processus stochastique

Pour un processus stochastiquedéfini sur l'espace de probabilité, la loi du processus stochastiqueest définie comme la mesure de report :

oùest une mesure de probabilité, le symboledésigne la composition de fonctions etest l'antécédent de la fonction mesurable ou, de manière équivalente, levariable aléatoire à valeurs -, oùest l'espace de tous les possiblesfonctions à valeurs dans, la loi d'un processus stochastique est donc une mesure de probabilité.

Pour un sous-ensemble mesurablede, la préimage dedonne

donc la loi d'unpeut s'écrire comme :

La loi d'un processus stochastique ou d'une variable aléatoire est également appelée loi de probabilité , distribution de probabilité ou distribution .

Une filtration est une suite croissante de sigma-algèbres définies par rapport à un espace de probabilité et à un ensemble d'indices muni d'une relation d'ordre total , comme par exemple lorsque l'ensemble d'indices est un sous-ensemble des nombres réels. Plus formellement, si un processus stochastique possède un ensemble d'indices muni d'une relation d'ordre total, alors une filtration est une suite croissante de sigma-algèbres définies par rapport à un espace de probabilité et à un ensemble d'indices muni d'une relation d'ordre total., sur un espace de probabilitéest une famille de sigma-algèbres telle quepour tous, oùetdésigne l'ordre total de l'ensemble d'indices[ Grâce au concept de filtration, il est possible d'étudier la quantité d'information contenue dans un processus à, ce qui peut être interprété comme du temps[ L'intuition derrière une est-ce que le tempslaissez-passer, de plus en plus d'informations surest connu ou disponible, ce qui est capturé dans, ce qui donne lieu à des partitions de plus en plus fines de.

Une modification d'un processus stochastique est un autre processus stochastique, étroitement lié au processus stochastique original. Plus précisément, un processus stochastiquequi possède le même ensemble d'index, espace d'étatet l'espace de probabilitécomme un autre processus stochastiqueon dit qu'il s'agit d'une modification desi pour tousce qui suit

Cela est vrai. Deux processus stochastiques qui sont des modifications l'un de l'autre ont la même loi de dimension finie et ils sont dits stochastiquement équivalents ou équivalents .

Au lieu de modification, le terme version est également utilisé, cependant certains auteurs utilisent le terme version lorsque deux processus stochastiques ont les mêmes distributions de dimension finie, mais qu'ils peuvent être définis sur des espaces de probabilité différents, donc deux processus qui sont des modifications l'un de l'autre sont aussi des versions l'un de l'autre, dans ce dernier sens, mais pas l'inverse.

Si un processus stochastique à temps continu et à valeurs réelles satisfait certaines conditions de moment sur ses accroissements, alors le théorème de continuité de Kolmogorov affirme qu'il existe une modification de ce processus dont les trajectoires d'échantillonnage sont continues avec une probabilité de un ; le processus stochastique admet donc une modification ou version continue. Le théorème peut également être généralisé aux champs aléatoires, de sorte que l'ensemble des indices estespace euclidien à n dimensions ainsi qu'aux processus stochastiques avec des espaces métriques comme espaces d'états.

Deux processus stochastiquesetdéfini sur le même espace de probabilitéavec le même ensemble d'indexet espace définiOn dit qu'elles sont indiscernables si les conditions suivantes

tient. Si deuxetsont des modifications l'une de l'autre et sont presque sûrement continues , alorsetsont indiscernables.

La séparabilité est une propriété d'un processus stochastique fondée sur son ensemble d'indices et sa relation avec la mesure de probabilité. Cette propriété est supposée afin que les fonctionnelles de processus stochastiques ou de champs aléatoires à ensembles d'indices non dénombrables puissent former des variables aléatoires. Pour qu'un processus stochastique soit séparable, outre d'autres conditions, son ensemble d'indices doit être un espace séparable , "}},"i":0}}] [ b ] c'est-à-dire que l'ensemble d'indices possède un sous-ensemble dénombrable dense.

Plus précisément, un processus stochastique à temps continu et à valeurs réellessur un espace de probabilitéest séparable si et seulement si son ensemble d'indexpossède un sous-ensemble dénombrable denseet il y a un ensemblede probabilité nulle, donc, tel que pour tout ensemble ouvertet chaque ensemble fermé, les deux événementsetdiffèrent l'un de l'autre au plus sur un sous-ensemble de[ La définition de la séparabilité également être énoncée pour d'autres ensembles d'indices et espaces d'états, comme dans le cas des champs aléatoires, où l'ensemble d'indices ainsi que l'espace d'états peuvent êtreEspace euclidien à n dimensions.

