Matrice triangulaire

Une matrice de la forme

est appelée matrice triangulaire inférieure ou matrice triangulaire gauche , et par analogie une matrice de la forme

On parle alors de matrice triangulaire supérieure ou de matrice triangulaire droite . Une matrice triangulaire inférieure ou gauche est généralement notée L , et une matrice triangulaire supérieure ou droite est généralement notée U ou R.

Une matrice triangulaire supérieure et inférieure est dite diagonale . Les matrices semblables aux matrices triangulaires sont dites triangularisables .

Une matrice non carrée (ou parfois de toute forme) dont les éléments non nuls se trouvent au-dessus (en dessous) de la diagonale est appelée matrice trapézoïdale inférieure (supérieure). Les éléments non nuls lui donnent la forme d'un trapèze .

Une équation matricielle sous la formesubstitution directe pour les matrices triangulaires inférieures et, de manière analogue, substitution inverse pour les matrices triangulaires supérieures. Le processus est ainsi nommé car, pour les matrices triangulaires inférieures, on calcule d'abordexpression dans l' équation suivante pour résoudre l'équation.à rebours, en calculant d'abordexpression dans l' équation précédente pour résoudre l'équation.

Notez que cela ne nécessite pas d'inverser la matrice.

La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire inférieure et vice versa.

Une matrice à la fois symétrique et triangulaire est diagonale. De même, une matrice à la fois normale (c'est-à-dire A ^* A = AA ^* , où A ^* est la transposée conjuguée ) et triangulaire est également diagonale. On peut le constater en observant les éléments diagonaux de A ^* A et AA ^* .

Le déterminant et le permanent d'une matrice triangulaire sont égaux au produit des éléments diagonaux, comme on peut le vérifier par un calcul direct.

En réalité, c'est encore plus vrai : les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont exactement ses éléments diagonaux. De plus, chaque valeur propre apparaît exactement k fois sur la diagonale, où k est sa multiplicité algébrique , c'est-à-dire sa multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.A. Autrement dit, le polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire n × n A est exactement

c'est-à-dire le polynôme unique de degré n dont les racines sont les éléments diagonaux de A (avec leurs multiplicités respectives). Pour le démontrer, il suffit de remarquer que

La triangularité supérieure est préservée par de nombreuses opérations :

• La somme de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure.
• Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur.
• L' inverse d'une matrice triangulaire supérieure, si elle existe, est triangulaire supérieure.
• Le produit d'une matrice triangulaire supérieure et d'un scalaire est triangulaire supérieur.

Ces faits impliquent que les matrices triangulaires supérieures forment une sous-algèbre de l' algèbre associative des matrices carrées de taille donnée. De plus, cela montre que les matrices triangulaires supérieures peuvent être vues comme une sous-algèbre de Lie de l' algèbre de Lie des matrices carrées de taille fixée, où le crochet de Lie [ a , b ] est défini par le commutateur . L'algèbre de Lie de toutes les matrices triangulaires supérieures est une algèbre de Lie résoluble . Elle est souvent appelée sous-algèbre de Borel de l'algèbre de Lie de toutes les matrices carrées.

Tous ces résultats restent valables si l'on remplace systématiquement les matrices triangulaires supérieures par des matrices triangulaires inférieures ; en particulier, les matrices triangulaires inférieures forment également une algèbre de Lie. Cependant, les opérations de mélange de matrices triangulaires supérieures et inférieures ne produisent généralement pas de matrices triangulaires. Par exemple, la somme d'une matrice triangulaire supérieure et d'une matrice triangulaire inférieure peut être n'importe quelle matrice ; le produit d'une matrice triangulaire inférieure par une matrice triangulaire supérieure n'est pas nécessairement triangulaire non plus.

L'ensemble des matrices unitriangulaires forme un groupe de Lie .

L'ensemble des matrices triangulaires strictement supérieures (ou inférieures) forme une algèbre de Lie nilpotente , notée

En fait, d'après le théorème d'Engel , toute algèbre de Lie nilpotente de dimension finie est conjuguée à une sous-algèbre des matrices strictement triangulaires supérieures, c'est-à-dire qu'une algèbre de Lie nilpotente de dimension finie est simultanément strictement triangulaire supérieure.

Les algèbres de matrices triangulaires supérieures ont une généralisation naturelle en analyse fonctionnelle qui donne des algèbres imbriquées sur les espaces de Hilbert .

L'ensemble des matrices triangulaires inversibles d'un type donné (inférieur ou supérieur) forme un groupe , plus précisément un groupe de Lie , qui est un sous-groupe du groupe linéaire général des matrices inversibles. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses éléments diagonaux sont inversibles (non nuls).

Au regard des chiffres réels, ce groupe est déconnecté, ayant

L' algèbre de Lie du groupe de Lie des matrices triangulaires supérieures inversibles est l'ensemble de toutes les matrices triangulaires supérieures, non nécessairement inversibles, et est une algèbre de Lie résoluble . Il s'agit respectivement du sous-groupe de Borel standard B du groupe de Lie GL_{_n} et de la sous-algèbre de Borel standard._n .

Les matrices triangulaires supérieures sont précisément celles qui stabilisent le drapeau canonique . Parmi elles, les matrices inversibles forment un sous-groupe du groupe linéaire général, dont les sous-groupes conjugués sont ceux définis comme stabilisateurs d'un autre drapeau complet. Ces sous-groupes sont des sous-groupes de Borel . Le groupe des matrices triangulaires inférieures inversibles est un tel sous-groupe, puisqu'il est le stabilisateur du drapeau canonique associé à la base canonique dans l'ordre inverse.

Le stabilisateur d'un drapeau partiel obtenu en omettant certaines parties du drapeau standard peut être décrit comme un ensemble de matrices triangulaires supérieures par blocs (dont les éléments ne sont pas tous triangulaires). Les conjugués d'un tel groupe sont les sous-groupes définis comme stabilisateurs d'un drapeau partiel. Ces sous-groupes sont appelés sous-groupes paraboliques.

Le groupe des matrices unitriangulaires supérieures 2×2 est isomorphe au groupe additif du corps des scalaires ; dans le cas des nombres complexes, il correspond à un groupe formé de transformations paraboliques de Möbius ; les matrices unitriangulaires supérieures 3×3 forment le groupe de Heisenberg .