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Une fonction mathématiques , la fonction inverse d'une fonction si et seulement si bijective , et si elle existe, elle est notée .
Pour une fonction , son inverse admet une description explicite : elle envoie chaque élément à l'unique élément tel que à valeurs réelles d'une variable réelle définie par
Si le domaine est l' ensemble codomaine est l'ensemble
Si John Frederick William Herschel en 1813.
La fonction injective , et la condition pour tout implique que surjective .
La fonction inverse
Inverses et composition
, pour chaque et pour chaque .
En utilisant la composition de fonctions , cette affirmation peut être réécrite sous la forme des équations suivantes entre fonctions :
et
où fonction identité sur l'ensemble théorie des catégories , cette formulation sert de définition à un morphisme inverse .
L'étude de la composition de fonctions permet de comprendre la notation itération . Si inverse multiplicatif de inverse multiplicatif .
Conformément à la notation générale, certains auteurs anglophones utilisent des expressions telles que inverse partielle ; voir ci-dessous). D'autres auteurs estiment que cela peut prêter à confusion avec la notation de l'inverse multiplicatif de fonction trigonométrique inverse est souvent indiquée par le préfixe « arc » (du latin arcsinus , notée arcsin ( x ) . De même, l'inverse d'une fonction hyperbolique est indiquée par le préfixe « ar » (du latin sinus hyperbolique s'écrit généralement arsinh ( x ) . Les expressions telles que multivoque de l'inverse partielle . D'autres fonctions spéciales inverses sont parfois précédées du préfixe « inv », afin d'éviter l'ambiguïté de la notation
fonctions inverses standard
Le tableau suivant présente plusieurs fonctions standard et leurs inverses :
De nombreuses fonctions définies par des formules algébriques admettent une formule pour leur inverse. En effet, l'inverse d'une fonction inversible possède une description explicite.
.
Cela permet de déterminer facilement les inverses de nombreuses fonctions données par des formules algébriques. Par exemple, si
Pour déterminer la valeur de
Ainsi, la fonction inverse
Parfois, l'inverse d'une fonction ne peut pas être exprimée par une formule explicite . Par exemple, si
Alors formule de cette inverse s'exprime sous forme de somme infinie :
Propriétés
Puisqu'une fonction est un type particulier de relation binaire , de nombreuses propriétés d'une fonction inverse correspondent à des propriétés des relations réciproques .
Unicité
Si une fonction inverse existe pour une fonction donnée et
Cette affirmation découle de l'implication selon laquelle, pour être inversible, involutive de l'inverse peut être exprimée de manière concise par
L'inverse de
Remarquez que l'ordre de
Pour inverser ce processus, il faut d'abord soustraire cinq, puis diviser par trois.
Il s'agit de la composition fonction identité sur
Plus généralement, une fonction involution .
Graphique de l'inverse
Les graphiques de
est identique au graphique de l'équation
Ceci est identique à l'équation effectuer une symétrie axiale par rapport à la droite d' théorème de la fonction inverse , une fonction continue d'une seule variable (où ) est inversible sur son image si et seulement si elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante (sans maximum ni minimum local ). Par exemple, la fonction
est inversible, puisque la dérivée différentiable sur un intervalle
fonction multivariable continûment différentiable matrice jacobienne en inversible . Dans ce cas, la matrice jacobienne de inverse de la matrice jacobienne de Celsius en une température en degrés Fahrenheit ; sa fonction inverse convertit alors les degrés Fahrenheit en degrés Celsius, puisque
Supposons que la fonction
Soit La racine carrée de restreignant son domaine. Par exemple, la fonction
n'est pas injective, puisque
(Si l'on se restreint plutôt au domaine La fonction inverse de cette fonction cubique possède trois branches.
Il n'est pas nécessaire de restreindre le domaine si l'on accepte que l'inverse soit une fonction multivoque :
Parfois, cette fonction inverse multivoque est appelée l' inverse complète de , et sa valeur en extrema locaux . Par exemple, la fonction inverse d'une fonction cubique avec un maximum local et un minimum local possède trois branches (voir l'illustration ci-contre).
Inverses trigonométriques
L' arcsinus est une fonction inverse partielle de la fonction sinus .
Les considérations précédentes sont particulièrement importantes pour définir les fonctions inverses des fonctions trigonométriques . Par exemple, la fonction sinus n'est pas bijective, car
pour tout réel entier arcsinus. Ceci est considéré comme la branche principale de l'arcsinus, donc la valeur principale de l'arcsinus est toujours comprise entre −
La composition des fonctions à gauche et à droite n'a pas besoin de coïncider. En général, les conditions
"Il existe
"Il existe
impliquent différentes propriétés de rétraction de mathématiques constructives . Par exemple, un inverse à gauche de l’ inclusion l’indécomposabilité en induisant une rétraction de la droite réelle à l’ensemble Exemple d' inverse à droite avec fonction non injective et surjective
L' inverse à droite de une section de
Autrement dit, la fonction
Ainsi, surjective (cette équivalence est valable si et seulement si l' axiome du choix est vérifié).
Si
Si
Une fonction admet un inverse bilatéral si et seulement si elle est bijective.
Une fonction bijective
L'image antérieure de image de un sous-ensemble quelconque de
Par exemple, considérons la fonction .
La notion originale et sa généralisation sont liées par l'identité suivante : la préimage d'un élément unique singleton fibre de ensemble de niveau .
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