Worldlex Wiki En mathématiques , et plus particulièrement en algèbre , la classe des modules projectifs étend la classe des modules libres (c’est-à-dire les modules à vecteurs de base ) sur un anneau , tout en conservant certaines de leurs propriétés principales. Différentes caractérisations équivalentes de ces modules sont présentées ci-dessous.
Tout module libre est un module projectif, mais la réciproque n'est pas vraie pour certains anneaux, comme les anneaux de Dedekind qui ne sont pas des anneaux principaux . Cependant, tout module projectif est un module libre si l'anneau est un anneau principal, comme l'anneau des entiers , ou un anneau de polynômes (multivarié) sur un corps (c'est le théorème de Quillen-Suslin ).
Les modules projectifs ont été introduits pour la première fois en 1956 dans l'ouvrage influent Homological Algebra d' Henri Cartan et Samuel Eilenberg .
en théorie des catégories repose sur la propriété de relèvement qui s'étend des modules libres aux modules projectifs : un module P est projectif si et seulement si, pour tout homomorphisme de modules surjectif propriété universelle .)
L'avantage de cette définition de « projectif » est qu'elle s'applique à des catégories plus générales que les catégories de modules : la notion d'« objet libre » n'est pas nécessaire. Elle peut également être dualisée , ce qui conduit aux modules injectifs . La propriété de relèvement peut aussi s'exprimer ainsi : tout morphisme de à se factorise par tout épimorphisme de à . Par définition, les modules projectifs sont donc précisément les objets projectifs de la catégorie des R -modules .
Séquences exactes fractionnées
Un module P est projectif si et seulement si toute suite exacte courte de modules de la forme
est une suite exacte scindée . Autrement dit, pour tout homomorphisme de modules surjectif facteur direct de B , h est un isomorphisme de P vers projection sur le facteur
Résumés directs des modules gratuits
Un module P est projectif si et seulement s'il existe un autre module Q tel que la somme directe de P et Q soit un module libre.
Exactitude
Un R -module P est projectif si et seulement si le foncteur covariant foncteur exact , où catégorie des groupes abéliens . Lorsque l'anneau R est commutatif , Ab est avantageusement remplacé par exact à gauche , mais, lorsque P est projectif, il est également exact à droite. Cela signifie que P est projectif si et seulement si ce foncteur préserve les épimorphismes (homomorphismes surjectifs), ou s'il préserve les colimites finies .
Double base
Un module P est projectif si et seulement s'il existe un ensemble et un ensemble tels que pour tout x dans P , f i ( x ) n'est non nul que pour un nombre fini de i , et .
Exemples et propriétés élémentaires
Les propriétés suivantes des modules projectifs se déduisent rapidement de n'importe laquelle des définitions (équivalentes) des modules projectifs ci-dessus :
- Les sommes directes et les sommes directes de modules projectifs sont projectives.
- Si idempotent dans l'anneau produit direct de deux anneaux et , qui est un anneau muni d'opérations définies composante par composante. Soient et . Alors et sont idempotents, et appartiennent au centre de . Les idéaux bilatères et sont des modules projectifs, puisque leur somme directe (en tant que
Relation avec d'autres propriétés de la théorie des modules
La relation entre les modules projectifs et les modules libres et plats est subsumée dans le diagramme suivant des propriétés des modules :
Les implications de gauche à droite sont vraies sur tout anneau, bien que certains auteurs définissent les modules sans torsion uniquement sur un domaine . Les implications de droite à gauche sont vraies sur les anneaux qui les nomment. Il peut exister d'autres anneaux sur lesquels elles sont vraies. Par exemple, l'implication nommée « anneau local ou PID » est également vraie pour les anneaux de polynômes (multivariés) sur un corps : c'est le théorème de Quillen-Suslin .
Modules projectifs vs. modules libres
Tout module libre est projectif. La réciproque est vraie dans les cas suivants :
- si R est un champ ou un champ asymétrique : n'importe quel module est libre dans ce cas.
- Si l'anneau R est un anneau principal , alors un groupe abélien est projectif si et seulement s'il est libre . Par exemple, cela s'applique à entiers ). En effet, tout sous-module d'un module libre sur un anneau principal est libre.
- Si l'anneau R est un anneau local , alors ce fait est à la base de l'intuition que « localement libre = projectif ». Ce fait se démontre aisément pour les modules projectifs de type fini . De manière générale, il est dû à le théorème de Kaplansky sur les modules projectifs .
En général, les modules projectifs ne sont pas nécessairement libres :
- Sur un produit direct d'anneaux non nuls , domaine de Dedekind, un idéal non principal est toujours un module projectif qui n'est pas un module libre.
- Sur un anneau de matrices M n ( R ), le module naturel R n est projectif mais n'est pas libre lorsque n > 1.
- Sur un anneau semi-simple , tout module est projectif, mais un idéal propre non nul à gauche (ou à droite) n'est pas un module libre. Ainsi, les seuls anneaux semi-simples pour lesquels tous les projectifs sont libres sont les anneaux à division .
La différence entre les modules libres et projectifs est, en un sens, mesurée par le groupe de théorie algébrique K 0 ( R ) ; voir ci - dessous.
