Worldlex Wiki mathématiques , l' exponentielle matricielle est une fonction matricielle sur les matrices carrées, analogue à la fonction exponentielle ordinaire . Elle est utilisée pour résoudre des systèmes d'équations différentielles linéaires. Dans la théorie des groupes de Lie, l'exponentielle matricielle définit l' application exponentielle entre une algèbre de Lie matricielle et le groupe de Lie correspondant .
Soit matrice réelle ou complexe de dimension série entière suivante :
où est définie comme étant la matrice identité avec les mêmes dimensions que , et
0 matrice identité
De manière équivalente, l'exponentielle matricielle est fournie par la solution de l'équation différentielle (matricielle).
Nous commençons par les propriétés qui découlent immédiatement de la définition en tant que série entière :
- transposée de transposée conjuguée de inversible, alors
La démonstration de cette dernière identité est identique à l'argument classique des séries entières pour l'identité correspondante de l'exponentielle des nombres réels. Autrement dit, tant que et commutent , le fait que et soient des nombres ou des matrices n'a aucune incidence sur le raisonnement . Cette identité n'est généralement pas vérifiée si et ne commutent pas (voir l'inégalité de Golden-Thompson ci-dessous). Parmi les cas particuliers de cette identité, on peut citer :
- symétrique , alors antisymétrique, alors orthogonal .
- Si hermitien , alors antihermitien, alors unitaire .
Enfin, une transformée de Laplace des exponentielles de matrices équivaut à la résolvante , pour toutes les valeurs positives suffisamment grandes de
L'exponentielle matricielle peut également être utilisée pour résoudre l'équation non homogène. Voir la section sur les applications ci-dessous pour des exemples.
Il n'existe pas de solution analytique pour les équations différentielles de la forme où série de Magnus donne la solution sous forme de somme infinie.
Le déterminant de l'exponentielle de la matrice
D'après la formule de Jacobi , pour toute matrice carrée complexe, l' identité de trace suivante est valable :
Outre son utilité en tant qu'outil de calcul, cette formule démontre qu'une exponentielle de matrice est toujours une matrice inversible . Ceci découle du fait que le membre de droite de l'équation ci-dessus est toujours non nul, et donc surjective , contrairement au cas complexe mentionné précédemment. Ceci s'explique par le fait que, pour les matrices réelles, le membre de droite de la formule est toujours positif, tandis qu'il existe des matrices inversibles à déterminant négatif.
matrices symétriques réelles
L'exponentielle matricielle d'une matrice symétrique réelle est définie positive. Soit une matrice symétrique réelle
Puisque est inversible, l'égalité n'est valable que pour , et nous avons pour tout non nul . Par conséquent, est définie positive.
0 Produit tensoriel d'exponentielles
L'exponentielle de la somme de Kronecker de deux matrices carrées , à ne pas confondre avec la somme directe, prend une forme simple. Dans ce cas, l'exponentielle est simplement le produit tensoriel des exponentielles des matrices :
- Ici, nous avons supposé que était d'ordre respectivement et est la matrice identité d'ordre .
- Cela découle de la commutation des termes de la somme de Kronecker et des propriétés discutées ci-dessus.
Ce résultat est lié au produit direct des groupes de Lie et à son algèbre de Lie associée, qui est une représentation de la somme directe des algèbres de Lie .
Cette formule trouve également une application en physique des systèmes non interactifs. Sa formule inverse permet d'établir l'additivité de l' entropie de von Neumann pour les systèmes indépendants, sous réserve de l'existence de ces expressions logarithmiques.
L'exponentielle des sommes
Pour tous nombres (scalaires)
Cependant, pour les matrices qui ne commutent pas, l'égalité ci-dessus n'est pas nécessairement vraie.
La formule du produit Lie
Même si formule du produit de Lie
l'évolution temporelle numérique .
