continuité lipschitzienne

En analyse mathématique , la continuité lipschitzienne , du nom du mathématicien allemand Rudolf Lipschitz , est une forme forte de continuité uniforme pour les fonctions . Intuitivement, une fonction lipschitzienne est bornée dans sa vitesse de variation : il existe un nombre réel tel que, pour toute paire de points de la représentation graphique de cette fonction, la valeur absolue de la pente de la droite les reliant ne dépasse pas ce nombre réel ; la plus petite borne de cette propriété est appelée constante de Lipschitz de la fonction (et est liée au module de continuité uniforme ). Par exemple, toute fonction définie sur un intervalle et dont la dérivée première est bornée est lipschitzienne.

En théorie des équations différentielles , la continuité lipschitzienne est la condition centrale du théorème de Picard-Lindelöf , qui garantit l'existence et l'unicité de la solution d'un problème de Cauchy . Un type particulier de continuité lipschitzienne, appelé contraction , est utilisé dans le théorème du point fixe de Banach .

Nous avons la chaîne suivante d'inclusions strictes pour les fonctions définies sur un intervalle fermé et borné non trivial de la droite réelle :

Continuellement différentiable ⊂ Lipschitzien continu ⊂ - Hölderien continu ,

où . Nous avons également

Lipschitz continue ⊂ absolument continue ⊂ uniformément continue ⊂ continue .

Toute valeur de K est appelée constante de Lipschitz de la fonction f, et f est alors qualifiée de K-lipschitzienne . La plus petite constante est parfois appelée la (meilleure) constante de Lipschitz de f ou la dilatation de f . La fonction f elle-même est parfois appelée « application lipschitzienne ». Si K = 1, la fonction est appelée application courte , et si 0 ≤ K < 1 et que f applique un espace métrique sur lui-même, la fonction est appelée contraction .

En particulier, une fonction à valeurs réelles f : R → R est dite lipschitzienne s'il existe une constante réelle positive K telle que, pour tous réels x ₁ et x ₂ ,

Dans ce cas, Y est l'ensemble des nombres réels R avec la métrique standard d _Y ( y ₁ , y ₂ ) = | y ₁ − y ₂ |, et X est un sous-ensemble de R .

En général, l'inégalité est (trivialement) satisfaite si x ₁ = x ₂ . Sinon, on peut définir de manière équivalente une fonction comme étant lipschitzienne si et seulement s'il existe une constante K ≥ 0 telle que, pour tout x ₁ ≠ x ₂ ,

Pour les fonctions à valeurs réelles de plusieurs variables réelles, ceci est vrai si et seulement si la valeur absolue des pentes de toutes les droites sécantes est bornée par K. L'ensemble des droites de pente K passant par un point du graphe de la fonction forme un cône circulaire, et une fonction est lipschitzienne si et seulement si son graphe se situe partout entièrement à l'extérieur de ce cône (voir figure).

Une fonction est dite localement lipschitzienne si, pour tout x ∈ X, il existe un voisinage U de x tel que f restreinte à U soit lipschitzienne. De manière équivalente, si X est un espace métrique localement compact , alors f est localement lipschitzienne si et seulement si elle est lipschitzienne sur tout sous-ensemble compact de X. Dans les espaces qui ne sont pas localement compacts, il s'agit d'une condition nécessaire mais non suffisante.

Plus généralement, une fonction f définie sur X est dite höldérienne ou satisfait une condition de Hölder d'ordre α > 0 sur X s'il existe une constante M ≥ 0 telle que

pour tous x ₁ et x ₂ dans X. Parfois, une condition de Hölder d'ordre α est également appelée condition de Lipschitz uniforme d'ordre α > 0.

On dit alors que f est K -bilipschitzienne (ou K -bi-lipschitzienne ). On dit que f est bilipschitzienne ou bi-lipschitzienne pour signifier qu'il existe un tel K. Une application bilipschitzienne est injective et, en fait, un homéomorphisme sur son image. Une fonction bilipschitzienne est une fonction lipschitzienne injective dont la fonction inverse est également lipschitzienne.

fonctions lipschitziennes continues qui sont partout différentiables

différentiable et la valeur absolue de la dérivée est bornée supérieurement par 1. Voir la première propriété énumérée ci-dessous sous « Propriétés ».

De même, la fonction sinus est lipschitzienne car sa dérivée, la fonction cosinus, est bornée supérieurement par 1 en valeur absolue.

fonctions lipschitziennes continues qui ne sont pas différentiables partout

inégalité triangulaire inverse . Plus généralement, une norme sur un espace vectoriel est lipschitzienne par rapport à la métrique associée, de constante de Lipschitz égale à 1.

Fonctions lipschitziennes continues qui sont partout différentiables mais pas continûment différentiables

fonctions continues qui ne sont pas (globalement) lipschitziennes

höldérienne de classe C 0,α  pour α ≤ 1/2 et absolument continue sur [0, 1] (ces deux propriétés impliquant la première).

Fonctions différentiables qui ne sont pas (localement) lipschitziennes

fonction exponentielle devient arbitrairement abrupte lorsque x → ∞, et n'est donc pas globalement lipschitzienne, bien qu'il s'agisse d'une fonction analytique .

