Opérateur positif

En mathématiques (plus précisément en algèbre linéaire , en théorie des opérateurs et en analyse fonctionnelle ) ainsi qu'en physique , un opérateur linéaireUne fonction agissant sur un espace préhilbertien est dite semi-définie positive (ou non négative ) si, pour tout,et, oùest le domaine deLes opérateurs semi-définis positifs sont notés commeL'opérateur est dit défini positif et s'écrit0" $0\mathrm{UN}>0$0 , si0" $0⟨\mathrm{UN}x,x⟩>0$0 pour tous.

De nombreux auteurs définissent un opérateur positifUn opérateur doit être auto-adjoint (ou au moins symétrique) et non négatif. Nous montrons ci-dessous que, pour un espace de Hilbert complexe, l'auto-adjonction découle automatiquement de la non-négativité. Pour un espace de Hilbert réel, la non-négativité n'implique pas l'auto-adjonction.

En physique (et plus précisément en mécanique quantique ), de tels opérateurs représentent des états quantiques , via le formalisme de la matrice de densité .

Pourl' identité de polarisation

et le fait quepour les opérateurs positifs, montrez quedoncest symétrique.

Contrairement au cas complexe, un opérateur semi-défini positif sur un espace de Hilbert réelpeut ne pas être symétrique. À titre de contre-exemple, définissonsêtre un opérateur de rotation d'un angle aiguAlors 0, " $0,⟨\mathrm{UN}x,x⟩=\Vert \mathrm{UN}x\Vert \Vert x\Vert \cos \phi >0,$0, maisdoncn'est pas symétrique.

La symétrie deimplique queetPourPour être auto-adjoint, il est nécessaire queDans notre cas, l'égalité des domaines est vérifiée cardoncest en effet auto-adjoint. Le fait queest désormais borné découle du théorème de Hellinger–Toeplitz .

Cette propriété ne se maintient pas.

Un ordre partiel naturel des opérateurs auto-adjoints découle de la définition des opérateurs positifs.si les conditions suivantes sont remplies :

1. etsont auto-adjoints

On peut constater qu'un résultat similaire au théorème de convergence monotone est valable pour les opérateurs monotones croissants , bornés et auto-adjoints sur les espaces de Hilbert.