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optimisation mathématique

Graphique d'une surface donnée par z = f( x , y ) = −( x ² + y ²) + 4. Le maximum global à ( x, y, z ) = (0, 0, 4) est indiqué par un point bleu. Recherche du minimum de Nelder-...

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Graphique d'une surface donnée par z = f( x , y ) = −( x ² + y ²) + 4. Le maximum global à ( x, y, z ) = (0, 0, 4) est indiqué par un point bleu.
Recherche du minimum de Nelder-Mead de la fonction de Simionescu . Les sommets du simplexe sont ordonnés selon leurs valeurs, 1 ayant la valeur la plus basse (meilleure).

L'optimisation mathématique ( ou programmation mathématique) consiste à sélectionner le meilleur élément, selon certains critères , parmi un ensemble d'alternatives disponibles. Elle se divise généralement en deux sous-domaines : l'optimisation discrète et l'optimisation continue . Les problèmes d'optimisation apparaissent dans toutes les disciplines quantitatives, de l'informatique et de l'ingénierie à la recherche opérationnelle et à l'économie , et le développement de méthodes de résolution intéresse les mathématiques depuis des siècles.

De manière plus générale, un problème d'optimisation consiste à maximiser ou à minimiser une fonction réelle en choisissant systématiquement des valeurs d'entrée parmi un ensemble autorisé et en calculant la valeur de la fonction. La généralisation de la théorie et des techniques d'optimisation à d'autres formulations constitue un vaste domaine des mathématiques appliquées .

variables sont continues ou discrètes :

Un problème d'optimisation peut être représenté de la manière suivante :

Étant donné : une fonction d'un ensemble nombres réels
Recherche : un élément problème d'optimisation ou problème de programmation mathématique (un terme qui n'est pas directement lié à la programmation informatique , mais qui est néanmoins utilisé, par exemple, en programmation linéaire – voir la section Historique ci-dessous). De nombreux problèmes, tant concrets que théoriques, peuvent être modélisés dans ce cadre général.

Puisque ce qui suit est valable :

Il suffit de résoudre les problèmes de minimisation. Cependant, le point de vue inverse, qui consiste à ne considérer que les problèmes de maximisation, serait également valable.

Les problèmes formulés à l'aide de cette technique en physique peuvent désigner cette dernière par le terme de minimisation d'énergie , la valeur de la fonction système modélisé . En apprentissage automatique , il est essentiel d'évaluer en continu la qualité d'un modèle de données au moyen d'une fonction de coût, dont le minimum correspond à un ensemble de paramètres potentiellement optimaux, avec une erreur minimale.

En général, sous-ensemble de l' espace euclidien , souvent défini par un ensemble de contraintes , d'égalités ou d'inégalités que les éléments de domaine solutions candidates ou solutions réalisables .

La fonction fonction de perte , fonction de coût (minimisation), fonction d'utilité ou fonction d'évaluation (maximisation), ou, dans certains domaines, fonction d'énergie ou fonctionnelle d'énergie . Une solution réalisable qui minimise (ou maximise) la fonction objectif est appelée solution optimale .

En mathématiques, les problèmes d'optimisation classiques sont généralement formulés en termes de minimisation.

Un minimum local

l'expression minimum global est au moins aussi bon que n'importe quel élément admissible. En général, sauf si la fonction objectif est convexe , un problème de minimisation peut admettre plusieurs minima locaux. Dans un problème convexe , si un minimum local est intérieur (c'est-à-dire situé hors de l'ensemble des éléments admissibles), il s'agit également du minimum global. En revanche, un problème non convexe peut présenter plusieurs minima locaux, dont certains ne sont pas nécessairement des minima globaux.

De nombreux algorithmes proposés pour résoudre les problèmes non convexes – y compris la majorité des solveurs disponibles dans le commerce – ne font pas la distinction entre les solutions optimales locales et les solutions optimales globales, et considèrent les premières comme des solutions réelles du problème initial. L'optimisation globale est la branche des mathématiques appliquées et de l'analyse numérique qui s'intéresse au développement d'algorithmes déterministes capables de garantir la convergence en temps fini vers la solution optimale réelle d'un problème non convexe.

