Angle droit

En géométrie et en trigonométrie , un angle droit est un angle de 90 degrés exactement ou ⁠/2⁠ radians correspondant à un quart de tour . Si un rayon est placé de sorte que son extrémité soit sur une droite et que les angles adjacents soient égaux, alors ce sont des angles droits. Le terme est un calque du latin angulus rectus ; ici rectus signifie « droit », en référence à la verticale perpendiculaire à une ligne de base horizontale.

Les concepts géométriques étroitement liés et importants sont les droites perpendiculaires , c'est-à-dire les droites qui forment des angles droits en leur point d'intersection, et l'orthogonalité , qui est la propriété de former des angles droits, généralement appliquée aux vecteurs . La présence d'un angle droit dans un triangle est le facteur déterminant pour les triangles rectangles , faisant de l'angle droit un élément fondamental de la trigonométrie.

Le sens de « droit » dans « angle droit » fait probablement référence à l’ adjectif latin « rectus » signifiant « droit, droit, vertical ». Un équivalent grec est « orthos » signifiant « droit, perpendiculaire » (voir orthogonalité ).

Un rectangle est un quadrilatère possédant quatre angles droits. Un carré possède quatre angles droits, ainsi que des côtés de même longueur.

Le théorème de Pythagore explique comment déterminer si un triangle est rectangle .

En Unicode , le symbole de l'angle droit est U+221F ∟ ANGLE DROIT ( ∟ ). Il ne faut pas le confondre avec le symbole de forme similaire U+231E ⌞ COIN INFÉRIEUR GAUCHE ( ⌞, ⌞ ). Les symboles apparentés sont U+22BE ⊾ ANGLE DROIT AVEC ARC ( ⊾ ), U+299C ⦜ VARIANTE D'ANGLE DROIT AVEC CARRÉ ( ⦜ ) et U+299D ⦝ ANGLE DROIT MESURÉ AVEC POINT ( ⦝ ).

Dans les diagrammes, le fait qu'un angle soit droit est généralement indiqué par l'ajout d'un petit angle droit formant un carré avec cet angle, comme illustré dans le diagramme d'un triangle rectangle (en anglais britannique, « rect-angle triangle ») à droite. Le symbole d'un angle mesuré, un arc de cercle surmonté d'un point, est utilisé dans certains pays européens, notamment les pays germanophones et la Pologne, comme symbole alternatif pour un angle droit.

Les angles droits sont fondamentaux dans les Éléments d'Euclide . Ils sont définis dans le Livre I, définition 10, qui définit également les droites perpendiculaires. La définition 10 n'utilise pas de mesures numériques en degrés, mais aborde plutôt l'essence même de ce qu'est un angle droit : deux droites sécantes forment deux angles égaux et adjacents. Les droites qui forment des angles droits sont dites perpendiculaires. Euclide utilise les angles droits dans les définitions 11 et 12 pour définir les angles aigus (inférieurs à un angle droit) et les angles obtus (supérieurs à un angle droit). Deux angles sont dits complémentaires si leur somme est un angle droit.

Le postulat 4 du livre 1 affirme que tous les angles droits sont égaux, ce qui permet à Euclide d'utiliser l'angle droit comme unité de mesure. Proclus , commentateur d'Euclide , en a donné une démonstration à partir des postulats précédents, mais on peut objecter que cette démonstration repose sur des hypothèses implicites. Saccheri en a également donné une, mais en utilisant une hypothèse plus explicite. Dans l'axiomatisation de la géométrie par Hilbert , cette affirmation est présentée comme un théorème, mais seulement après de nombreux travaux préparatoires. On peut soutenir que, même si le postulat 4 peut être démontré à partir des précédents, l'ordre de présentation des idées par Euclide exige son inclusion, car sans lui, le postulat 5, qui utilise l'angle droit comme unité de mesure, serait dénué de sens.

Un angle droit peut être exprimé dans différentes unités :

• ⁠1/4tourner​
• 90° ( degrés )
• ⁠π/2radians​
• 100 grad (également appelé grade , gradian ou gon )
• 8 points (d'une rose des vents à 32 points )

De tout temps, les charpentiers et les maçons ont connu une méthode rapide pour vérifier si un angle est droit. Elle repose sur le triplet pythagoricien (3, 4, 5) et la règle 3-4-5. À partir de l'angle considéré, en traçant une ligne droite de trois unités exactement le long d'un côté et de quatre unités exactement le long de l'autre, on obtient une hypoténuse (le segment le plus long, opposé à l'angle droit, reliant les deux extrémités mesurées) de cinq unités exactement.

Construction de la perpendiculaire à la demi-droite h à partir du point P (applicable non seulement au point d'extrémité A, M étant librement sélectionnable), animation finale avec une pause de 10 s

Construction alternative si P est hors de la demi-droite h et que la distance A à P' est petite (B est librement sélectionnable), animation à la fin avec une pause de 10 s

Le théorème de Thalès stipule qu'un angle inscrit dans un demi-cercle (dont un sommet se trouve sur le demi-cercle et dont les rayons définissants passent par les extrémités du demi-cercle) est un angle droit.

Deux exemples d'application dans lesquels l'angle droit et le théorème de Thalès sont inclus (voir animations).

L' angle solide sous-tendu par un octant d'une sphère (le triangle sphérique à trois angles droits) est égal à π /2 sr .