Espaces de fonctions de test et de distributions

Un opérateur différentiel est une somme oùet tous sauf un nombre fini desont identiquement égaux est appelé l' SiSi est un opérateur différentiel linéaire d'ordre défini paroù nous réutiliserons la notation et désignerons également cette carte par

Pour toutla topologie LF canonique surest la topologie TVS localement convexe la plus faible rendant tous les opérateurs différentiels linéaires dansde l'ordreen cartes continues à partir dedans⁠ .

Les espaces duaux forts deetsont des espaces séquentiels mais pas des espaces de Fréchet-Urysohn . De plus, l'espace des fonctions de test ne l'est pas non plus.ni sa forte doubleest un espace séquentiel (même pas un dansconverge danssi et seulement s'il existe untel quecontient cette séquence et cette séquence converge en; de manière équivalente, elle converge si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

1. Il existe un ensemble compactcontenant les supports de tous
2. Pour chaque multi-indexla suite des dérivées partiellestend uniformément à

Ni l'espaceni sa forte doubleest un espace séquentiel , et par conséquent, leurs topologies ne peuvent ⁠ . On peut dire la même chose de la topologie duale forte sur⁠ .

Néanmoins, les suites caractérisent de nombreuses propriétés importantes, comme nous allons le voir. On sait que dans l' espace dual de tout espace de Montel, une suite converge sous la topologie duale forte si et seulement si elle converge sous la topologie faible* [ C'est notamment la raison pour laquelle une suite de distributions converge (sous la topologie duale forte) si et seulement si elle converge ponctuellement (ce qui conduit de nombreux auteurs à utiliser la convergence ponctuelle pour réseaux de distributions, car un réseau peut converger ponctuellement sans converger sous la topologie duale forte).

Les suites caractérisent la continuité des applications linéaires à valeurs dans un espace localement convexe. Supposons que espace bornologique localement convexe (tel que l'un des six espaces topologiques à valeurs mentionnés précédemment). Alors une application linéaireUne fonction linéaire de X dans un espace localement convexe sous-ensembles bornés de est continue si et seulement si elle associe aux suites nulles convergentes de Mackey des sous-ensembles bornés deDonc en particulier, si une application linéaireSi une application est séquentiellement continue à l'origine dans un espace localement convexe, alors elle est continue. Cependant, cela ne s'étend est séquentiellement dense dans ⁠ . De plus,est un sous-ensemble séquentiellement dense de(avec sa topologie duale forte) et également un sous-ensemble séquentiellement dense de l'espace dual fort de

• L'espace dual fort deTVS est isomorphe àvia l'isomorphisme TVS canoniquedéfini par l'envoià la (c'est-à-dire, à la fonctionnelle linéaire surdéfini par l'envoià⁠ );
• Sur tout sous-ensemble borné deles topologies de sous-espace faibles et fortes coïncident ; il en va de même pour ⁠ ;
• Toute suite faiblement convergente dansest fortement convergente (bien que cela ne s'étende pas aux réseaux ).

transposée d'un opérateur linéaire. Ceci se justifie par le fait que la transposée permet une présentation unifiée des nombreuses définitions de la théorie des distributions et que ses propriétés sont bien connues en analyse fonctionnelle . Par exemple, l' adjoint hermitien d'un opérateur linéaire entre espaces de Hilbert est simplement la transposée de cet opérateur (à laquelle on utilise le théorème de représentation de Riesz pour identifier chaque espace de Hilbert à son dual continu ). Plus généralement, la transposée d'une application linéaire continue est définie comme suit :est la carte linéaire ou, de manière équivalente, c'est la carte unique qui satisfaitpour touset tout(le symbole prime dansne désigne pas un dérivé quelconque ; cela indique simplement queest un élément de l'espace dual continu). Depuisest continue, la transposéeest également continue lorsque les deux duaux sont dotés de leurs topologies duales fortes respectives ; elle est également continue lorsque les deux duaux sont dotés de leurs topologies faibles* respectives (voir les articles topologie polaire et système dual pour plus de détails).

Dans le contexte des distributions, la caractérisation de la transposée peut être légèrement affinée. SoitSoit une application linéaire continue. Alors, par définition, la transposée deest l'unique opérateur linéairequi satisfait :

Depuisest dense dans(ici,fait en fait référence à l'ensemble des distributions) il suffit que l'égalité définissante soit vérifiée pour toutes les distributions de la formeoùConcrètement, cela signifie qu'une application linéaire continueest égal àsi et seulement si la condition ci-dessous est remplie : où le membre de droite est égal à

Laisserêtre des sous-ensembles ouverts de ⁠ . Chaque fonctionpeut être à une fonction suren le fixant égal àsur le complémentCette extension est une fonction lisse à support compact appelée l' àet il sera désigné par Cette missiondéfinit l' opérateur qui est une application linéaire injective continue. Elle est utilisée pour identifier canoniquementcomme sous-espace vectoriel de(bien que ce ne soit sous-espace topologique ). Sa transposée ( expliquée ici ). est appelé lede distributions dans et comme son nom l'indique, l'imaged'une distributionSous cette carte se trouve une distribution surappelée la restriction deàLa condition déterminante de la restrictionest: Sialors l'application d'extension triviale (linéaire injective continue)n'est en tant que sous-ensemble dealorsLa topologie de serait strictement plus fine que la topologie du sous-espace quiinduit sur lui ; il est important de noter qu'il ne s'agirait sous-espace topologique (car cela impliquerait l'égalité des topologies) et que son image n'est Par conséquent, sialors l'application de restriction n'est ni injective ni surjective. Une distributionest dite et on dit qu'elle est

À moins ⁠ , la restriction àn'est ni injectif ni surjectif .

