Séquence exacte divisée

En mathématiques , une suite exacte scindée est une suite exacte courte dans laquelle le terme du milieu est construit à partir des deux termes extérieurs de la manière la plus simple possible.

est dite exacte fractionnée si elle est isomorphe à la suite exacte où le terme du milieu est la somme directe des termes extérieurs :

où A est l'inclusion naturelle de A dans la somme directe, et la projection naturelle de la somme directe sur le second terme. L'isomorphisme de la suite implique l'existence d'un isomorphisme tel que la composée soit l'inclusion naturelle et que la composée soit égale à b . Ceci peut être résumé par le diagramme commutatif suivant :

Le lemme de scission fournit d'autres caractérisations équivalentes des suites exactes scindées. La suite

est exactement fractionné si et seulement s'il existe tel que , ce qui est le cas si et seulement s'il existe tel que .

Un exemple trivial de séquence courte exacte divisée est

où sont des R -modules, est l'injection canonique et est la projection canonique.

Toute suite exacte courte d' espaces vectoriels est dite exacte par scindage. Cela revient à reformuler le fait que tout ensemble de vecteurs linéairement indépendants dans un espace vectoriel peut être prolongé en une base .

La séquence exacte (où la première application est une multiplication par 2) n'est pas exactement fractionnée.

Les séquences exactes pures peuvent être caractérisées comme les colimites filtrées des séquences exactes divisées.

Dans le contexte des courtes suites exactes de groupes (pas nécessairement abéliens) ou dans d'autres contextes, le terme « suite exacte scindée » est utilisé de deux manières différentes selon les personnes. Certains désignent une courte suite exacte qui se scinde à droite (correspondant ainsi à un produit semi-direct ), tandis que d'autres désignent une courte suite exacte qui se scinde à gauche (ce qui implique qu'elle se scinde à droite et correspond à un produit direct ).