Norme de l'opérateur

En mathématiques , la norme d'opérateur mesure la « taille » de certains opérateurs linéaires en attribuant à chacun d'eux un nombre réel appelé sa norme d'opérateur . Formellement, il s'agit d'une norme définie sur l'espace des opérateurs linéaires bornés entre deux espaces vectoriels normés donnés . De manière informelle, la norme d'opérateur d'une application linéaire est le facteur maximal par lequel elle « allonge » les vecteurs.

Étant donné deux espaces vectoriels normés et (sur le même corps de base , soit les nombres réels , soit les nombres complexes ), une application linéaire est continue si et seulement s'il existe un nombre réel tel que

La norme de gauche est celle de et la norme de droite est celle de . Intuitivement, l'opérateur continu n'augmente jamais la longueur d'un vecteur de plus d'un facteur de Ainsi, l' image d'un ensemble borné sous un opérateur continu est également bornée. En raison de cette propriété, les opérateurs linéaires continus sont également connus sous le nom d'opérateurs bornés . Afin de « mesurer la taille » de on peut prendre l' infimum des nombres tels que l'inégalité ci-dessus soit vraie pour tous Ce nombre représente le facteur scalaire maximal par lequel « allonge » les vecteurs. En d'autres termes, la « taille » de est mesurée par la mesure dans laquelle il « allonge » les vecteurs dans le cas « le plus grand ». Nous définissons donc la norme de l'opérateur de comme

L'infimum est atteint lorsque l'ensemble de tous ces éléments est fermé , non vide et borné par le bas.

Il est important de garder à l'esprit que cette norme d'opérateur dépend du choix des normes pour les espaces vectoriels normés et .

Chaque matrice réelle de nombres réels correspond à une application linéaire de vers Chaque paire de la pléthore de normes (vectorielles) applicables aux espaces vectoriels réels induit une norme d'opérateur pour toutes les matrices réelles de nombres réels ; ces normes induites forment un sous-ensemble de normes matricielles .

Si nous choisissons spécifiquement la norme euclidienne sur les deux , alors la norme matricielle donnée à une matrice est la racine carrée de la plus grande valeur propre de la matrice (où désigne la transposée conjuguée de ). Cela équivaut à attribuer la plus grande valeur singulière de

Passons à un exemple typique de dimension infinie, considérons l' espace de séquence qui est un espace L ^p , défini par

Cela peut être considéré comme un analogue de dimension infinie de l' espace euclidien. Considérons maintenant une séquence délimitée. La séquence est un élément de l'espace avec une norme donnée par

Définir un opérateur par multiplication ponctuelle :

L'opérateur est délimité par la norme de l'opérateur

Cette discussion s'étend directement au cas où est remplacé par un espace général avec et remplacé par$1p>1$1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f127e7a5f2449ddf3edb8164c2d2439120641f9">

Soit un opérateur linéaire entre espaces normés. Les quatre premières définitions sont toujours équivalentes, et si en plus elles sont toutes équivalentes :

Si alors les ensembles des deux dernières lignes sont vides, et par conséquent leurs supremums sur l'ensemble seront égaux au lieu de la valeur correcte de Si le supremum est pris sur l'ensemble à la place, alors le supremum de l'ensemble vide est et les formules sont valables pour tout

Français Il est important de noter qu'un opérateur linéaire n'est pas, en général, assuré d'atteindre sa norme sur la boule unité fermée, ce qui signifie qu'il pourrait n'exister aucun vecteur de norme tel que (si un tel vecteur existe et si alors aurait nécessairement une norme unitaire ). RC James a prouvé le théorème de James en 1964, qui stipule qu'un espace de Banach est réflexif si et seulement si chaque fonctionnelle linéaire bornée atteint sa norme sur la boule unité fermée. Il s'ensuit, en particulier, que chaque espace de Banach non réflexif a une fonctionnelle linéaire bornée (un type d'opérateur linéaire borné) qui n'atteint pas sa norme sur la boule unité fermée.

Si est borné alors et où est la transposée de laquelle est l'opérateur linéaire défini par

La norme de l'opérateur est en effet une norme sur l'espace de tous les opérateurs bornés compris entre et . Cela signifie

L'inégalité suivante est une conséquence immédiate de la définition :

La norme d'opérateur est également compatible avec la composition, ou multiplication, d'opérateurs : si , et sont trois espaces normés sur le même corps de base, et et sont deux opérateurs bornés, alors c'est une norme sous-multiplicative , c'est-à-dire :

Pour les opérateurs bornés sur , cela implique que la multiplication des opérateurs est conjointement continue.

Il résulte de la définition que si une séquence d'opérateurs converge en norme d'opérateur, elle converge uniformément vers des ensembles bornés.

En choisissant des normes différentes pour le codomaine, utilisé en informatique , et le domaine, utilisé en informatique , nous obtenons des valeurs différentes pour la norme de l'opérateur. Certaines normes d'opérateur courantes sont faciles à calculer, et d'autres sont NP-difficiles . À l'exception des normes NP-difficiles, toutes ces normes peuvent être calculées en opérations (pour une matrice), à ​​l'exception de la norme (qui nécessite des opérations pour la réponse exacte, ou moins si vous l'approximez avec la méthode de puissance ou les itérations de Lanczos ).