Matrice (mathématiques)

Cet article se concentre sur les matrices dont les coefficients sont des nombres réels ou complexes. Cependant, on peut considérer des matrices avec des coefficients beaucoup plus généraux. Dans un premier temps, on peut utiliser n'importe quel corps , c'est-à-dire un ensemble où les opérations d'addition , de soustraction , de multiplication et de division sont définies et bien définies, à la place de par exemple des nombres rationnels ou les corps finis . Par exemple, la théorie du codage utilise des matrices sur des corps finis. Lorsque l'on considère les valeurs propres , celles-ci étant les racines d'un polynôme, elles n'existent que dans un corps plus grand que celui des coefficients de la matrice. Par exemple, elles peuvent être complexes dans le cas d'une matrice à coefficients réels. La possibilité de réinterpréter les coefficients d'une matrice comme des éléments d'un corps plus grand (par exemple, considérer une matrice réelle comme une matrice complexe dont tous les coefficients sont réels) permet alors de considérer que chaque matrice carrée possède un ensemble complet de valeurs propres. On peut aussi considérer uniquement les matrices dont les coefficients appartiennent à un algébriquement clos , comme le départ. polynomiaux , et plus généralement les matrices à coefficients dans un anneau anneau de matrices , isomorphe à l' anneau d'endomorphismes du module à gauche commutatif , c'est-à-dire si sa multiplication est commutative, alors l'anneau algèbre associative sur déterminant des matrices carrées sur un anneau commutatif formule de Leibniz . Une telle matrice est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans les superanneaux sont appelées supermatrices .

Les matrices n'ont pas toujours tous leurs coefficients dans le même anneau des matrices par blocs , que l'on peut considérer comme des matrices dont les coefficients sont eux-mêmes des matrices. Ces coefficients ne sont pas nécessairement carrés et n'appartiennent donc à aucun anneau ; cependant, pour pouvoir les multiplier, leurs dimensions doivent satisfaire certaines conditions : chaque paire de sous-matrices multipliées pour former le produit global doit avoir des dimensions compatibles.

Les applications linéaires sont équivalentes à des matrices précédemment . Plus généralement, toute application linéaire espaces vectoriels de dimension finie peut être décrite par une matrice les bases des matrices différentes, mais équivalentes . Nombre des notions concrètes précédentes peuvent être réinterprétées dans ce sens ; par exemple, la matrice transposée transposée de l'application linéaire définie par bases duales .

Ces propriétés peuvent être reformulées plus naturellement : la catégorie des matrices à coefficients dans un corps muni de la composition de la multiplication est équivalente à la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie et des applications linéaires sur ce corps.

Plus généralement, l'ensemble des matrices anneau de matrices anneau d'endomorphismes de groupe est une structure mathématique constituée d'un ensemble d'objets muni d'une opération binaire , c'est-à-dire une opération qui combine deux objets quelconques en un troisième, sous certaines conditions. matrices inversibles et dont l'opération est la multiplication matricielle est appelé groupe matriciel de degré sous-groupe (c'est à - dire un sous-groupe inclus dans) du groupe des matrices linéaire général de degré

Toute propriété des matrices carrées conservée par produit matriciel et par inversion peut servir à définir un groupe de matrices. Par exemple, l'ensemble des matrices dont le déterminant est égal à 1 forme le groupe linéaire spécial de degré . 131 ensemble des par la condition , groupe orthogonal . Toute matrice orthogonale a un déterminant égal groupe fini est isomorphe à un groupe de matrices, comme on peut le constater en considérant la représentation régulière du groupe symétrique . Les groupes généraux peuvent être étudiés à l'aide de groupes de matrices, qui sont relativement bien compris grâce à la théorie des représentations .

Il est également possible de considérer des matrices à une infinité de lignes et de colonnes. Les opérations de base introduites précédemment sont définies de la même manière dans ce cas. Cependant, la multiplication matricielle, et toutes les opérations qui en découlent, n'ont de sens que lorsqu'elle est restreinte à certaines matrices, car la somme figurant dans la définition du produit matriciel contiendra une infinité de termes. Une solution simple à ce problème consiste à se restreindre aux matrices finitaires dont toutes les lignes (ou colonnes) contiennent un nombre fini de termes non nuls. Comme dans le cas fini (voir ci-dessus ), où les matrices décrivent des applications linéaires, les matrices infinies peuvent être utilisées pour décrire des opérateurs sur des espaces de Hilbert , ce qui soulève des questions de convergence et de continuité . Toutefois, le point de vue explicite des matrices tend à obscurcir le sujet, et l'on utilise plutôt les outils abstraits et plus puissants de l'analyse fonctionnelle , en reliant les matrices à des applications linéaires (comme dans le cas fini ci-dessus ), mais en imposant des contraintes supplémentaires de convergence et de continuité.

