Matrices de commutation

En algèbre linéaire , on dit que deux matrices et commutent si , ou de manière équivalente si leur commutateur est nul. Les matrices qui commutent avec la matrice sont appelées les commutantes de la matrice (et vice versa).

On dit qu'un ensemble de matrices commute si elles commutent par paires, ce qui signifie que chaque paire de matrices de l'ensemble commute.

• Les matrices commutatives préservent leurs espaces propres respectifs . En conséquence, les matrices commutatives sur un corps algébriquement clos sont simultanément triangularisables ; c'est-à-dire qu'il existe des bases sur lesquelles elles sont toutes deux triangulaires supérieures . En d'autres termes, si elles commutent, il existe une matrice de similarité telle que soit triangulaire supérieure pour tout . L' inverse n'est pas nécessairement vrai, comme le montre le contre-exemple suivant :

Cependant, si le carré du commutateur de deux matrices est nul, c'est-à-dire , alors l'inverse est vrai.

• Deux matrices diagonalisables et commutent ( ) si elles sont simultanément diagonalisables (c'est-à-dire, il existe une matrice inversible telle que et soient toutes deux diagonales ). L'inverse est également vrai ; c'est-à-dire que si deux matrices diagonalisables commutent, elles sont simultanément diagonalisables. Mais si vous prenez deux matrices quelconques qui commutent (et ne supposez pas qu'il s'agit de deux matrices diagonalisables), elles sont déjà simultanément diagonalisables si l'une des matrices n'a pas de valeurs propres multiples.
• Si et commutent, ils ont un vecteur propre commun. Si ont des valeurs propres distinctes, et et commutent, alors les vecteurs propres de sont les vecteurs propres de .
• Si l'une des matrices a la propriété que son polynôme minimal coïncide avec son polynôme caractéristique (c'est-à-dire qu'elle a le degré maximal), ce qui se produit en particulier lorsque le polynôme caractéristique n'a que des racines simples , alors l'autre matrice peut s'écrire comme un polynôme dans la première.
• En conséquence directe de la triangulation simultanée, les valeurs propres de deux matrices complexes commutatives A , B avec leurs multiplicités algébriques (les multiensembles de racines de leurs polynômes caractéristiques) peuvent être mises en correspondance de telle manière que le multiensemble de valeurs propres de tout polynôme dans les deux matrices soit le multiensemble des valeurs . Ce théorème est dû à Frobenius .
• Deux matrices hermitiennes commutent si leurs espaces propres coïncident. En particulier, deux matrices hermitiennes sans valeurs propres multiples commutent si elles partagent le même ensemble de vecteurs propres. Cela découle de l'examen des décompositions de valeurs propres des deux matrices. Soient et deux matrices hermitiennes. et ont des espaces propres communs lorsqu'elles peuvent s'écrire comme et . Il s'ensuit alors que

• La propriété de deux matrices commutantes n'est pas transitive : une matrice peut commuter avec et , et encore et ne pas commuter entre elles. A titre d'exemple, la matrice identité commute avec toutes les matrices qui entre elles ne commutent pas toutes. Si l'ensemble des matrices considérées est restreint aux matrices hermitiennes sans valeurs propres multiples, alors la commutativité est transitive, par suite de la caractérisation en termes de vecteurs propres.
• Le théorème de Lie , qui montre que toute représentation d'une algèbre de Lie résoluble est simultanément triangularisable supérieurement, peut être considéré comme une généralisation.
• Une matrice n  ×  n commute avec toute autre matrice n  ×  n si et seulement si elle est une matrice scalaire, c'est-à-dire une matrice de la forme , où est la matrice identité n  ×  n et est un scalaire. En d'autres termes, le centre du groupe de matrices n  ×  n multipliées est le sous-groupe des matrices scalaires.
• Fixons un corps fini , soit le nombre de paires ordonnées de matrices commutatives sur , W. Feit et NJ Fine ont montré l'équation

• La matrice identité commute avec toutes les matrices.
• Les blocs Jordan commutent avec des matrices triangulaires supérieures qui ont la même valeur le long des bandes.
• Si le produit de deux matrices symétriques est symétrique, alors elles doivent commuter. Cela signifie également que chaque matrice diagonale commute avec toutes les autres matrices diagonales.
• Les matrices circulantes commutent. Elles forment un anneau commutatif puisque la somme de deux matrices circulantes est circulante.

La notion de matrices commutatives a été introduite par Cayley dans son mémoire sur la théorie des matrices, qui a également fourni la première axiomatisation des matrices. Les premiers résultats significatifs sur les matrices commutatives ont été prouvés par Frobenius en 1878.