Notation

Les problèmes d'optimisation sont souvent exprimés à l'aide de notations particulières. Voici quelques exemples :

Valeur minimale et maximale d'une fonction

Considérons la notation suivante :

Cela désigne la valeur minimale de la fonction objectif nombres réels . La valeur minimale dans ce cas est 1, atteinte pour

On demande la valeur maximale de la fonction objectif infini » ou « indéfini ».

Arguments d'entrée optimaux

Principaux sous-domaines

  • La programmation convexe étudie le cas où la fonction objectif est convexe (minimisation) ou concave (maximisation) et où l'ensemble des contraintes est convexe . Elle peut être considérée comme un cas particulier de programmation non linéaire ou comme une généralisation de la programmation linéaire ou quadratique convexe.
  • La programmation linéaire en nombres entiers étudie les programmes linéaires dans lesquels certaines ou toutes les variables sont contraintes de prendre des valeurs entières . Ce type de programmation n'est pas convexe et, en général, beaucoup plus complexe que la programmation linéaire classique.
  • La programmation quadratique autorise la présence de termes quadratiques dans la fonction objectif, tandis que l'ensemble des solutions admissibles doit être défini par des égalités et des inégalités linéaires. Pour certaines formes du terme quadratique, il s'agit d'un type de programmation convexe.
  • La programmation fractionnaire étudie l'optimisation des rapports de deux fonctions non linéaires. La classe particulière des programmes fractionnaires concaves peut être transformée en un problème d'optimisation convexe.
  • La programmation non linéaire étudie le cas général où la fonction objectif, les contraintes, ou les deux, comportent des composantes non linéaires. Il peut s'agir ou non d'un programme convexe. En général, la convexité du programme influe sur sa difficulté de résolution.
  • La programmation stochastique étudie le cas dans lequel certaines contraintes ou certains paramètres dépendent de variables aléatoires .
  • L'optimisation robuste , à l'instar de la programmation stochastique, vise à prendre en compte l'incertitude des données sous-jacentes au problème d'optimisation. Elle cherche à trouver des solutions valides pour toutes les réalisations possibles des incertitudes définies par un ensemble d'incertitudes.
  • L'optimisation combinatoire s'intéresse aux problèmes dont l'ensemble des solutions possibles est discret ou peut être réduit à un ensemble discret .
  • L'optimisation stochastique est utilisée avec des mesures de fonctions aléatoires (bruitées) ou des entrées aléatoires dans le processus de recherche.
  • L'optimisation en dimension infinie étudie le cas où l'ensemble des solutions réalisables est un sous-ensemble d'un espace de dimension infinie , tel qu'un espace de fonctions.
  • Les heuristiques et les métaheuristiques reposent sur peu ou pas d'hypothèses concernant le problème à optimiser. Généralement, les heuristiques ne garantissent pas l'obtention d'une solution optimale. En revanche, elles sont utilisées pour trouver des solutions approchées à de nombreux problèmes d'optimisation complexes.
  • Les études de satisfaction de contraintes portent sur le cas où la fonction objectif f est constante (ceci est utilisé en intelligence artificielle , notamment dans le raisonnement automatisé ).
  • La programmation disjonctive est utilisée lorsqu'au moins une contrainte doit être satisfaite, mais pas toutes. Elle est particulièrement utile en matière d'ordonnancement.
  • La cartographie spatiale est un concept de modélisation et d'optimisation d'un système d'ingénierie vers une précision de modèle haute fidélité (fine) exploitant un modèle grossier ou de substitution physiquement significatif approprié .

Dans plusieurs sous-domaines, les techniques sont conçues principalement pour l'optimisation dans des contextes dynamiques (c'est-à-dire la prise de décision au fil du temps) :

Optimisation multi-objectif

ensemble de Pareto . La courbe représentant le poids en fonction de la rigidité des meilleures structures est appelée frontière de Pareto .

