Worldlex Wiki Le mouvement le plus général d'un système linéaire est une superposition de ses modes propres. Ces modes sont dits « propres » car ils évoluent indépendamment les uns des autres. L'excitation d'un mode n'entraîne jamais l'excitation d'un autre. Mathématiquement, les modes propres sont orthogonaux entre eux.
Comme aucun système réel ne peut parfaitement s'inscrire dans le cadre des ondes stationnaires, le concept de mode est considéré comme une caractérisation générale d'états d'oscillation spécifiques, traitant ainsi le système dynamique de manière linéaire , dans laquelle une superposition linéaire d'états peut être effectuée.
Voici quelques exemples typiques :
- Dans un système dynamique mécanique, une corde vibrante est l'exemple le plus clair d'un mode, dans lequel la corde est le milieu, la contrainte sur la corde est l'excitation et le déplacement de la corde par rapport à son état statique est la variable modale.
- Dans un système dynamique acoustique, une seule hauteur sonore est un mode, dans lequel l'air est le milieu, la pression acoustique dans l'air est l'excitation et le déplacement des molécules d'air est la variable modale.
- Dans un système dynamique structurel, un immeuble de grande hauteur oscillant sous son axe de flexion le plus important constitue un mode dans lequel tout le matériau du bâtiment – moyennant les simplifications numériques appropriées – représente le milieu, les sollicitations sismiques/éoliennes/environnementales sont les excitations et les déplacements sont la variable modale.
- Dans un système dynamique électrique, une cavité résonante constituée de parois métalliques minces, renfermant un espace creux, comme dans le cas d'un accélérateur de particules, est un système d'ondes stationnaires pures, et donc un exemple de mode dans lequel l'espace creux de la cavité est le milieu, la source RF (un klystron ou une autre source RF) est l'excitation et le champ électromagnétique est la variable modale.
- En matière de musique , les modes normaux de vibration des instruments (cordes, tuyaux d'air, tambours, etc.) sont appelés « harmoniques ».
Le concept de modes normaux trouve également une application dans d'autres systèmes dynamiques, tels que l'optique , la mécanique quantique , la dynamique atmosphérique et la dynamique moléculaire .
La plupart des systèmes dynamiques peuvent être excités selon plusieurs modes, éventuellement simultanément. Chaque mode est caractérisé par une ou plusieurs fréquences, selon le champ de variables modales. Par exemple, une corde vibrante dans un espace bidimensionnel est définie par une seule fréquence (déplacement axial unidimensionnel), tandis qu'une corde vibrante dans un espace tridimensionnel est définie par deux fréquences (déplacement axial bidimensionnel).les coordonnées polaires , on dispose d'une coordonnée radiale et d'une coordonnée angulaire. Si l'on mesure à partir du centre vers l'extérieur le long de la coordonnée radiale, on rencontre une onde complète ; le numéro de mode dans la direction radiale est donc 2. L'autre direction est plus complexe, car seule la moitié du disque est prise en compte en raison de l'antisymétrie (ou symétrie oblique ) de la vibration d'un disque dans la direction angulaire. Ainsi, en mesurant 180° le long de la direction angulaire, on rencontre une demi-onde ; le numéro de mode dans cette direction est donc 1. Le numéro de mode du système est donc 2–1 ou 1–2, selon la coordonnée considérée comme la « première » et la « seconde » (il est donc important de toujours indiquer à quelle direction de coordonnées correspond le numéro de mode).
Dans les systèmes linéaires, chaque mode est totalement indépendant des autres. En général, tous les modes ont des fréquences différentes (les modes graves ayant des fréquences plus basses) et des formes modales différentes.
Nœuds
Dans un système unidimensionnel, pour un mode donné, la vibration présente des nœuds, c'est-à-dire des points où le déplacement est toujours nul. Ces nœuds correspondent aux points du mode propre où celui-ci s'annule. Puisque la vibration d'un système est donnée par le produit du mode propre par une fonction du temps, le déplacement aux points nodaux reste nul à tout instant.
Lorsqu'on les ramène à un système bidimensionnel, ces nœuds deviennent des lignes où le déplacement est toujours nul. L'animation ci-dessus montre deux cercles (l'un à mi-chemin entre le bord et le centre, l'autre sur le bord même) et une droite qui divise le disque en deux, là où le déplacement est proche de zéro. Dans un système idéal, ces lignes sont exactement égales à zéro, comme illustré à droite.
Dans les systèmes mécaniques
Dans l'analyse des systèmes conservatifs présentant de faibles déplacements par rapport à l'équilibre, importante en acoustique , en spectroscopie moléculaire et en circuits électriques , le système peut être transformé en de nouvelles coordonnées appelées coordonnées normales. Chaque coordonnée normale correspond à une fréquence de vibration unique du système et le mouvement correspondant est appelé mode normal de vibration.
