En mathématiques , un module libre est un module qui possède une base , c'est-à-dire un ensemble générateur linéairement indépendant . Tout espace vectoriel est un module libre ...
anneau et un -module , l'ensemble est une base pour si :
est un ensemble générateur de ; c'est-à-dire que chaque élément de est une somme finie d'éléments de multipliés par des coefficients dans ; et
est linéairement indépendant : pour tout ensemble d'éléments distincts, implique que (où est l'élément nul de et est l'élément nul de ).
Un module libre est un module avec une base.
Une conséquence immédiate de la seconde moitié de la définition est que les coefficients de la première moitié sont uniques pour chaque élément de M.
Si un anneau possède un nombre de base invariant , alors par définition, deux bases quelconques ont la même cardinalité. Par exemple, les anneaux commutatifs non nuls ont un nombre de base invariant . La cardinalité de toute base (et donc de toute base) est appelée le rang du module libre . Si cette cardinalité est finie, le module libre est dit libre de rang fini , ou libre de rang idéal principal engendré par un diviseur non nul , un générateur étant une base.
Si R est commutatif, l'anneau de polynômes dans l'indéterminé X est un module libre avec une base possible 1, X , X 2 , ....
Soit un anneau de polynômes sur un anneau commutatif A , f un polynôme unitaire de degré d dans celui-ci, et l'image de t dans B. Alors B contient A comme sous-anneau et est libre comme A -module avec une base .
Une somme directe de modules libres est libre, tandis qu'un produit cartésien infini de modules libres n'est généralement pas libre (cf. le groupe de Baer-Specker ).
Un module de type fini sur un anneau local commutatif est libre si et seulement s'il est fidèlement plat . De plus, le théorème de Kaplansky affirme qu'un module projectif sur un anneau local (éventuellement non commutatif) est libre.
Parfois, la question de savoir si un module est libre ou non est indécidable au sens ensembliste. Un exemple célèbre est le problème de Whitehead , qui consiste à déterminer si un groupe de Whitehead est libre ou non. Il s'avère que ce problème est indépendant de ZFC.
combinaisons linéaires formelles
somme directe des copies de R indexées par E.
Plus précisément, il s'agit du sous-module du produit cartésien ( R étant considéré comme un module à gauche) constitué des éléments ayant un nombre fini de composantes non nulles. On peut plonger E dans
Nous l'équipons d'une structure de module gauche telle que l'addition soit définie par : pour x dans E ,
et la multiplication scalaire par : pour r dans R et x dans E ,
Or, en tant que fonction à valeurs dans R sur E , chaque f de peut s'écrire de manière unique comme
où sont dans R et seulement un nombre fini d'entre eux sont non nuls et est donné comme
(Il s'agit d'une variante du delta de Kronecker ) . Ce qui précède signifie que le sous-ensemble de est une base de . L'application est une bijection entre
Propriété universelle
L'application d'inclusion définie ci-dessus est universelle au sens suivant. Étant donné une fonction arbitraire d'un ensemble homomorphisme de modules tel que ; autrement dit, est défini par la formule :
et est dite obtenue par extension linéaire. L'unicité signifie que chaque application R -linéaire est déterminée de manière unique par sa restriction à E.
Comme d'habitude pour les propriétés universelles, ceci définit à un isomorphisme canonique près . De plus, la formation de pour chaque ensemble E détermine un foncteur
,
de la catégorie des ensembles à la catégorie des foncteur libre et satisfait une relation naturelle : pour tout ensemble E et tout module à gauche N ,
De nombreuses propriétés des modules libres s'étendent à certaines classes de modules plus larges. Les modules projectifs sont des facteurs directs des modules libres. Les modules plats sont définis par la propriété que leur tensorisation préserve les suites exactes. Les modules sans torsion forment une classe encore plus vaste. Pour un module de type fini sur un PID (tel que Z ), les propriétés libre, projectif, plat et sans torsion sont équivalentes.
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