Un plan est considéré comme « Pareto optimal » (ou, de manière équivalente, « Pareto efficace » ou appartenant à l'ensemble de Pareto) s'il n'est dominé par aucun autre plan : s'il est pire qu'un autre plan à certains égards et pas meilleur à aucun autre égard, alors il est dominé et n'est pas Pareto optimal.

Le choix de la solution optimale au sens de Pareto parmi les solutions retenues est laissé au décideur. Autrement dit, formuler le problème comme une optimisation multiobjectif indique qu'il manque des informations : les objectifs souhaitables sont donnés, mais leurs combinaisons ne sont pas hiérarchisées. Dans certains cas, ces informations manquantes peuvent être obtenues par des échanges avec le décideur.

Les problèmes d'optimisation multi-objectifs ont été généralisés davantage en problèmes d'optimisation vectorielle où l'ordre (partiel) n'est plus donné par l'ordre de Pareto.

Optimisation multimodale ou globale

Les problèmes d'optimisation sont souvent multimodaux ; autrement dit, ils admettent plusieurs solutions satisfaisantes. Ces solutions peuvent toutes être globalement satisfaisantes (même valeur de fonction de coût) ou il peut exister un mélange de solutions globalement et localement satisfaisantes. L'objectif d'un optimiseur multimodal est d'obtenir toutes (ou au moins une partie) de ces solutions multiples.

Les techniques d'optimisation classiques, du fait de leur approche itérative, ne donnent pas de résultats satisfaisants lorsqu'elles sont utilisées pour obtenir plusieurs solutions, car il n'est pas garanti que des solutions différentes seront obtenues même avec des points de départ différents lors de plusieurs exécutions de l'algorithme.

Les approches courantes des problèmes d'optimisation globale , où plusieurs extrema locaux peuvent être présents, comprennent les algorithmes évolutionnaires , l'optimisation bayésienne et le recuit simulé .

Classification des points critiques et des extrema

Problème de faisabilité

Le problème de satisfaisabilité , également appelé problème de faisabilité , consiste simplement à trouver une solution réalisable quelconque , indépendamment de la valeur de la fonction objectif. On peut le considérer comme un cas particulier d'optimisation mathématique où la valeur de la fonction objectif est identique pour toute solution, et où, par conséquent, toute solution est optimale.

De nombreux algorithmes d'optimisation nécessitent un point de départ admissible. Une méthode pour obtenir ce point consiste à assouplir les conditions d'admissibilité à l'aide d'une variable d'écart ; avec un écart suffisant, tout point de départ devient admissible. Il faut ensuite minimiser cette variable d'écart jusqu'à ce qu'elle soit nulle ou négative.

Existence

Le théorème des valeurs extrêmes de Karl Weierstrass stipule qu'une fonction continue à valeurs réelles sur un compact atteint ses valeurs maximales et minimales. Plus généralement, une fonction semi-continue inférieurement sur un compact atteint son minimum ; une fonction semi-continue supérieurement sur un compact atteint son maximum.

Conditions nécessaires à l'optimalité

Un des théorèmes de Fermat stipule que les optima des problèmes non contraints se trouvent aux points stationnaires , où la dérivée première ou le gradient de la fonction objectif est nul (voir le test de la dérivée première ). Plus généralement, ils peuvent se trouver aux points critiques , où la dérivée première ou le gradient de la fonction objectif est nul ou indéfini, ou encore à la frontière de l'ensemble des solutions possibles. Une équation (ou un ensemble d'équations) affirmant que la ou les dérivées premières sont nulles en un optimum intérieur est appelée « condition du premier ordre » ou ensemble de conditions du premier ordre.

Les optima des problèmes avec contraintes d'égalité peuvent être trouvés par la méthode des multiplicateurs de Lagrange . Les optima des problèmes avec contraintes d'égalité et/ou d'inégalité peuvent être trouvés à l'aide des conditions de Karush-Kuhn-Tucker .

