Fonction Bump

En analyse mathématique , une fonction de troncature est une fonction auxiliaire localisée , généralement choisie pour être lisse et à support compact . Les fonctions de troncature sont couramment utilisées comme fonctions de troncature , par exemple des fonctions égales à 1 sur un ensemble donné et nulles en dehors d'un ensemble plus large, et comme exemples classiques de noyaux utilisés pour construire des fonctions de troncature .

Certains auteurs utilisent le terme de manière plus générale pour désigner toute fonction lisse à support compact. De telles fonctions constituent d'importants exemples de fonctions-tests , notamment en théorie des distributions , mais les termes « fonction de bosse » et « fonction-test » ne sont pas synonymes dans tous les contextes.

La fonction donnée par

est un exemple de fonction bosse en une dimension. Notons que le support de cette fonction est l'intervalle fermé . En effet, par définition du support , on a , où la fermeture est prise par rapport à la topologie euclidienne de la droite réelle. La démonstration de la régularité suit le même raisonnement que pour la fonction apparentée étudiée dans l' article « Fonctions lisses non analytiques » . Cette fonction peut être interprétée comme la fonction gaussienne mise à l'échelle pour tenir dans le disque unité : la substitution correspond à envoyer à

Un exemple simple de fonction de bosse (carrée) à variables est obtenu en multipliant des copies de la fonction de bosse ci-dessus à une variable.

On peut former une fonction de bosse à symétrie radiale en variables en prenant la fonction définie par . Cette fonction est supportée par la sphère unité centrée à l'origine.

Prenons par exemple une fonction positive sur une surface et nulle ailleurs.

.

fonctions de transition douce

Un point de départ standard est la fonction

0,\\\\ 0&\ ext{if }x\\le0,\\end{cases}" 0,\\0&{ ext{si }}x\leq 0,\end{cases

défini pour chaque nombre réel x .

À partir de là, définir

Le dénominateur est strictement positif sur toute la droite réelle, donc g est lisse. De plus, g ( x ) = 0 pour x ≤ 0 et g ( x ) = 1 pour x ≥ 1, donc g assure une transition lisse de 0 à 1 sur l' intervalle unité [ 0, 1 ] . Un changement d'échelle assure une transition lisse sur tout intervalle [ a , b ] avec a < b .

On peut obtenir une fonction de bosse à support compact en multipliant une transition montante par une transition descendante. Pour des nombres réels

La fonction est lisse, vaut 1 sur l'intervalle fermé [ b , c ] et s'annule en dehors de l'intervalle ouvert ( a , d ). Elle peut donc servir de fonction de palier. Lorsque

La formule

est l'expression de cette fonction uniquement sur ; en elle-même, elle ne spécifie pas les valeurs des points d'extrémité à .

Une expression intérieure paramétrée apparentée est

.

Par exemple, avec des valeurs d'extrémité appropriées, on obtient des courbes de transition lisses avec des pentes quasi constantes. Cet exemple illustre une fonction de transition avec des pentes parfaitement rectilignes .

La fonction de transition g ci-dessus peut également s'écrire explicitement comme

et, sur , sa branche non constante peut être représentée à l'aide de fonctions hyperboliques :

Il est possible de construire des fonctions de transition « selon des spécifications ». Formellement, si est un ensemble compact quelconque de dimension et un ouvert contenant , il existe une fonction de transition définie sur et à l'extérieur de . Comme peut être considéré comme un très petit voisinage de , cela revient à pouvoir construire une fonction définie sur et qui décroît rapidement à l'extérieur de tout en restant lisse.

Fonctions de bosse définies en termes de convolution

La construction se déroule comme suit. On considère un voisinage compact de inclus dans . La fonction caractéristique de sera égale à sur et en dehors de , donc en particulier, elle sera égale à sur et en dehors de . Cette fonction n'est cependant pas lisse. L'idée principale est de la lisser légèrement, en prenant la convolution de avec un lisseur . Ce dernier est simplement une fonction bosse à support très petit et dont l'intégrale est . Un tel lisseur peut être obtenu, par exemple, en prenant la fonction bosse de la section précédente et en effectuant des changements d'échelle appropriés.

