On peut également parler d'intégrabilité quadratique sur des intervalles bornés tels que pour .
On peut également définir que le carré de la fonction (et non de sa valeur absolue) est Lebesgue-intégrable . Pour cela, les intégrales des parties réelle et imaginaire, ainsi que les intégrales des parties positive et négative, doivent être finies.
L' espace vectoriel des (classes d'équivalence de) fonctions de carré intégrable (pour la mesure de Lebesgue ) forme l' espace . Parmi les espaces , la classe des fonctions de carré intégrable est unique en ce qu'elle est compatible avec un produit scalaire , ce qui permet de définir des notions comme l'angle et l'orthogonalité. Muni de ce produit scalaire, l'espace des fonctions de carré intégrable forme un espace de Hilbert , puisque tous les espaces sont complets pour leurs normes respectives .
Souvent, ce terme n'est pas utilisé pour désigner une fonction spécifique, mais des classes d'équivalence de fonctions qui sont égales presque partout .
classe d'équivalence de fonctions presque partout égales) forment un espace préhilbertien dont le produit scalaire est donné par où- et sont des fonctions de carré intégrable,
- est le conjugué complexe de
- est l'ensemble sur lequel on intègre — dans la première définition (donnée dans l'introduction ci-dessus), est , dans la seconde, est .
Puisque , l'intégrabilité au carré est la même chose que de dire
On peut démontrer que l'ensemble des fonctions de carré intégrable forme un espace métrique complet pour la métrique induite par le produit scalaire défini précédemment. Un espace métrique complet est également appelé espace de Cauchy , car les suites dans de tels espaces convergent si et seulement si elles sont de Cauchy . Un espace complet pour la métrique induite par une norme est un espace de Banach . Par conséquent, l'espace des fonctions de carré intégrable est un espace de Banach, pour la métrique induite par la norme, elle-même induite par le produit scalaire. Grâce à la propriété supplémentaire du produit scalaire, cet espace est plus précisément un espace de Hilbert , car il est complet pour la métrique induite par le produit scalaire.
Cet espace préhilbertien est conventionnellement noté et souvent abrégé en . Il convient de noter que désigne l'ensemble des fonctions de carré intégrable, mais cette notation ne spécifie aucune métrique, norme ou produit scalaire. L'ensemble , muni du produit scalaire particulier, définit l'espace préhilbertien.
L'espace des fonctions de carré intégrable est l' espace dans lequel
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