Conditions suffisantes pour l'optimalité

Bien que le test de la dérivée première permette d'identifier les points susceptibles d'être des extrema, il ne distingue pas un minimum d'un maximum ou d'un point qui n'est ni l'un ni l'autre. Lorsque la fonction objectif est deux fois différentiable, ces cas peuvent être distingués en vérifiant la dérivée seconde ou la matrice des dérivées secondes (appelée matrice hessienne ) dans les problèmes sans contraintes, ou la matrice des dérivées secondes de la fonction objectif et des contraintes (appelée matrice hessienne bordée ) dans les problèmes avec contraintes. Les conditions qui distinguent les maxima, ou les minima, des autres points stationnaires sont appelées « conditions du second ordre » (voir « Test de la dérivée seconde »). Si une solution candidate satisfait les conditions du premier ordre, la satisfaction des conditions du second ordre suffit à établir au moins l'optimalité locale.

Sensibilité et continuité des optima

Le théorème de l'enveloppe décrit comment la valeur d'une solution optimale évolue lorsqu'un paramètre sous-jacent change. Le processus de calcul de cette évolution est appelé statique comparative .

Le théorème du maximum de Claude Berge (1963) décrit la continuité d'une solution optimale en fonction des paramètres sous-jacents.

Calcul de l'optimisation

points critiques peuvent être identifiés en trouvant les points où le gradient de la fonction objectif est nul (c'est-à-dire les points stationnaires). Plus généralement, un sous-gradient nul indique qu'un minimum local a été trouvé pour les problèmes de minimisation avec des fonctions convexes et d'autres fonctions localement lipschitziennes , qui convergent lors de la minimisation de la fonction de perte du réseau de neurones. L'estimation du moment positif-négatif permet d'éviter le minimum local et de converger vers le minimum global de la fonction objectif.

De plus, les points critiques peuvent être classés en fonction de la définition de la matrice hessienne : si la matrice hessienne est définie positive en un point critique, alors le point est un minimum local ; si la matrice hessienne est définie négative, alors le point est un maximum local ; enfin, si elle est indéfinie, alors le point est une sorte de point selle .

Les problèmes avec contraintes peuvent souvent être transformés en problèmes sans contraintes grâce aux multiplicateurs de Lagrange . La relaxation lagrangienne peut également fournir des solutions approchées à des problèmes avec contraintes complexes.

Lorsque la fonction objectif est convexe , tout minimum local est également un minimum global. Il existe des techniques numériques efficaces pour minimiser les fonctions convexes, telles que les méthodes de points intérieurs .

Convergence mondiale

Plus généralement, si la fonction objectif n'est pas quadratique, de nombreuses méthodes d'optimisation utilisent d'autres techniques pour garantir la convergence d'une sous-suite d'itérations vers une solution optimale. La première méthode, encore largement répandue, repose sur la recherche linéaire , qui optimise une fonction selon une dimension. Une seconde méthode, de plus en plus utilisée, utilise les régions de confiance . La recherche linéaire et les régions de confiance sont toutes deux employées dans les méthodes modernes d' optimisation non différentiable . Un optimiseur global étant généralement beaucoup plus lent qu'un optimiseur local avancé (comme BFGS ), on peut souvent obtenir un optimiseur global efficace en initialisant l'optimiseur local à partir de différents points de départ.

Techniques d'optimisation informatique

Pour résoudre les problèmes, les chercheurs peuvent utiliser des algorithmes qui se terminent en un nombre fini d'étapes, ou des méthodes itératives qui convergent vers une solution (sur une classe de problèmes spécifiée), ou des heuristiques qui peuvent fournir des solutions approximatives à certains problèmes (bien que leurs itérations ne convergent pas nécessairement).

