Fonction implicite

En mathématiques , une équation implicite est une relation de la forme où R est une fonction de plusieurs variables (souvent un polynôme ). Par exemple, l'équation implicite du cercle unité est :

Une fonction implicite est une fonction définie par une équation implicite qui relie une des variables, considérée comme la valeur de la fonction, aux autres, considérées comme ses arguments . Par exemple, l'équation du cercle unité définit y comme une fonction implicite de x , sous l'hypothèse −1 ≤ x ≤ 1 et avec y restreint à des valeurs non négatives. Certaines équations n'admettent pas de solution explicite .

Le théorème des fonctions implicites fournit des conditions sous lesquelles certains types d'équations implicites définissent des fonctions implicites, à savoir celles qui sont obtenues en égalant à zéro des fonctions multivariables qui sont continûment différentiables .

Un type courant de fonction implicite est la fonction inverse . Toutes les fonctions n'admettent pas une fonction inverse unique. Si g est une fonction de x qui possède une fonction inverse unique, alors la fonction inverse de g , notée g⁻¹ , est l'unique fonction qui donne une solution de l'équation ^.

pour x en fonction de y . Cette solution peut alors s'écrire comme

Définir g ⁻¹ comme l'inverse de g est une définition implicite. Pour certaines fonctions g , g ⁻¹ ( y ) peut être écrit explicitement sous forme d'expression fermée — par exemple, si g ( x ) = 2 x − 1 , alors g ⁻¹ ( y ) = ⁠1/2( y + 1) . Cependant, cela n'est souvent pas possible, ou seulement en introduisant une nouvelle notation (comme dans l' exemple du logarithme du produit ci-dessous).

Intuitivement, on obtient une fonction inverse à partir de g en inversant les rôles des variables dépendantes et indépendantes.

Exemple : Le produit logarithme est une fonction implicite donnant la solution pour x de l'équation y − xe ^x = 0 .

Une fonction algébrique est une fonction qui satisfait une équation polynomiale dont les coefficients sont eux-mêmes des polynômes. Par exemple, une fonction algébrique à une variable x donne une solution pour y d'une équation.

où les coefficients a _{_i} ( x ) sont des fonctions polynomiales de x . Cette fonction algébrique peut s'écrire comme le membre de droite de l'équation solution y = f ( x ) . Écrite ainsi, f est une fonction implicite multivoque .

Les fonctions algébriques jouent un rôle important en analyse mathématique et en géométrie algébrique . Un exemple simple de fonction algébrique est donné par le membre de gauche de l'équation du cercle unité :

La résolution de cette équation pour y donne une solution explicite :

Mais même sans spécifier cette solution explicite, il est possible de faire référence à la solution implicite de l'équation du cercle unitaire comme y = f ( x ) , où f est la fonction implicite multivaluée.

Bien que des solutions explicites puissent être trouvées pour les équations quadratiques , cubiques et quartiques en y , cela n'est généralement pas vrai pour les équations quintiques et de degré supérieur, telles que

Néanmoins, on peut toujours se référer à la solution implicite y = f ( x ) impliquant la fonction implicite multivaluée f .

Toute équation R ( x , y ) = 0 n'implique pas nécessairement le graphe d'une fonction univoque, l'équation du cercle en étant un exemple courant. Un autre exemple est une fonction implicite donnée par x − C ( y ) = 0, où C est un polynôme cubique dont le graphe présente un point culminant. Ainsi, pour qu'une fonction implicite soit une fonction univoque , il peut être nécessaire de n'utiliser qu'une partie de son graphe. Une fonction implicite peut parfois être définie comme une fonction univoque uniquement après avoir « zoomé » sur une portion de l' axe des abscisses et « éliminé » certaines branches de fonction indésirables. On peut alors écrire une équation exprimant y comme une fonction implicite des autres variables.

L'équation définissante R ( x , y ) = 0 peut présenter d'autres anomalies. Par exemple, l'équation x = 0 n'implique aucune fonction f ( x ) admettant des solutions pour y ; elle représente une droite verticale. Afin d'éviter ce type de problème, diverses contraintes sont fréquemment imposées aux types d'équations admissibles ou au domaine de définition . Le théorème des fonctions implicites offre une méthode uniforme pour traiter ces anomalies.

Soit R ( x , y ) une fonction différentiable de deux variables, et ( a , b ) une paire de nombres réels tels que R ( a , b ) = 0. Si∂ R/∂ y⁠ ≠ 0 , alors R ( x , y ) = 0 définit une fonction implicite qui est différentiable dans un voisinage suffisamment petit de ( a , b ) ; en d'autres termes, il existe une fonction différentiable f qui est définie et différentiable dans un voisinage de a , telle que R ( x , f ( x )) = 0 pour x dans ce voisinage.

La condition∂ R/∂ y⁠ ≠ 0 signifie que ( a , b ) est un point régulier de la courbe implicite de l'équation implicite R ( x , y ) = 0 où la tangente n'est pas verticale.

En termes moins techniques, des fonctions implicites existent et peuvent être différenciées si la courbe possède une tangente non verticale.

Considérons une relation de la forme R ( x₁ _, …, xₙ ₎ = 0 , où R est un polynôme à plusieurs variables. L'ensemble des valeurs des variables qui satisfont cette relation est appelé courbe implicite si n = 2 et surface implicite si n = 3. Les équations implicites sont à la base de la géométrie algébrique , dont l'objet d'étude principal est la résolution simultanée de plusieurs équations implicites dont les membres de gauche sont des polynômes. Ces ensembles de solutions simultanées sont appelés ensembles algébriques affines .

Les solutions des équations différentielles apparaissent généralement exprimées par une fonction implicite.

En économie , lorsque l'ensemble de niveau R ( x , y ) = 0 est une courbe d'indifférence pour les quantités x et y consommées de deux biens, la valeur absolue de la dérivée implicitedy/dxest interprété comme le taux marginal de substitution des deux biens : la quantité supplémentaire de y qu’il faut recevoir pour être indifférent à la perte d’une unité de x .

De même, il arrive que l'ensemble de niveau R ( L , K ) soit une isoquante montrant diverses combinaisons de quantités utilisées L de travail et K de capital physique, chacune permettant de produire la même quantité donnée d'un bien. Dans ce cas, la valeur absolue de la dérivée implicitedK/dLest interprété comme le taux marginal de substitution technique entre les deux facteurs de production : la quantité de capital supplémentaire que l'entreprise doit utiliser pour produire la même quantité de production avec une unité de travail en moins.

En théorie économique , il arrive souvent qu'une fonction, telle qu'une fonction d'utilité ou une fonction de profit , soit à maximiser par rapport à un vecteur de choix x, même si la fonction objectif n'est soumise à aucune contrainte fonctionnelle particulière. Le théorème des fonctions implicites garantit que les conditions du premier ordre de l'optimisation définissent une fonction implicite pour chaque élément du vecteur optimal x * du vecteur de choix x . Lorsque le profit est maximisé, les fonctions implicites résultantes sont généralement la fonction de demande de travail et les fonctions d'offre des différents biens. Lorsque l'utilité est maximisée, les fonctions implicites résultantes sont généralement la fonction d'offre de travail et les fonctions de demande des différents biens.

De plus, l'influence des paramètres du problème sur x * — les dérivées partielles de la fonction implicite — peut être exprimée comme des dérivées totales du système de conditions du premier ordre trouvées à l'aide de la différentiation totale .