Les fonctions de bosse sont définies en termes d'une fonction avec support

On détaille maintenant une construction alternative qui n'implique pas de convolution. Elle commence par la construction d'une fonction lisse positive sur un sous-ensemble ouvert donné et s'annulant en dehors de Le support de cette fonction est égal à l'adhérence de dans , donc si est compact, alors est une fonction de bosse.

Considérons une fonction lisse quelconque qui s'annule sur les réels négatifs et est positive sur les réels positifs (c'est-à-dire sur et sur où la continuité à gauche implique ) ; par exemple, est pour et sinon. Fixons un ouvert de et notons la norme euclidienne usuelle (donc est muni de la métrique euclidienne usuelle ). La construction suivante définit une fonction lisse positive sur et nulle en dehors de Ainsi, en particulier, si est relativement compact, cette fonction sera une fonction de bosse. 0" $0c>0$0 0" $0x>0$0

Si alors soit tandis que si alors soit ; supposons donc que ne soit ni l'un ni l'autre. Soit un recouvrement ouvert de par des boules ouvertes où la boule ouverte a pour rayon et pour centre . Alors l'application définie par est une fonction lisse positive sur et s'annule en dehors de Pour tout , soit où ce supremum n'est pas égal à (donc est un nombre réel non négatif) car les dérivées partielles s'annulent toutes (égales ) en tout point en dehors de , tandis que sur l'ensemble compact , les valeurs de chacune des (en nombre fini) dérivées partielles sont (uniformément) majorées par un certain nombre réel non négatif. La série converge uniformément sur vers une fonction lisse positive sur et s'annule en dehors de De plus, pour tous entiers non négatifs , cette série converge également uniformément sur (car chaque fois que , alors la valeur absolue du ^ième terme est ). Ceci achève la construction. 0" $0r_k>0$0

En corollaire, étant donné deux sous-ensembles fermés disjoints de la construction ci-dessus, l'existence de fonctions lisses non négatives est garantie telle que, pour tout , si et seulement si et de même, si et seulement si alors la fonction est lisse et, pour tout , si et seulement si si et seulement si et si et seulement si En particulier, si et seulement si, donc si, de plus, est relativement compact dans (où implique ), alors sera une fonction bosse lisse à support dans

Bien que les fonctions de bosse soient lisses, le théorème d'identité interdit qu'elles soient analytiques à moins qu'elles ne s'annulent identiquement. Les fonctions de bosse sont souvent utilisées comme fonctions de régularisation , comme fonctions de troncature lisses et pour former des partitions lisses de l'unité . Elles constituent la classe la plus courante de fonctions-tests en analyse. L'espace des fonctions de bosse est stable par de nombreuses opérations. Par exemple, la somme, le produit ou la convolution de deux fonctions de bosse est encore une fonction de bosse, et tout opérateur différentiel à coefficients lisses, appliqué à une fonction de bosse, produit une autre fonction de bosse.

Pour que les frontières du domaine de la fonction Bump satisfassent à l'exigence de « régularité », elles doivent préserver la continuité de toutes leurs dérivées, ce qui conduit à l'exigence suivante aux frontières de son domaine :

La transformée de Fourier d'une fonction bosse est une fonction analytique (réelle) et peut être étendue à tout le plan complexe ; par conséquent, elle ne peut être à support compact que si elle est nulle, puisque la seule fonction bosse analytique complète est la fonction nulle (voir le théorème de Paley-Wiener et le théorème de Liouville ). Comme la fonction bosse est infiniment différentiable, sa transformée de Fourier doit décroître plus rapidement que toute puissance finie de ω pour une grande fréquence angulaire La transformée de Fourier de la fonction bosse considérée ci-dessus peut être analysée par la méthode du point selle et décroît asymptotiquement comme ω⁻¹ pour les grandes valeurs de ω

L'intégrale de la fonction de bosse est donnée par où et sont les fonctions de Bessel modifiées de seconde espèce .