Algorithmes d'optimisation

L'algorithme du simplexe de George Dantzig , conçu pour la programmation linéaire
  • Extensions de l'algorithme du simplexe, conçues pour la programmation quadratique et pour la programmation linéaire fractionnaire
  • Des variantes de l'algorithme du simplexe particulièrement adaptées à l'optimisation de réseaux
  • Algorithmes combinatoires
  • Algorithmes d'optimisation quantique

    • méthodes itératives

    méthodes itératives utilisées pour résoudre les problèmes de programmation non linéaire diffèrent selon qu'elles évaluent la matrice hessienne , le gradient ou uniquement les valeurs de la fonction. Si l'évaluation de la matrice hessienne (H) et du gradient (G) améliore la vitesse de convergence, pour les fonctions pour lesquelles ces quantités existent et varient de manière suffisamment continue, ces évaluations augmentent la complexité de calcul (ou le coût de calcul) de chaque itération. Dans certains cas, cette complexité peut devenir excessive.

    Un critère majeur pour les optimiseurs est le nombre d'évaluations de fonction requises, car cela représente souvent un effort de calcul considérable, généralement bien supérieur à celui de l'optimiseur lui-même, qui opère principalement sur les N variables. Les dérivées fournissent des informations détaillées à ces optimiseurs, mais sont encore plus difficiles à calculer ; par exemple, l'approximation du gradient nécessite au moins N+1 évaluations de fonction. Pour les approximations des dérivées secondes (regroupées dans la matrice hessienne), le nombre d'évaluations de fonction est de l'ordre de N². La méthode de Newton requiert les dérivées secondes ; ainsi, à chaque itération, le nombre d'appels de fonction est de l'ordre de N², tandis que pour un optimiseur de gradient pur plus simple, il n'est que de N. Cependant, les optimiseurs de gradient nécessitent généralement plus d'itérations que l'algorithme de Newton. Le choix de la méthode la plus performante en termes de nombre d'appels de fonction dépend du problème lui-même.

    • Méthodes d'évaluation des matrices hessiennes (ou d'approximation des matrices hessiennes, par différences finies ) :
      • La méthode de Newton
      • Programmation quadratique séquentielle : une méthode de type Newton pour les problèmes contraints de petite et moyenne taille . Certaines versions peuvent traiter des problèmes de grande dimension.
      • Méthodes de points intérieurs : Il s'agit d'une vaste classe de méthodes d'optimisation sous contraintes, dont certaines utilisent uniquement des informations de (sous-)gradient et d'autres nécessitent l'évaluation des hessiennes.
    • Méthodes qui évaluent les gradients, ou qui les approximent d'une manière ou d'une autre (ou même des sous-gradients) :
      • Méthodes de descente de coordonnées : algorithmes qui mettent à jour une seule coordonnée à chaque itération.
      • Méthodes du gradient conjugué : méthodes itératives pour les problèmes de grande taille. (En théorie, ces méthodes convergent en un nombre fini d’étapes avec des fonctions objectives quadratiques, mais cette convergence n’est pas observée en pratique sur les ordinateurs à précision finie.)
      • Descente de gradient (ou « descente la plus raide » ou « ascension la plus raide ») : une méthode (lente) d'intérêt historique et théorique, qui a connu un regain d'intérêt pour la recherche de solutions approximatives à d'énormes problèmes.
      • Méthodes de sous-gradient : une méthode itérative pour les grandes fonctions localement lipschitziennes utilisant des gradients généralisés . D'après Boris T. Polyak, les méthodes de sous-gradient-projection sont similaires aux méthodes de gradient conjugué.
      • Méthode de descente par faisceaux : une méthode itérative pour les problèmes de petite à moyenne taille avec des fonctions localement lipschitziennes, en particulier pour les problèmes de minimisation convexe (similaire aux méthodes de gradient conjugué).
      • Méthode de l'ellipsoïde : Méthode itérative adaptée aux petits problèmes à fonction objectif quasi-convexe , présentant un grand intérêt théorique, notamment pour établir la complexité polynomiale de certains problèmes d'optimisation combinatoire. Elle présente des similarités avec les méthodes quasi-Newton.
      • La méthode du gradient conditionnel (Frank-Wolfe) est utilisée pour la minimisation approchée de problèmes structurés avec contraintes linéaires , notamment les réseaux de trafic. Pour les problèmes généraux sans contraintes, cette méthode se réduit à la méthode du gradient classique, considérée comme obsolète (pour la quasi-totalité des problèmes).
      • Méthodes quasi-Newton : Méthodes itératives pour les problèmes de taille moyenne à grande (par exemple N<1000).
      • Méthode d'approximation stochastique par perturbation simultanée (SPSA) pour l'optimisation stochastique ; utilise une approximation de gradient aléatoire (efficace).
    • Méthodes qui évaluent uniquement les valeurs de la fonction : si un problème est continûment différentiable, alors les gradients peuvent être approximés à l’aide de différences finies, auquel cas une méthode basée sur le gradient peut être utilisée.

