionnels comme deux copies distinctes de cet ensemble.

    produit intérieur

    Il existe une structure algébrique supplémentaire sur les espaces vectoriels des fonctions d'onde et l'espace d'état abstrait.

    • Physiquement, on interprète les différentes fonctions d'onde comme se chevauchant partiellement. Un système dans un état Des règles de sélection s'appliquent également. Celles-ci sont généralement formulées en termes de conservation de certains nombres quantiques. Cela signifie que certains processus
    • Mathématiquement, les solutions de l'équation de Schrödinger pour certains potentiels sont orthogonales d'une certaine manière. Ceci est généralement décrit par une intégrale où symbole de Kronecker

    Ceci justifie l'introduction d'un produit scalaire sur l'espace vectoriel des états quantiques abstraits, compatible avec les observations mathématiques précédentes lors du passage à une représentation. Ce produit est noté notation Bra-ket, espace préhilbertien . L'apparition explicite du produit scalaire (généralement une intégrale ou une somme d'intégrales) dépend du choix de la représentation, mais le nombre complexe règle de Born . Celle-ci stipule que la probabilité expérience de diffusion . En théorie quantique des champs, si matrice S ou matrice de diffusion . La connaissance de cette matrice équivaut, en pratique, à avoir résolu la théorie considérée, du moins en ce qui concerne les prédictions. Des quantités mesurables telles que les taux de désintégration et les sections efficaces de diffusion sont calculables à partir de la matrice S.

    espace de Hilbert

    Les observations précédentes résument l'essence des espaces fonctionnels dont les fonctions d'onde sont des éléments. Cependant, cette description est incomplète. Un autre préséquence, la complétude , est requise pour définir la limite de suites appartenant à cet espace. Cette propriété permet de s'assurer que, si la limite existe, elle appartient à l'espace fonctionnel. Un espace muni d'un produit scalaire complet est appelé espace de Hilbert . La complétude est cruciale pour les traitements avancés et les applications de la mécanique quantique. Par exemple, l'existence d' opérateurs de projection, ou projections orthogonales, repose sur la complétude de l'espace . Ces opérateurs de projection sont essentiels à l'énoncé et à la démonstration de nombreux théorèmes importants, comme le théorème spectral . Ce préséquence n'est pas d'une grande importance en mécanique quantique générale ; les détails techniques et les liens nécessaires sont disponibles dans les notes de bas de page, comme celle qui suit . L'espace particule libre de paquets d'ondes . Elles constituent, en un sens, une base (mais ni une base d'espace de Hilbert, ni une base de Hamel ) dans laquelle les fonctions d'onde d'intérêt peuvent être exprimées. Il existe également l'artifice de « normalisation à une fonction delta », fréquemment employé par commodité de notation (voir plus loin). Les fonctions delta elles-mêmes ne sont pas de carré intégrable.

    La description ci-dessus de l'espace fonctionnel contenant les fonctions d'onde est principalement motivée par des considérations mathématiques. Du fait de la complétude, ces espaces fonctionnels sont, dans un certain sens, très grands . Toutes les fonctions ne constituent pas des descriptions réalistes d'un système physique donné. Par exemple, dans l'espace fonctionnel transformée de Fourier transforme les fonctions de l'espace ci-dessus en éléments de polynômes de Legendre constituent une base d'espace de Hilbert (ensemble orthonormal complet).

  • sphère unité harmoniques sphériques . Les polynômes de Legendre font partie de ces harmoniques. La plupart des problèmes à symétrie de rotation admettent la même solution (connue) par rapport à cette symétrie ; le problème initial se ramène donc à un problème de dimension inférieure.
  • Les polynômes de Laguerre associés apparaissent dans le problème de la fonction d'onde hydrogénoïde après factorisation des harmoniques sphériques. Ceux-ci couvrent l'espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable sur l'intervalle semi-infini équations de Sturm-Liouville dans l'espace de Hilbert. Celles-ci incluent les polynômes de Legendre et de Laguerre, ainsi que les polynômes de Tchebychev , de Jacobi et d'Hermite . Tous ces polynômes interviennent dans des problèmes physiques, notamment dans le cas de l' oscillateur harmonique ; ce qui serait autrement un enchevêtrement complexe de propriétés de fonctions spéciales se transforme ainsi en un ensemble organisé de faits. Pour plus de détails, voir équation de Pauli .
  • Dans le traitement relativiste correspondant, équation de Dirac .

