Polynôme

Un polynôme est une expression qui peut être construite à partir de constantes et de symboles appelés variables ou indéterminées, au moyen d' additions , de multiplications et d'exponentiations à des puissances entières positives ou nulles . Les constantes sont généralement des nombres , mais peuvent être n'importe quel objet mathématique n'impliquant pas les indéterminées et pouvant être additionné et multiplié. Deux expressions polynomiales sont considérées comme définissant le même polynôme si elles peuvent être transformées l'une en l'autre en appliquant les propriétés usuelles de commutativité , d'associativité et de distributivité de l'addition et de la multiplication. Par exemple,etsont deux expressions polynomiales qui représentent le même polynôme ; donc, l'une a l' égalité.

Un polynôme en une seule indéterminée oùsont des constantes appelées coefficients du polynôme, etest l'indéterminé. Le mot « indéterminé » signifie quene représente aucune valeur particulière, bien que n'importe quelle valeur puisse lui être substituée. L'application qui associe le résultat de cette substitution à la valeur substituée est une fonction , appelée fonction polynomiale ; voir la notation de sommation : Autrement dit, un polynôme peut être nul ou s'écrire comme la somme d'un nombre fini de termes non nuls . Chaque terme est composé du produit d'un nombre – appelé coefficient du terme – et d'un nombre fini d'indéterminées, élevées à des puissances entières non négatives., le degré d'une indéterminée sans exposant écrit est un.

terme constant et polynôme constant . Le degré d'un terme constant et d'un polynôme constant non nul estLe degré du polynôme nul(qui ne comporte aucun terme) est généralement considéré comme non défini (mais voir ci-dessous).

Par exemple: est un terme. Le coefficient est, les indéterminées sontet, le degré deest deux, tandis que le degré deest un. Le degré du terme entier est la somme des degrés de chaque indéterminée qui le compose, donc dans cet exemple, le degré est.

La somme de plusieurs termes donne un polynôme. Par exemple, l'expression suivante est un polynôme : Il se compose de trois termes : le premier est de degré deux, le deuxième de degré un et le troisième de degré zéro.

polynôme constant , ou simplement une constante . Les polynômes de degré un, deux ou trois sont respectivement des polynômes linéaires , quadratiques et cubiques . Pour les degrés supérieurs, les noms spécifiques sont moins courants, bien que les termes polynôme quartique (pour le degré quatre) et polynôme quintique (pour le degré cinq) soient parfois utilisés. Ces noms de degré peuvent s'appliquer au polynôme lui-même ou à ses termes. Par exemple, le termedansest un terme linéaire dans un polynôme quadratique.

Le polynôme nul, que l'on peut considérer comme n'ayant aucun terme, est appelé polynôme nul . Contrairement aux autres polynômes constants, son degré n'est pas nul. En effet, le degré du polynôme nul est soit explicitement indéfini, soit défini comme négatif (soit −1, soit −1). [ polynôme nul est également unique en ce sens qu'il est le seul polynôme d'une indéterminée possédant une infinité de racines . Le graphique du polynôme nul,, est le-axe.

Dans le cas des polynômes à plus d'une indéterminée, un polynôme est dit homogène de degrési tous ses termes non nuls ont un degréLe polynôme nul est homogène et, en tant que polynôme homogène, son degré est indéfini. Par exemple,est homogène de degréPour plus de détails, voir polynômes homogènes .

La propriété commutative de l'addition permet de réorganiser les termes selon l'ordre souhaité. Dans les polynômes comportant une indéterminée, les termes sont généralement ordonnés par degré, soit par ordre décroissant de puissances de 1/2.", avec le terme de plus haut degré en premier, ou en "puissances croissantes de". Le polynômeest écrit en puissances décroissantes deLe premier terme a pour coefficient, indéterminé, et exposantDans le deuxième terme, le coefficient estLe troisième terme est une constante. Le degré d'un polynôme non nul étant le plus grand degré de chacun de ses termes, ce polynôme est de degré deux.

Deux termes ayant les mêmes indéterminées élevées à la même puissance sont appelés « termes semblables » et peuvent être combinés, grâce à la distributivité , en un seul terme dont le coefficient est la somme des coefficients des termes combinés. Il peut arriver que cela rende le coefficient.

Les polynômes peuvent être classés selon le nombre de termes à coefficients non nuls : un polynôme à un terme est appelé monôme , un termes est appelé binôme et un polynôme à trois termes est appelé trinôme . Un polynôme à deux termes ou plus est également appelé multinôme .

réels . Lorsqu'il est utilisé pour définir une fonction , son domaine de définition n'est pas aussi restreint. Cependant, une fonction polynomiale réelle est une fonction de l'ensemble des nombres réels vers l'ensemble des nombres réels définie par un polynôme réel. De même, un polynôme entier est un polynôme à coefficients entiers , et un polynôme complexe est un polynôme à coefficients complexes .

, et", en énumérant les indéterminées autorisées.