    Heuristiques

    Outre les algorithmes (à convergence finie) et les méthodes itératives (convergentes) , il existe des heuristiques . Une heuristique est un algorithme dont la solution n'est pas garantie (mathématiquement) mais qui s'avère néanmoins utile dans certaines situations pratiques. Voici quelques heuristiques connues :

    Évolution différentielle
  • relaxation dynamique
  • Algorithmes évolutionnaires
  • Algorithmes génétiques
  • Montée en côte avec redémarrage aléatoire
  • Algorithme mémétique
  • Heuristique simpliciale de Nelder-Mead : Une heuristique populaire pour la minimisation approximative (sans calcul de gradients)
  • optimisation par essaim de particules
  • Recuit simulé
  • tunnelage stochastique
  • Recherche tabou

    • Applications

    Mécanique

    Les problèmes de dynamique des corps rigides (en particulier des corps rigides articulés) nécessitent souvent des techniques de programmation mathématique, car on peut considérer la dynamique des corps rigides comme la résolution d'une équation différentielle ordinaire sur une variété contrainte ; les contraintes sont diverses contraintes géométriques non linéaires telles que « ces deux points doivent toujours coïncider », « cette surface ne doit pénétrer aucune autre » ou « ce point doit toujours se situer quelque part sur cette courbe ». De plus, le calcul des forces de contact peut être abordé en résolvant un problème de complémentarité linéaire , qui peut également être vu comme un problème de programmation quadratique (PQ).

    De nombreux problèmes de conception peuvent être formulés sous forme de programmes d'optimisation. Cette application est appelée optimisation de conception. L' optimisation en ingénierie en est un sous-ensemble, tandis que l'optimisation de conception multidisciplinaire , un sous-ensemble plus récent et en pleine expansion , a été particulièrement appliquée aux problèmes d'ingénierie aérospatiale .

    Cette approche peut être appliquée en cosmologie et en astrophysique.

    Économie et finance

    L'économie est si étroitement liée à l'optimisation des agents qu'une définition influente la décrit comme « l'étude du comportement humain en tant que relation entre des fins et des moyens rares », avec des applications alternatives. La théorie moderne de l'optimisation englobe la théorie traditionnelle, mais recoupe également la théorie des jeux et l'étude des équilibres économiques . Le Journal of Economic Literature ( JEL) classe la programmation mathématique, les techniques d'optimisation et les sujets connexes sous les codes JEL : C61-C63 .

    En microéconomie, le problème de maximisation de l'utilité et son dual , le problème de minimisation des dépenses , sont des problèmes d'optimisation économique. Dans la mesure où leur comportement est cohérent, on suppose que les consommateurs maximisent leur utilité , tandis que les entreprises maximisent généralement leur profit . De plus, les agents sont souvent modélisés comme étant averses au risque , préférant ainsi l'éviter. Les prix des actifs sont également modélisés à l'aide de la théorie de l'optimisation, bien que les calculs mathématiques sous-jacents reposent sur l'optimisation de processus stochastiques plutôt que sur l'optimisation statique. La théorie du commerce international utilise également l'optimisation pour expliquer les échanges commerciaux entre les nations. L'optimisation de portefeuilles est un exemple d'optimisation multi-objectif en économie.