La fonction f ( x ) = x² définie sur l'ensemble des nombres réels n'est pas lipschitzienne. Cette fonction présente une pente arbitrairement forte lorsque x tend ^vers l'infini. Elle est cependant localement lipschitzienne.

• Une fonction g : R → R , partout différentiable , est lipschitzienne (avec K = sup | g ′( x )|) si et seulement si sa dérivée première est bornée ; une des propriétés de cette fonction découle du théorème des accroissements finis . En particulier, toute fonction continûment différentiable est localement lipschitzienne, car les fonctions continues sont localement bornées, donc leur gradient l'est également.
• Une fonction lipschitzienne g : R → R est absolument continue et est donc différentiable presque partout , c'est-à-dire différentiable en tout point en dehors d'un ensemble de mesure de Lebesgue nulle. Sa dérivée est essentiellement bornée en magnitude par la constante de Lipschitz, et pour a < b , la différence g ( b ) − g ( a ) est égale à l'intégrale de la dérivée g ′ sur l'intervalle [ a , b ].
  • Inversement, si f : I → R est absolument continue et donc différentiable presque partout, et satisfait | f′ ( x )| ≤ K pour presque tout x dans I , alors f est lipschitzienne avec une constante de Lipschitz au plus K .
  • Plus généralement, le théorème de Rademacher étend le résultat de différentiabilité aux applications lipschitziennes entre espaces euclidiens : une application lipschitzienne f : U → R m , où U est un ouvert de R n , est différentiable presque partout . De plus, si K est la meilleure constante de Lipschitz de f , alors la dérivée totale Df est différentiable presque partout.uniformément vers une application f , alors f est également lipschitzienne, avec une constante de Lipschitz bornée par le même K. En particulier, cela implique que l'ensemble des fonctions à valeurs réelles sur un espace métrique compact, muni d'une certaine borne pour la constante de Lipschitz, est un sous-ensemble fermé et convexe de l' espace de Banach des fonctions continues. Ce résultat n'est cependant pas valable pour les suites dont les fonctions peuvent avoir des constantes de Lipschitz non bornées . En fait, l'espace de toutes les fonctions lipschitziennes sur un espace métrique compact est une sous-algèbre de l'espace de Banach des fonctions continues, et est donc dense dans celui-ci, conséquence élémentaire du théorème de Stone-Weierstrass (ou du théorème d'approximation de Weierstrass , car tout polynôme est localement lipschitzien).
  • Toute application lipschitzienne est uniformément continue , et donc continue . Plus généralement, un ensemble de fonctions à constante de Lipschitz bornée forme un ensemble équicontinu . Le théorème d'Arzelà-Ascoli implique que si { f n } est une suite uniformément bornée de fonctions à constante de Lipschitz bornée, alors elle admet une sous-suite convergente. D'après le résultat du paragraphe précédent, la fonction limite est également lipschitzienne, avec la même borne pour la constante de Lipschitz. En particulier, l'ensemble de toutes les fonctions lipschitziennes à valeurs réelles sur un espace métrique compact X, de constante de Lipschitz ≤ K, est un sous-ensemble convexe localement compact de l'espace de Banach C ( X ).
  • Pour une famille de fonctions lipschitziennes f α avec constante commune, la fonction (et ) est également lipschitzienne, avec la même constante de Lipschitz, à condition qu'elle prenne une valeur finie au moins en un point.
  • Si U est un sous-ensemble de l'espace métrique M et si f : U → R est une fonction lipschitzienne, il existe toujours des applications lipschitziennes M → R qui prolongent f et qui ont la même constante de Lipschitz que f (voir aussi le théorème de Kirszbraun ). Un tel prolongement est fourni par

  où k est une constante de Lipschitz pour f sur U .

Une structure lipschitzienne sur une variété topologique est définie à l'aide d'un atlas de cartes dont les applications de transition sont bilipschitziennes ; ceci est possible car les applications bilipschitziennes forment un pseudogroupe . Une telle structure permet de définir des applications localement lipschitziennes entre de telles variétés, de manière analogue à la définition d'applications lisses entre variétés lisses : si variété linéaire par morceaux et celle d'une variété topologique : une structure PL induit une unique structure lipschitzienne. Bien que les variétés lipschitziennes soient étroitement liées aux variétés topologiques, le théorème de Rademacher permet d'effectuer une analyse, donnant lieu à diverses applications.

Soit F ( x ) une fonction semi-continue supérieurement de x , et soit F ( x ) un ensemble fermé et convexe pour tout x . Alors F est lipschitzienne unilatérale si

pour un certain C et pour tous x ₁ et x ₂ .

Il est possible que la fonction F ait une constante de Lipschitz très élevée, mais une constante de Lipschitz unilatérale de valeur modérée, voire négative. Par exemple, la fonction

possède une constante de Lipschitz K = 50 et une constante de Lipschitz unilatérale C = 0. Un exemple qui est Lipschitz unilatéral mais non Lipschitz continu est F ( x ) = e ^{− x} , avec C = 0.