La formule de Baker-Campbell-Hausdorff
Dans l'autre sens, si commutateurs de formule de Baker-Campbell-Hausdorff : où les termes restants sont tous des commutateurs itérés impliquant
Si
La commutativité n'est pas requise. Il existe des contre-exemples montrant que l'inégalité de Golden-Thompson ne peut être étendue à trois matrices – et, de toute façon, Lieb a démontré qu'elle peut être généralisée à trois matrices en modifiant l'expression comme suit.
La carte exponentielle
L'exponentielle d'une matrice est toujours une matrice inversible . La matrice inverse de groupe linéaire général de degré groupe des matrices n × n inversibles. En fait, cette application est surjective , ce qui signifie que toute matrice inversible peut s'écrire comme l'exponentielle d'une autre matrice (pour cela, il est essentiel de considérer le corps des nombres complexes C et non R ).
Pour deux matrices quelconques
où norme matricielle arbitraire . Il s'ensuit que l'application exponentielle est continue et lipschitzienne sur les sous-ensembles compacts de lisse dans le groupe linéaire général qui passe par l'élément identité à
La dérivée de cette courbe (ou vecteur tangent ) en un point t est donnée par
La dérivée à
En prenant l'expression ci-dessus lemme de Hadamard, on peut obtenir l'expression utile suivante pour la dérivée de l'exposant de la matrice,
Les coefficients de l'expression ci-dessus diffèrent de ceux de l'exponentielle. Pour une expression analytique, voir la dérivée de l'application exponentielle .
Dérivées directionnelles restreintes aux matrices hermitiennes
Soit une matrice hermitienne à valeurs propres distinctes. Soit sa décomposition spectrale où est une matrice unitaire dont les colonnes sont les vecteurs propres de , est sa transposée conjuguée, et le vecteur des valeurs propres correspondantes. Alors, pour toute matrice hermitienne , la dérivée directionnelle de en dans la direction est où , l'opérateur désigne le produit de Hadamard, et, pour tout , la matrice est définie comme . De plus, pour toute matrice hermitienne , la dérivée directionnelle seconde dans les directions et est où la fonction à valeurs matricielles est définie, pour tout , comme avec .
Calcul de l'exponentielle de la matrice
Trouver des méthodes fiables et précises pour calculer l'exponentielle d'une matrice est difficile et fait encore l'objet de nombreuses recherches en mathématiques et en analyse numérique. Matlab , GNU Octave , R et SciPy utilisent tous l' approximation de Padé . Dans cette section, nous présentons des méthodes applicables en principe à toute matrice et qui peuvent être mises en œuvre explicitement pour les petites matrices. Les sections suivantes décrivent des méthodes adaptées à l'évaluation numérique des grandes matrices.
Boîtier diagonalisable
Si une matrice est diagonale : alors son exponentielle peut être obtenue en exponentiant chaque élément de la diagonale principale :
Ce résultat permet également d'exponentier les matrices diagonalisables .
la formule de Sylvester donne le même résultat. (Pour le constater, notez que l'addition et la multiplication, et donc l'exponentiation, de matrices diagonales sont équivalentes à l'addition et à la multiplication élément par élément, et donc à l'exponentiation ; en particulier, l'exponentiation « unidimensionnelle » se fait élément par élément dans le cas diagonal.)Exemple : Diagonalisable
Par exemple, la matrice peut être diagonalisée comme
Ainsi,
Cas nilpotent
Une matrice nilpotente si
Puisque la série comporte un nombre fini d'étapes, il s'agit d'un polynôme matriciel, qui peut être calculé efficacement .
Cas général
Utilisation de la décomposition de Jordan-Chevalley
D'après la décomposition de Jordan-Chevalley , toute matrice X à coefficients complexes peut être exprimée comme où
- A est diagonalisable
- N est nilpotent
- A fait la navette avec N
Cela signifie que nous pouvons calculer l'exponentielle de X en nous réduisant aux deux cas précédents :
Notez que la commutativité de A et N est nécessaire pour que la dernière étape fonctionne.