    Depuis les années 1970, les économistes modélisent les décisions dynamiques dans le temps à l'aide de la théorie du contrôle . Par exemple, les modèles de recherche dynamique servent à étudier le comportement du marché du travail . Une distinction cruciale s'opère entre les modèles déterministes et les modèles stochastiques . Les macroéconomistes élaborent des modèles d'équilibre général stochastique dynamique (EGSD) qui décrivent la dynamique de l'ensemble de l'économie comme le résultat des décisions d'optimisation interdépendantes des travailleurs, des consommateurs, des investisseurs et des gouvernements

    génie électrique

    Parmi les applications courantes des techniques d'optimisation en génie électrique, on peut citer la conception de filtres actifs , la réduction des champs parasites dans les systèmes de stockage d'énergie magnétique supraconducteurs, la conception par cartographie spatiale des structures micro-ondes , les antennes de téléphones portables et la conception basée sur l'électromagnétisme. L'optimisation de la conception des composants et antennes micro-ondes, validée électromagnétiquement, a largement recours à un modèle de substitution physique ou empirique approprié et à des méthodologies de cartographie spatiale depuis la découverte de cette dernière en 1993 Les techniques d'optimisation sont également utilisées dans l'analyse des flux de puissance .

    Génie civil

    L'optimisation est largement utilisée en génie civil. La gestion de la construction et le génie des transports figurent parmi les principales branches du génie civil qui s'appuient fortement sur l'optimisation. Les problèmes de génie civil les plus courants résolus par l'optimisation sont les travaux de terrassement routier, l'analyse du cycle de vie des ouvrages et infrastructures , le nivellement des ressources , la répartition des ressources en eau , la gestion du trafic et l'optimisation des échéanciers.

    Recherche opérationnelle

    Un autre domaine qui utilise largement les techniques d'optimisation est la recherche opérationnelle . Celle-ci recourt également à la modélisation et à la simulation stochastiques pour améliorer la prise de décision. De plus en plus, la recherche opérationnelle utilise la programmation stochastique pour modéliser des décisions dynamiques qui s'adaptent aux événements ; ces problèmes peuvent être résolus par des méthodes d'optimisation à grande échelle et d'optimisation stochastique .

    Ingénierie de contrôle

    L'optimisation mathématique est largement utilisée dans la conception des systèmes de contrôle modernes. Les systèmes de contrôle de haut niveau, tels que la commande prédictive (MPC) ou l'optimisation en temps réel (RTO), font appel à l'optimisation mathématique. Ces algorithmes s'exécutent en ligne et déterminent de manière itérative les valeurs des variables de décision, comme l'ouverture des vannes d'étranglement dans une installation de traitement, en résolvant un problème d'optimisation mathématique intégrant des contraintes et un modèle du système à contrôler.

    Géophysique

    Les techniques d'optimisation sont couramment utilisées pour l'estimation des paramètres géophysiques . À partir d'un ensemble de mesures géophysiques, comme des enregistrements sismiques , il est fréquent de déterminer les propriétés physiques et la géométrie des roches et fluides sous-jacents. La plupart des problèmes en géophysique sont non linéaires, et les méthodes déterministes comme stochastiques sont largement employées.

    Modélisation moléculaire

    l'analyse conformationnelle .

    Biologie des systèmes computationnels

    La programmation linéaire a été appliquée pour calculer les rendements maximaux possibles des produits de fermentation et pour inférer les réseaux de régulation génique à partir de multiples jeux de données de puces à ADN , ainsi que les réseaux de régulation transcriptionnelle à partir de données à haut débit. La programmation non linéaire a été utilisée pour analyser le métabolisme énergétique et a été appliquée à l'ingénierie métabolique et à l'estimation des paramètres des voies biochimiques.

    apprentissage automatique

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