Une matrice vide est une matrice dont le nombre de lignes ou de colonnes (ou les deux) est nul. Les matrices vides peuvent servir de cas de base pour certaines constructions récursives , et permettent de manipuler les applications impliquant l' espace vectoriel nul . Par exemple, si matrice nulle des systèmes de calcul formel permettent de les créer et de les manipuler. Le déterminant de la matrice produit vide apparaissant dans la formule de Leibniz pour le déterminant. Cette valeur est également nécessaire pour assurer la cohérence avec le cas de l' identité de Desnanot–Jacobi reliant les déterminants aux déterminants de matrices plus petites.

Un semi-anneau est semblable à un anneau, mais ses éléments n'ont pas nécessairement d'inverse additif ; par conséquent, la soustraction y est restreinte. La définition de l'addition et de la multiplication des matrices à coefficients dans un anneau s'applique sans modification aux matrices à coefficients dans un semi-anneau. Les matrices de taille fixe à coefficients dans un semi-anneau forment un monoïde commutatif pour l'addition. Les matrices carrées de taille fixe à coefficients dans un semi-anneau forment un semi-anneau pour l'addition et la multiplication.

Le déterminant d'une matrice carrée semi-anneau commutatif ne peut être défini de manière générale, car sa définition impliquerait l'addition des inverses des éléments du semi-anneau. On utilise plutôt la paire déterminant-déterminant positif et déterminant-déterminant négatif.

où les sommes sont prises respectivement sur les permutations paires et impaires.

Les matrices et leur multiplication peuvent être définies à partir d'éléments d'une catégorie munie d'un « produit tensoriel » analogue à la multiplication dans un anneau, et dont les coproduits sont analogues à l'addition dans un anneau, le premier étant distributif sur le second. Cependant, la multiplication ainsi définie peut n'être associative que dans un sens plus faible que d'usage. Ces éléments font partie d'une structure plus vaste appelée la bicatégorie des matrices . Une description complète du résumé ci-dessus est fournie ci-après pour les lecteurs intéressés.

Soit une catégorie monoïdale satisfaisant les deux conditions suivantes :

• Tous les coproduits (petits) existent ; en particulier, soit un objet initial .
• Le foncteur est distributif sur les coproduits ; c’est-à-dire que pour tout objet et toute famille d’objets dans , les -morphismes canoniques sont des isomorphismes . En particulier, les morphismes canoniques et sont des isomorphismes.

Alors, la bicatégorie des matrices - est la suivante :

• Les objets sont les ensembles.
• Un 1-morphisme est une application ; il s'agit simplement d'une matrice sur .
  • La composition des 1-morphismes et , qui peut être interprétée comme une multiplication matricielle, est
  • Le 1-morphisme identité sur est
• Un 2-morphisme entre 1-morphismes est une famille de β-morphismes . La définition de la composition verticale et horizontale des 2-morphismes est naturelle : la composition verticale est la composition composante par composante des β-morphismes ; la composition horizontale découle de la fonctorialité et de la propriété universelle des coproduits.

En général, la bicatégorie des matrices n'est pas nécessairement une 2-catégorie stricte . Par exemple, la composition des 1-morphismes peut ne pas être associative au sens strict usuel, mais seulement à isomorphisme cohérent près .

La matrice d'adjacence d'un graphe fini est une notion fondamentale de la théorie des graphes . Elle indique quels sommets du graphe sont reliés par une arête. Les matrices ne contenant que deux valeurs différentes ( matrices logiques . La matrice de distance (ou de coût) contient des informations sur les distances entre les arêtes . Ces concepts peuvent être appliqués aux sites web reliés par des hyperliens [ etc. Dans ce cas (sauf si le réseau de connexion est extrêmement dense), les matrices tendent à être creuses , c'est-à-dire à contenir peu d'éléments non nuls. Par conséquent, des algorithmes matriciels spécifiquement adaptés peuvent être utilisés en théorie des réseaux .

La matrice hessienne d'une fonction différentiable est constituée des dérivées secondes de

Elle encode des informations sur le comportement de croissance locale de la fonction : étant donné un point critique f s’annulent minimum local si la matrice hessienne est définie positive . La programmation quadratique peut être utilisée pour trouver les minima ou maxima globaux de fonctions quadratiques étroitement liés à ceux associés aux matrices (voir ci-dessus ).

Une autre matrice fréquemment utilisée en géométrie est la matrice jacobienne d'une application différentiable f₁ théorème des fonctions implicites . ''m''"}},"i":0}}]

Les équations aux dérivées partielles peuvent être classées en considérant la matrice des coefficients des opérateurs différentiels d'ordre le plus élevé de l'équation. Pour les équations aux dérivées partielles elliptiques, cette matrice est définie positive, ce qui a une influence déterminante sur l'ensemble des solutions possibles de l'équation en question.

La méthode des éléments finis est une méthode numérique importante pour résoudre les équations aux dérivées partielles, largement utilisée dans la simulation de systèmes physiques complexes. Elle vise à approcher la solution d'une équation par des fonctions linéaires par morceaux, ces morceaux étant choisis sur une grille suffisamment fine, ce qui permet de la reformuler sous forme d'équation matricielle.