Le concept de séparabilité d'un processus stochastique a été introduit par Joseph Doob . L'idée sous-jacente est de faire en sorte qu'un ensemble dénombrable de points de l'ensemble d'indices détermine les propriétés du processus stochastique . Tout processus stochastique possédant un ensemble d'indices dénombrable satisfait déjà les conditions de séparabilité ; par conséquent, les processus stochastiques à temps discret sont toujours séparables . Un théorème de Doob, parfois appelé théorème de séparabilité de Doob, affirme que tout processus stochastique à temps continu à valeurs réelles admet une modification séparable .

Deux processus stochastiquesetdéfini sur le même espace de probabilitéavec le même ensemble d'indexOn dit qu'ils sont indépendants si pour touset pour chaque choix d'époques, les vecteurs aléatoiresetsont indépendants.

Deux processus stochastiquesetsont dites non corrélées si leur covariance croiséeest nul pour tout temps. Formellement :

.

Si deux processus stochastiquesetSi elles sont indépendantes, alors elles sont également non corrélées.

Deux processus stochastiquesetsont dites orthogonales si leur corrélation croiséeest nul pour tout temps. Formellement :

.

Dans le cadre de la construction mathématique des processus stochastiques, le terme de régularité est employé pour discuter et formuler certaines conditions relatives à un processus stochastique afin de résoudre d'éventuels problèmes de construction. Par exemple, pour étudier les processus stochastiques à ensembles d'indices non dénombrables, on suppose que le processus stochastique satisfait une condition de régularité, telle que la continuité des fonctions d'échantillonnage.

Le processus de Bernoulli, qui peut servir de modèle mathématique pour le lancer d'une pièce biaisée, est probablement le premier processus stochastique à avoir été étudié. Ce processus est une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes, qui tirent leur nom de Jacob Bernoulli, lequel les a utilisées pour étudier les jeux de hasard, notamment les problèmes de probabilité proposés et étudiés antérieurement par Christiaan Huygens. Les travaux de Bernoulli, y compris le processus de Bernoulli, ont été publiés dans son ouvrage Ars Conjectandi en 1713.

En 1905, Karl Pearson forgea le terme de marche aléatoire en posant un problème décrivant une marche aléatoire dans le plan, motivé par une application en biologie. Cependant, de tels problèmes impliquant des marches aléatoires avaient déjà été étudiés dans d'autres domaines. Certains problèmes de jeu, étudiés des siècles auparavant, peuvent être considérés comme des problèmes de marche aléatoire. Par exemple, le problème connu sous le nom de ruine du joueur repose sur une marche aléatoire simple, et constitue un exemple de marche aléatoire avec barrières absorbantes. Pascal, Fermat et Huyens ont tous proposé des solutions numériques à ce problème sans détailler leurs méthodes, puis des solutions plus détaillées ont été présentées par Jakob Bernoulli et Abraham de Moivre .

Pour les marches aléatoires dansDans ses travaux sur les réseaux d' entiers à n dimensions , George Pólya a publié, en 1919 et 1921, des études sur la probabilité qu'une marche aléatoire symétrique revienne à une position antérieure dans le réseau. Pólya a démontré qu'une marche aléatoire symétrique, ayant une probabilité égale d'avancer dans n'importe quelle direction du réseau, reviendra à une position antérieure un nombre infini de fois avec une probabilité de un en une et deux dimensions, mais avec une probabilité de zéro en trois dimensions ou plus.

Le processus de Wiener, ou mouvement brownien, trouve ses origines dans différents domaines, notamment les statistiques, la finance et la physique. En 1880, l'astronome danois Thorvald Thiele publia un article sur la méthode des moindres carrés, dans lequel il utilisa ce processus pour étudier les erreurs d'un modèle d'analyse de séries temporelles. Ces travaux sont aujourd'hui considérés comme une des premières découvertes de la méthode statistique connue sous le nom de filtrage de Kalman , mais ils furent largement ignorés. On pense que les idées présentées dans l'article de Thiele étaient trop novatrices pour être comprises par la communauté mathématique et statistique de l'époque.

Le mathématicien français Louis Bachelier a utilisé un processus Wiener dans sa thèse de 1900 afin de modéliser les variations de prix à la Bourse de Paris [ , sans connaître les travaux de Thiele . On a supposé que Bachelier s'était inspiré du modèle de marche aléatoire de Jules Regnault , mais il ne l'a pas cité , et sa thèse est aujourd'hui considérée comme pionnière dans le domaine des mathématiques financières

