Vecteur de probabilité

En mathématiques et en statistiques , un vecteur de probabilité ou vecteur stochastique est un vecteur dont les entrées non négatives s'additionnent pour donner un.

Les positions (indices) d'un vecteur de probabilité représentent les résultats possibles d'une variable aléatoire discrète , et le vecteur nous donne la fonction de masse de probabilité de cette variable aléatoire, ce qui est la manière standard de caractériser une distribution de probabilité discrète .

Exemples

Voici quelques exemples de vecteurs de probabilité. Les vecteurs peuvent être des colonnes ou des lignes.

${\displaystyle x_{0}={\begin{bmatrix}0.5\\0.25\\0.25\end{bmatrix}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0,5</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0,25</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0,25</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{0}={\begin{bmatrix}0,5\\0,25\\0,25\end{bmatrix}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle x_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle x_{2}={\begin{bmatrix}0.65&0.35\end{bmatrix}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0,65</mn> </mtd> <mtd> <mn>0,35</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{2}={\begin{bmatrix}0,65&0,35\end{bmatrix}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle x_{3}={\begin{bmatrix}0.3&0.5&0.07&0.1&0.03\end{bmatrix}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0,3</mn> </mtd> <mtd> <mn>0,5</mn> </mtd> <mtd> <mn>0,07</mn> </mtd> <mtd> <mn>0,1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0,03</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{3}={\begin{bmatrix}0,3&0,5&0,07&0,1&0,03\end{bmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Interprétation géométrique

Écrire les composantes vectorielles d'un vecteur comme ${\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle p={\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}\quad { ext{or}}\quad p={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&\cdots &p_{n}\end{bmatrix <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mspace></mspace> <mrow> <mtext>ou</mtext> </mrow> <mspace></mspace> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p={\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}\quad { ext{ou}}\quad p={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&\cdots &p_{n}\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

les composantes du vecteur doivent totaliser un :

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Chaque composant individuel doit avoir une probabilité comprise entre zéro et un :

{\displaystyle 0\leq p_{i}\leq 1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq p_{i}\leq 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

pour tout . Par conséquent, l'ensemble des vecteurs stochastiques coïncide avec le simplexe standard . C'est un point si , un segment si , un triangle (plein) si , un tétraèdre (plein) , etc. ${\displaystyle i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (n-1) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (n-1)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n=2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=2}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n=3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=3}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n=4 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=4}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Propriétés

La moyenne de tout vecteur de probabilité est . ${\displaystyle 1/n <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 1/n}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Le vecteur de probabilité le plus court a la valeur de chaque composant du vecteur et a une longueur de . ${\displaystyle 1/n <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 1/n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle 1/{\sqrt {n <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mrow> <msqrt> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle 1/{\sqrt {n}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Le vecteur de probabilité le plus long a la valeur 1 dans un seul composant et 0 dans tous les autres, et a une longueur de 1.
Le vecteur le plus court correspond à l'incertitude maximale, le plus long à la certitude maximale.
La longueur d'un vecteur de probabilité est égale à ; où est la variance des éléments du vecteur de probabilité. ${ extstyle {\sqrt {n\sigma ^{2}+1/n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <msqrt> <mi>n</mi> <msup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle {\sqrt {n\sigma ^{2}+1/n}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \sigma ^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>σ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sigma ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$