Worldlex Wiki En théorie des catégories , la notion d' objet projectif généralise celle de module projectif . Les objets projectifs des catégories abéliennes sont utilisés en algèbre homologique . La notion duale d'un objet projectif est celle d'un objet injectif .
objet d'une catégorie est projectif si, pour tout épimorphisme et tout morphisme , il existe un morphisme tel que , c'est-à-dire que le diagramme suivant commute :
C’est-à-dire que tout morphisme se factorise par tout épimorphisme .
Si C est localement petit , c'est-à-dire en particulier si C est un ensemble pour tout objet X dans C , cette définition est équivalente à la condition que le foncteur hom (également appelé foncteur coreprésentable )
préserve les épimorphismes .
Objets projectifs dans les catégories abéliennes
Si la catégorie C est une catégorie abélienne, comme par exemple la catégorie des groupes abéliens , alors P est projective si et seulement si
est un foncteur exact , où Ab est la catégorie des groupes abéliens .
On dit qu'une catégorie abélienne possède suffisamment de projectifs si, pour tout objet de , il existe un objet projectif de et un épimorphisme de P vers A, ou, de manière équivalente, une courte suite exacte
L'objectif de cette définition est de garantir que tout objet A admette une résolution projective , c'est-à-dire une séquence exacte (longue).
où les objets sont projectifs.
Projectivité par rapport aux classes restreintes
coproduit de deux objets projectifs est projectif.
Exemples
L'affirmation selon laquelle tous les ensembles sont projectifs est équivalente à l' axiome du choix .
Les objets projectifs dans la catégorie des groupes abéliens sont les groupes abéliens libres .
Soit un anneau unitaire. Considérons la catégorie (abélienne) -Mod des R-modules à gauche . Les objets projectifs de -Mod sont précisément les R-modules à gauche projectifs . Par conséquent, est lui-même un objet projectif de -Mod . Dualement, les objets injectifs de -Mod sont exactement les R-modules à gauche injectifs .
La catégorie des -modules à gauche (à droite) possède également suffisamment de projectifs. Ceci est vrai car, pour tout -module à gauche (à droite) , on peut prendre comme le -module libre (et donc projectif) engendré par un ensemble générateur de (par exemple, on peut prendre comme ). Alors la projection canonique est la surjection recherchée .
Les objets projectifs dans la catégorie des espaces compacts de Hausdorff sont précisément les espaces extrémalement disjoints . Ce résultat est dû à espaces de Banach et des contractions (c’est-à-dire des fonctionnelles dont la norme est au plus égale à 1), les épimorphismes sont précisément les applications à image dense . espace nul est le seul objet projectif de cette catégorie. Il existe cependant des espaces non triviaux qui sont projectifs pour la classe des contractions surjectives. Dans la catégorie des espaces vectoriels normés avec contractions (et applications surjectives comme « surjections »), les objets projectifs sont précisément les espaces α. harvtxt error: no target: CITEREFWiweger1969 (help)