Worldlex Wiki Propriétés dans le cas de dimension finie
Si un opérateur normal T sur un espace de Hilbert (espace préhilbertien) réel ou complexe de dimension finie H stabilise un sous-espace V , alors il stabilise également son complément orthogonal V⊥ . (Cette affirmation est triviale dans le cas où T est auto-adjoint.)produit scalaire sur l'espace des endomorphismes de H , il suffit de montrer que tr( XX* ) = 0. On remarque d'abord que
En utilisant les propriétés de la trace et des projections orthogonales, nous avons :
Le même raisonnement s'applique aux opérateurs normaux compacts dans les espaces de Hilbert de dimension infinie, où l'on utilise le produit scalaire de Hilbert-Schmidt , défini par tr( AB* ), convenablement interprété. Cependant, pour les opérateurs normaux bornés, le complément orthogonal d'un sous-espace stable peut ne pas être stable. Il s'ensuit que l'espace de Hilbert ne peut généralement pas être engendré par les vecteurs propres d'un opérateur normal. Considérons, par exemple, le décalage bilatéral (ou décalage à deux côtés) agissant sur , qui est normal, mais n'a pas de valeurs propres.
Les sous-espaces invariants d'un décalage agissant sur l'espace de Hardy sont caractérisés par le théorème de Beurling .
éléments normaux des algèbres
La notion d'opérateurs normaux se généralise à une algèbre involutive :
Un élément d'une algèbre involutive est dit normal si .
Les éléments auto-adjoints et unitaires sont normaux.
Le cas le plus important est celui où une telle algèbre est une C*-algèbre .
Opérateurs normaux non bornés
La définition des opérateurs normaux se généralise naturellement à une certaine classe d'opérateurs non bornés. Plus précisément, un opérateur fermé N est dit normal si
Ici, l'existence de l'adjoint N* exige que le domaine de N soit dense, et l'égalité inclut l'affirmation que le domaine de N*N est égal à celui de NN* , ce qui n'est pas nécessairement le cas en général.
Les opérateurs normaux équivalents sont précisément ceux pour lesquels
avec
Le théorème spectral reste valable pour les opérateurs non bornés (normaux). Les démonstrations reposent sur une réduction aux opérateurs bornés (normaux).
Généralisation
Le succès de la théorie des opérateurs normaux a conduit à plusieurs tentatives de généralisation par assouplissement de la condition de commutativité. Les classes d'opérateurs qui incluent les opérateurs normaux sont (par ordre d'inclusion) :