    • Avec un plus grand nombre de particules, la situation se complexifie. Il est nécessaire d'utiliser les produits tensoriels et la théorie des représentations des groupes de symétrie impliqués (respectivement le groupe de rotation et le groupe de Lorentz ) pour extraire du produit tensoriel les espaces où résident les fonctions d'onde de spin (total). (D'autres problèmes apparaissent dans le cas relativiste, sauf si les particules sont libres. Voir l' équation de Bethe-Salpeter .) Des remarques similaires s'appliquent au concept d' isospin , dont le groupe de symétrie est SU(2) . Les modèles des forces nucléaires des années 1960 (toujours pertinents aujourd'hui, voir force nucléaire ) utilisaient le groupe de symétrie SU(3) . Dans ce cas également, la partie des fonctions d'onde correspondant aux symétries internes réside dans certains l'espace de Fock . Il est construit à partir d'états de particules libres, c'est-à-dire de fonctions d'onde lorsqu'une représentation est choisie, et peut contenir un nombre fini quelconque de particules, non nécessairement constant dans le temps. La dynamique intéressante (ou plutôt la plus facile à traiter ) ne réside pas dans les fonctions d'onde, mais dans les opérateurs de champ , qui sont des opérateurs agissant sur l'espace de Fock. C'est pourquoi la représentation de Heisenberg est la plus courante (états constants, opérateurs variant dans le temps).

    Du fait de la nature infiniment dimensionnelle du système, les outils mathématiques appropriés sont des objets d’étude en analyse fonctionnelle .

    Description simplifiée

    Continuité de la fonction d'onde et de sa première dérivée spatiale (selon l' axe x , les coordonnées y et z ne sont pas représentées), à un instant t.

    Tous les manuels d'introduction ne présentent pas l'ensemble des outils de l'espace de Hilbert, mais se concentrent sur l'équation de Schrödinger non relativiste en représentation de position pour certains potentiels standard. Les contraintes suivantes sur la fonction d'onde sont parfois formulées explicitement pour que les calculs et l'interprétation physique soient cohérents :

    • La fonction d'onde doit être de carré intégrable . Ceci est motivé par l'interprétation de Copenhague de la fonction d'onde comme une amplitude de probabilité.
    • Elle doit être partout continue et partout continûment différentiable . Ceci est motivé par l'apparition de l'équation de Schrödinger pour la plupart des potentiels physiquement raisonnables.

    Il est possible d'assouplir quelque peu ces conditions pour des applications spécifiques. Si ces exigences ne sont pas satisfaites, il est impossible d'interpréter la fonction d'onde comme une amplitude de probabilité. Notons que des exceptions à la règle de continuité des dérivées peuvent survenir aux points de discontinuité infinie du champ de potentiel. Par exemple, dans le cas d'une particule dans une boîte , la dérivée de la fonction d'onde peut être discontinue à la frontière de la boîte, là où le potentiel présente une discontinuité infinie.

    Cela ne modifie pas la structure de l'espace de Hilbert dans lequel ces fonctions d'onde particulières évoluent, mais le sous-espace des fonctions de carré intégrable de dimension infinie . Du fait des multiples choix possibles de base de représentation, ces espaces de Hilbert ne sont pas uniques. On parle donc d'un espace de Hilbert abstrait, ou

    • élément de volume différentiel dans les degrés de liberté continus
    • Aᵢ sous-ensemble des nombres réels densité de probabilité de trouver le système à l'instant dans l'état

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