Modules projectifs vs. modules plats
Tout module projectif est plat . La réciproque n'est généralement pas vraie : le groupe abélien Q est un Z -module plat, mais non projectif.
Réciproquement, un module plat à relation finie est projectif.
limite directe de modules libres de type fini .
En général, la relation précise entre la planéité et la projectivité a été établie par de manière dénombrable ,
Cette caractérisation peut être utilisée pour montrer que si est une application fidèlement plate d'anneaux commutatifs et est un -module, alors est projectif si et seulement si est projectif. En d'autres termes, la propriété d'être projectif satisfait la descente fidèlement plate .
La catégorie des modules projectifs
Les sous-modules des modules projectifs ne sont pas nécessairement projectifs ; un anneau R pour lequel chaque sous-module d'un module gauche projectif est projectif est dit héréditaire à gauche .
Les quotients de modules projectifs ne sont pas nécessairement projectifs ; par exemple, Z / n est un quotient de Z , mais n'est pas sans torsion , donc pas plat, et par conséquent non projectif.
La catégorie des modules projectifs de type fini sur un anneau est une catégorie exacte . (Voir aussi la K-théorie algébrique ).
Résolutions projectives
- ⋅ ⋅ ⋅ → P n → ⋅ ⋅ ⋅ → P 2 → P 1 → P 0 → M → 0,
Tout module P est projectif. Chaque module admet une résolution projective. En fait, il existe une résolution libre (résolution par modules libres). La suite exacte de modules projectifs peut parfois être abrégée en complexe de Koszul d'une suite régulière , qui est une résolution libre de l' idéal engendré par cette suite.
La longueur d'une résolution finie est l'indice n tel que P <sub> n </sub> ≠ 0 et les anneaux commutatifs possèdent des propriétés intéressantes.
La localisation d'un module projectif est un module projectif sur l'anneau localisé. Un module projectif sur un anneau localisé est libre. Ainsi, un module projectif est localement libre (au sens où sa localisation en tout idéal premier est libre sur la localisation correspondante de l'anneau). La réciproque est vraie pour les modules de type fini sur les anneaux noethériens : un module de type fini sur un anneau noethérien commutatif est localement libre si et seulement s'il est projectif.
Il existe cependant des exemples de modules de type fini sur un anneau non noethérien qui sont localement libres et non projectifs. Par exemple, un anneau booléen admet toutes ses localisations isomorphes à F₂ , le corps des éléments ; ainsi, tout module sur un anneau booléen est localement libre. Toutefois, certains modules sur les anneaux booléens ne sont pas projectifs. Un exemple est R / I , où R est le produit direct d' une infinité dénombrable de copies de F₂ et I la somme directe d' une infinité dénombrable de copies de F₂ contenues dans R. Le R -module R / I est localement libre puisque R est booléen (et il est également de type fini en tant que R -module, avec un ensemble générateur de cardinal 1), mais R / I n'est pas projectif car I n'est pas un idéal principal. (Si un module quotient R / I , pour tout anneau commutatif R et tout idéal I , est un R -module projectif, alors I est principal.)
Cependant, il est vrai que pour les modules M de présentation finie sur un anneau commutatif R (en particulier si M est un R -module de type fini et R est noethérien), les propositions suivantes sont équivalentes.
- Il existe un idéal d'unité générant tel qu'il soit libre en tant que -module pour chaque i .
De plus, si R est un anneau intègre noethérien , alors, d'après le lemme de Nakayama , ces conditions sont équivalentes à
- La dimension de l' espace vectoriel - est la même pour tous les idéaux premiers de R, où est le corps résiduel à . C'est-à-dire que M a un rang constant (tel que défini ci-dessous).
Soit A un anneau commutatif. Si B est une A - algèbre (éventuellement non commutative) qui est un A -module projectif de type fini A comme sous -anneau , alors A est un facteur direct de B. ]
Rang
Soit P un module projectif de type fini sur un anneau commutatif R et X le spectre de R. Le rang de P en un idéal premier de X est le rang du module libre . C'est une fonction localement constante sur X. En particulier, si X est connexe (c'est-à-dire si R n'a d'autres idempotents que 0 et 1), alors P est de rang constant.
Packs vectoriels et modules gratuits locaux
Les fibrés vectoriels sont localement libres . S'il existe une notion de « localisation » qui peut être étendue aux modules, comme la localisation usuelle d'un anneau , on peut définir des modules localement libres, et les modules projectifs coïncident alors généralement avec les modules localement libres.
Modules projectifs sur un anneau de polynômes
Le théorème de Quillen-Suslin , qui résout le problème de Serre, est un autre résultat important : si K est un corps, ou plus généralement un anneau principal , et si anneau de polynômes sur K , alors tout module projectif sur R est libre. Ce problème a été initialement soulevé par Serre dans le cas où Bass l'a résolu pour les modules de type non fini , et Quillen et Suslin ont traité indépendamment et simultanément le cas des modules de type fini.
Puisque tout module projectif sur un anneau principal est libre, on peut se poser la question suivante : si R est un anneau commutatif tel que tout R -module projectif (de type fini) soit libre, alors tout R [ X ]-module projectif (de type fini) est-il libre ? La réponse est non . Un contre-exemple apparaît lorsque R est égal à l’anneau local de la courbe récurrence sur
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