⁠ , l'espace vectorieldefonctions suret sa topologie sont définies comme limites directes des espacesd'une manière analogue à la façon dont les topologies LF canoniques suront été définies. Pour tout compact ⁠ , soitdésigne l'ensemble de tous les éléments de(qui, rappelons-le, sont des classes d'équivalence de Lebesgue mesurables)fonctions sur) ayant un représentantdont le soutien (rappelons que c'est la fermeture dedans) est un sous-ensemble de(tel unest presque partout défini dans ⁠ ). L'ensembleest un sous-espace vectoriel ferméet est donc un espace de Banach et lorsquemême un espace de Hilbert . Soitêtre l'union de touscommeplages sur tous les sous-ensembles compacts de L'ensembleest un sous-espace vectoriel dedont les éléments sont les (classes d'équivalence de) support compactfonctions définies sur(ou presque partout sur ⁠ ). Doteravec la topologie finale (topologie limite directe) induite par les applications d'inclusioncommeplages sur tous les sous-ensembles compacts de Cette topologie est appelée ensemble dénombrable d'applications d'inclusion() oùsont des ensembles compacts dont l'union est égale à Cette topologie renddans un espace LB (et donc aussi un espace LF ) avec une topologie strictement plus fine que la topologie normative (sous-espace) quiinduit sur lui.

La carte d'inclusionest une injection continue dont l'image est dense dans son codomaine, donc la transposée est également une injection continue.

Notez que l'espace dual continupeut être identifié comme l'espace des mesures de Radon , où il existe une correspondance biunivoque entre les fonctionnelles linéaires continueset intégrale par rapport à une mesure de Radon ; c'est-à-dire,

• sialors il existe une mesure du radonsur et
• siest une mesure de Radon sur défini parest continu.

Par injection toute mesure de Radon devient une distribution surest une fonction localement intégrable sur est une mesure de Radon ; les mesures de Radon forment donc un espace de distributions vaste et important.

Voici le théorème de la structure des distributions des mesures de Radon , qui montre que toute mesure de Radon peut s'écrire comme une somme de dérivées de localementfonctions dans est une mesure du radon, oùlaisserêtre un quartier de soutien deet laissezIl existe une famillede localementfonctions sur U telles quepour chaque⁠ , et En outre,est également égal à une somme finie de dérivées de fonctions continues suroù chaque dérivé a l'ordre

Mesures positives du radon

Une fonction linéaire qui appartient au domaine de est à valeurs réelles et ⁠ ) ​​alorsOn peut montrer que toute fonctionnelle linéaire positive surest nécessairement continue (c'est-à-dire nécessairement une mesure de Radon). La mesure de Lebesgue est un exemple de mesure de Radon positive.

La carte d'inclusionest une injection continue dont l'image est dense dans son codomaine, donc la transposée est également une injection continue. Ainsi, l'image de la transposée, notée parforme un espace de distributions lorsqu'il est muni de la topologie duale forte de(transféré à celui-ci via la carte de transposition donc la topologie deest plus fine que la topologie de sous-espace dont cet ensemble hérite.).

Les éléments depeut être identifié comme l'espace des distributions à support compact. Plus précisément, si ;

Les distributions à support compact définissent des fonctionnelles linéaires continues sur l'espace; rappelons que la topologie surest définie de telle sorte qu'une séquence de fonctions de testconverge vers 0 si et seulement si toutes les dérivées deconvergent uniformément vers 0 sur tout sous-ensemble compact de à

LaisserLa carte d'inclusionest une injection continue dont l'image est dense dans son codomaine, donc la transposée est également une injection continue. Par conséquent, l'image dedésigné parforme un espace de distributions lorsqu'il est muni de la topologie duale forte de(transféré à celui-ci via la carte de transposition doncLa topologie de est plus fine que la topologie du sous-espace dont cet ensemble hérite.). Les éléments desont Les distributions d'ordre⁠ , également appelées⁠ , sont exactement les distributions qui sont des mesures de Radon (décrites ci-dessus).

Pourune est une distribution d'ordrece n'est pas une distribution d'ordre

Une distribution est dite d' et l'ensemble des distributions d'ordre fini est noté parNotez que sialorsde sorte queest un sous-espace vectoriel deet de plus, si et seulement ⁠ .

Structure des distributions d'ordre fini

Toute distribution à support compact dans est l'application de restriction de sousest contenu dans ⁠ .

Voici le théorème de la structure des distributions d'ordre fini, qui montre que toute distribution d'ordre fini peut s'écrire comme une somme de dérivées de mesures de Radon :