Oscillateurs couplés
Considérons deux corps identiques (non soumis à la gravité), chacun de masse constante de raideur où les points d'extrémité sont fixes et ne peuvent pas bouger. Soit déplacement horizontal de la masse de gauche, et dérivée seconde de équations du mouvement sont : Puisque nous nous attendons à un mouvement oscillatoire d'un mode normal (où En substituant ces valeurs dans les équations du mouvement, on obtient : En omettant le facteur exponentiel (car il est commun à tous les termes) et en simplifiant, on obtient : Et sous forme matricielle : Si la matrice de gauche est inversible, la solution unique est la solution triviale singulière , c'est-à-dire non inversible. Il s'ensuit que le matrice doit être égal à 0. En résolvant pour En substituant des vecteurs propres et leurs fréquences sont des valeurs propres .) Le premier mode normal est : Ce qui correspond au cas où les deux masses se déplacent simultanément dans la même direction. Ce mode est dit antisymétrique. Le deuxième mode normal est : Cela correspond à des masses se déplaçant dans des directions opposées, tandis que le centre de masse reste immobile. Ce mode est dit symétrique. La solution générale est une superposition des modes normaux où conditions initiales du problème. Le processus démontré ici peut être généralisé et formulé en utilisant le formalisme de la mécanique lagrangienne ou de la mécanique hamiltonienne .
ondes stationnaires
Une onde stationnaire est une forme continue de mode normal. Dans une onde stationnaire, tous les éléments de l'espace (c'est-à-dire les coordonnées fréquence et en phase (atteignant simultanément le point d'équilibre ), mais chacun a une amplitude différente.
La forme générale d'une onde stationnaire est :
où interférence (superposition) des ondes et de leurs réflexions (on peut aussi dire l'inverse : une onde progressive est une superposition d'ondes stationnaires). La forme géométrique du milieu détermine la figure d'interférence, et donc la forme infinité dénombrable de modes normaux (généralement numérotés phonons thermiques ).
Debye a ensuite constaté que chaque oscillateur est intimement couplé à ses voisins en permanence. Ainsi, en remplaçant les oscillateurs identiques et non couplés d'Einstein par un nombre égal d'oscillateurs couplés, Debye a établi une corrélation entre les vibrations élastiques d'un solide unidimensionnel et le nombre de modes de vibration particuliers d'une corde tendue (voir figure). Le son pur de plus basse fréquence est appelé fondamental, et ses multiples sont appelés harmoniques. Il a attribué à l'un des oscillateurs la fréquence de vibration fondamentale du bloc solide entier. Il a attribué aux autres oscillateurs les fréquences des harmoniques de ce fondamental, la plus élevée de ces fréquences étant limitée par le mouvement de la plus petite unité primaire.
Les modes normaux de vibration d'un cristal sont généralement des superpositions de nombreux harmoniques, chacun ayant une amplitude et une phase propres. Les phonons de grande longueur d'onde (basse fréquence) correspondent précisément aux vibrations acoustiques prises en compte dans la théorie du son. Les ondes longitudinales et transversales peuvent se propager dans un solide, tandis que, généralement, seules les ondes longitudinales sont supportées par les fluides.
En mode longitudinal , le déplacement des particules par rapport à leur position d'équilibre coïncide avec la direction de propagation de l'onde. Les ondes mécaniques longitudinales sont également appelées mode transversal , les particules se déplacent perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde.
Selon la théorie quantique, l'énergie moyenne d'un mode de vibration normal d'un solide cristallin de fréquence caractéristique
Le terme énergie du point zéro », ou l'énergie qu'un oscillateur possède au zéro absolu.
En connaissant la formule thermodynamique,
l'entropie par mode normal est :
L'énergie libre est :
qui, pour
Pour calculer l'énergie interne et la chaleur spécifique, il faut connaître le nombre de modes de vibration normaux de fréquence comprise entre
L'intégration est effectuée sur toutes les fréquences du cristal. L'énergie interne
En mécanique quantique
En mécanique quantique, les états liés sont analogues aux modes. Dans les systèmes quantiques, les ondes correspondent à des oscillations d'amplitude de probabilité plutôt qu'à des déplacements de matière. La fréquence d'oscillation, constante de Planck . Ainsi, un système tel qu'un atome est constitué d'une combinaison linéaire de modes d'énergie définie. Ces énergies sont caractéristiques de l'atome considéré. Le carré (complexe) de l'amplitude de probabilité en un point de l'espace donne la probabilité de détecter un électron à cet endroit. La distribution spatiale de cette probabilité est caractéristique de l'atome.
En sismologie
Les modes normaux sont générés dans la Terre par l' interférence d'ondes sismiques de grande longueur d' onde provenant de grands tremblements de terre, formant ainsi des ondes stationnaires.
Pour une sphère élastique, isotrope et homogène, des modes sphéroïdaux, toroïdaux et radiaux (ou respiratoires) apparaissent. Les modes sphéroïdaux impliquent uniquement des ondes P et SV (comme les ondes de Rayleigh ) et dépendent du numéro harmonique les ondes de Love ) et n'existent pas dans le noyau externe fluide. Les modes radiaux sont un sous-ensemble des modes sphéroïdaux avec entrent en résonance (approximation de couplage croisé). L'auto-couplage modifie uniquement la vitesse de phase et non le nombre d'ondes le long d'un grand cercle, ce qui entraîne un étirement ou un rétrécissement du motif d'ondes stationnaires. Le couplage croisé modal est dû à la rotation de la Terre, à sa structure élastique asphérique ou à son ellipticité, et conduit à un mélange des modes sphéroïdaux et toroïdaux fondamentaux.