En utilisant la forme canonique de Jordan
Une méthode étroitement apparentée consiste, si le corps est algébriquement clos , à travailler avec la forme de Jordan de
De plus, puisque
Par conséquent, il nous suffit de savoir calculer l'exponentielle matricielle d'un bloc de Jordan . Or, chaque bloc de Jordan est de la forme suivante :
où
Étui de projection
Si matrice de projection (c'est-à-dire : P²
Boîtier de rotation
Pour une rotation simple dans laquelle les vecteurs unitaires perpendiculaires matrice de rotation générateur
La formule de l'exponentielle résulte de la réduction des puissances de générateur ,
La matrice projette un vecteur sur le plan
Soit
théorème de Cayley-Hamilton, l'exponentielle matricielle est exprimable comme un polynôme d'ordre fonction méromorphe est entière , alors Pour prouver cela, multipliez la première des deux égalités ci-dessus parThus, as indicated above, the matrix
the matrix exponential reduces to a plain product of the exponentials of the two respective pieces. This is a formula often used in physics, as it amounts to the analog of Euler's formula for Pauli spin matrices, that is rotations of the doublet representation of the group SU(2).
Le polynôme peut également être muni de la caractérisation d'« interpolation » suivante . Définissons polynôme minimal de matrice diagonalisable . En particulier, les racines de interpolation » indique que d'interpolation de Lagrange ; il s'agit donc du polynôme de Lagrange-Sylvester .
À l'autre extrême, si
Le cas le plus simple non couvert par les observations précédentes est celui où a
Évaluation par mise en œuvre de la formule de Sylvester
Un calcul pratique et rapide de ce qui précède se réduit aux étapes suivantes. Rappelons qu'une matrice théorème de Cayley-Hamilton , à une combinaison linéaire des diagonalisables , comme illustré ci-dessus, par exemple dans le cas la formule de Sylvester donne covariants de Frobenius de défectueuses , dans une généralisation due à Buchheim. Ceci est illustré ici pour un exemple
Additionnez tous ces termes, ici quatre de ce type,
Pour exprimer toutes les matrices inconnues
et encore une fois,
et une fois de plus,
(Dans le cas général, il faut calculer
céder
La réponse finale est donc :
La procédure est beaucoup plus courte que l'algorithme de Putzer parfois utilisé dans de tels cas.
Applications
Équations différentielles linéaires
L'exponentielle matricielle a des applications aux systèmes d' équations différentielles linéaires . (Voir aussi équation différentielle matricielle .) Rappelons plus tôt dans cet article qu'une équation différentielle homogène de la forme a pour solution
La deuxième étape est possible car, si
Exemple (homogène)
Considérons le système
La matrice défectueuse associée est
L'exponentielle de la matrice est
de sorte que la solution générale du système homogène est
ce qui s'élève à
Exemple (inhomogène)
Considérons maintenant le système inhomogène
Nous avons à nouveau
et
Nous disposons déjà de la solution générale de l'équation homogène. La somme des solutions homogène et particulière donnant la solution générale du problème non homogène, il nous suffit maintenant de trouver la solution particulière.
Nous avons, d'après ce qui précède, une expression qui peut être simplifiée pour obtenir la solution particulière recherchée, déterminée par variation des paramètres. Notons que c = y des facteurs intégrants (une méthode semblable à la variation des paramètres ). Nous recherchons une solution particulière de la forme
Pour que
Ainsi, où
avec la condition initiale
Nous affirmons que la solution de l'équation
avec les conditions initiales pour
où la notation est la suivante :
Évaluation par la série de Laurent ci-dessus.
Pour justifier cette affirmation, nous transformons notre équation scalaire d'ordre réduction usuelle à un système du premier ordre . Notre équation vectorielle prend la forme où matrice associée transposée de « Évaluation » par implémentation de la formule de Sylvester ci-dessus.
Dans le cas
est
où les fonctions Évaluation par séries de Laurent ci-dessus.