Le premier modèle de mécanique quantique ( Heisenberg , 1925) utilisait des matrices de dimension infinie pour définir les opérateurs qui remplaçaient les variables de la physique classique telles que la position, l'impulsion et l'énergie. (On parle parfois de mécanique matricielle . ) Depuis, les matrices, de dimension finie et infinie, sont employées à de nombreuses fins en mécanique quantique. On peut citer en exemple la matrice densité , un outil utilisé pour calculer les probabilités des résultats de mesures effectuées sur des systèmes physiques .

Les transformations linéaires et les symétries associées jouent un rôle fondamental en physique moderne . Par exemple, les particules élémentaires de la théorie quantique des champs sont classées comme des représentations du groupe de Lorentz de la relativité restreinte et, plus précisément, selon leur comportement sous l'effet du groupe de spin . Des représentations concrètes, faisant intervenir les matrices de Pauli et, plus généralement, les matrices gamma, sont essentielles à la description physique des fermions , qui se comportent comme des spineurs . Pour les trois quarks les plus légers , il existe une représentation de type groupe impliquant le groupe unitaire spécial SU(3) ; pour leurs calculs, les physiciens utilisent une représentation matricielle pratique, les matrices de Gell-Mann , également utilisées pour le groupe de jauge SU(3) qui constitue la base de la description moderne des interactions nucléaires fortes, la chromodynamique quantique . La matrice de Cabibbo–Kobayashi–Maskawa exprime à son tour le fait que les états de quarks de base qui sont importants pour les interactions faibles ne sont pas les mêmes que les états de quarks de base qui définissent des particules avec des masses spécifiques et distinctes, mais sont liés linéairement à ces derniers .

Une autre matrice constitue un outil essentiel pour décrire les expériences de diffusion qui forment la pierre angulaire de la physique expérimentale des particules : les réactions de collision, telles que celles qui se produisent dans les accélérateurs de particules , où des particules non interagissantes se dirigent les unes vers les autres et entrent en collision dans une petite zone d’interaction, produisant ainsi un nouvel ensemble de particules non interagissantes, peuvent être décrites comme le produit scalaire des états des particules sortantes et d’une combinaison linéaire des états des particules entrantes. Cette combinaison linéaire est donnée par une matrice appelée matrice S , qui encode toutes les informations relatives aux interactions possibles entre les particules.

Une application générale des matrices en physique est la description des systèmes harmoniques couplés linéairement. Les équations du mouvement de tels systèmes peuvent être décrites sous forme matricielle : une matrice de masse multiplie une vitesse généralisée pour donner le terme cinétique, et une matrice de force multiplie un vecteur déplacement pour caractériser les interactions. La meilleure façon d'obtenir des solutions est de déterminer les vecteurs propres du système , ses modes normaux , par diagonalisation de l'équation matricielle. De telles techniques sont cruciales pour l'étude de la dynamique interne des molécules : les vibrations internes des systèmes constitués d'atomes liés entre eux . Elles sont également nécessaires pour décrire les vibrations mécaniques et les oscillations dans les circuits électriques

L'optique géométrique offre d'autres applications matricielles. Dans cette théorie approximative, la nature ondulatoire de la lumière est négligée. Il en résulte un modèle où les rayons lumineux sont effectivement des rayons géométriques . Si la déviation des rayons lumineux par les éléments optiques est faible, l'action d'une lentille ou d'un élément réfléchissant sur un rayon donné peut être exprimée comme le produit d'un vecteur à deux composantes par une matrice 2×2 appelée matrice de transfert de rayons : les composantes du vecteur sont la pente du rayon et sa distance à l'axe optique, tandis que la matrice encode les propriétés de l'élément optique. Il existe deux types de matrices : une matrice de réfraction décrivant la réfraction à la surface d'une lentille, et une matrice de translation décrivant la translation du plan de référence vers la surface réfractante suivante, où une autre matrice de réfraction s'applique. Le système optique, constitué d'une combinaison de lentilles et d'éléments réfléchissants, est simplement décrit par la matrice résultant du produit des matrices des composants.

Le calcul de Jones modélise la polarisation d'une source lumineuse comme un vecteur, et les effets des filtres optiques sur ce vecteur de polarisation comme une matrice.

Les circuits électroniques composés de composants linéaires (tels que des résistances, des inductances et des condensateurs) obéissent aux lois de Kirchhoff , ce qui conduit à un système d'équations linéaires, qui peut être décrit par une équation matricielle reliant les courants et tensions de la source aux courants et tensions résultants en chaque point du circuit, et où les éléments de la matrice sont déterminés par le circuit.

Ce mot a été utilisé de manière inhabituelle par au moins deux auteurs d'importance historique.

Bertrand Russell et Alfred North Whitehead, dans leurs Principia Mathematica (1910–1913), utilisent le mot « matrice » dans le contexte de leur axiome de réductibilité . Ils ont proposé cet axiome comme moyen de réduire toute fonction à une fonction de type inférieur, successivement, de sorte qu’au « bas » (ordre 0), la fonction est identique à son extension :

Par exemple, une fonction

Alfred Tarski, dans son Introduction à la logique de 1941, a utilisé le mot « matrice » comme synonyme de la notion de table de vérité telle qu'elle est utilisée en logique mathématique.