On pense généralement que les travaux de Bachelier sont restés méconnus et sont tombés dans l'oubli pendant des décennies, jusqu'à leur redécouverte dans les années 1950 par Leonard Savage . Ils ont ensuite gagné en popularité après la traduction de sa thèse en anglais en 1964. Cependant, ces travaux n'ont jamais été oubliés par la communauté mathématique, puisque Bachelier a publié un ouvrage en 1912 détaillant ses idées , cité par des mathématiciens tels que Doob, Feller et Kolmogorov . L'ouvrage a continué d'être cité, mais à partir des années 1960, la thèse originale de Bachelier a commencé à être davantage citée que son livre, notamment lorsque les économistes ont commencé à s'appuyer sur ses travaux

En 1905, Albert Einstein publia un article où il étudiait l'observation physique du mouvement brownien pour expliquer les mouvements apparemment aléatoires des particules dans les liquides, en s'appuyant sur des concepts de la théorie cinétique des gaz . Einstein établit une équation différentielle , dite équation de diffusion , décrivant la probabilité de trouver une particule dans une région donnée de l'espace. Peu après la publication de ce premier article d'Einstein sur le mouvement brownien, Marian Smoluchowski publia un travail où il citait Einstein, mais affirmait avoir obtenu indépendamment des résultats équivalents par une méthode différente.

Les travaux d'Einstein, ainsi que les résultats expérimentaux obtenus par Jean Perrin , ont plus tard inspiré Norbert Wiener dans les années 1920 à utiliser un type de théorie de la mesure, développé par Percy Daniell , et l'analyse de Fourier pour prouver l'existence du processus de Wiener en tant qu'objet mathématique.

Le processus de Poisson doit son nom à Siméon Poisson , car sa définition fait intervenir la distribution de Poisson , bien que Poisson n'ait jamais étudié ce processus. Plusieurs personnes revendiquent des utilisations ou des découvertes précoces du processus de Poisson. Au début du XXe siècle, le processus de Poisson est apparu indépendamment dans différents contextes. En Suède, en 1903, Filip Lundberg a publié une thèse contenant des travaux aujourd'hui considérés comme fondamentaux et novateurs, dans laquelle il proposait de modéliser les sinistres d'assurance à l'aide d'un processus de Poisson homogène.

Une autre découverte a eu lieu au Danemark en 1909, lorsque A.K. Erlang a établi la distribution de Poisson en développant un modèle mathématique du nombre d'appels téléphoniques entrants dans un intervalle de temps fini. Erlang ignorait alors les travaux antérieurs de Poisson et supposait que le nombre d'appels arrivant dans chaque intervalle de temps était indépendant. Il a ensuite trouvé le cas limite, ce qui revient à reformuler la distribution de Poisson comme une limite de la distribution binomiale.

En 1910, Ernest Rutherford et Hans Geiger publièrent des résultats expérimentaux sur le comptage des particules alpha. Inspiré par leurs travaux, Harry Bateman étudia le problème du comptage et en déduisit les probabilités de Poisson comme solution d'une famille d'équations différentielles, aboutissant ainsi à la découverte indépendante du processus de Poisson. Par la suite, le processus de Poisson fit l'objet de nombreuses études et applications, mais son histoire initiale est complexe, ce qui s'explique par ses diverses applications dans de nombreux domaines par des biologistes, des écologistes, des ingénieurs et divers physiciens.

Les processus et chaînes de Markov doivent leur nom à Andreï Markov, qui les a étudiés au début du XXe siècle. Markov s'intéressait à une extension des suites aléatoires indépendantes. Dans son premier article sur les chaînes de Markov, publié en 1906, il a démontré que, sous certaines conditions, la moyenne des résultats d'une chaîne convergeait vers un vecteur fixe de valeurs, prouvant ainsi une loi faible des grands nombres sans l'hypothèse d'indépendance , alors considérée comme une condition nécessaire à la validité de telles lois mathématiques. Par la suite, Markov a utilisé les chaînes de Markov pour étudier la distribution des voyelles dans Eugène Onéguine d' Alexandre Pouchkine et a démontré un théorème central limite pour ces chaînes.

En 1912, Poincaré étudia les chaînes de Markov sur les groupes finis dans le but d'étudier le mélange de cartes. Parmi les premières applications des chaînes de Markov figurent un modèle de diffusion, introduit par Paul et Tatiana Ehrenfest en 1907, et un processus de branchement, introduit par Francis Galton et Henry William Watson en 1873, antérieur aux travaux de Markov. Après les travaux de Galton et Watson, il fut révélé que leur processus de branchement avait été découvert et étudié indépendamment une trentaine d'années auparavant par Irénée-Jules Bienaymé . À partir de 1928, Maurice Fréchet s'intéressa aux chaînes de Markov, ce qui le conduisit à publier en 1938 une étude détaillée sur le sujet.

Dans un article de 1931, Andreï Kolmogorov a développé une grande partie de la théorie initiale des processus de Markov à temps continu. Il s'est inspiré en partie des travaux de Louis Bachelier (1900) sur les fluctuations boursières, ainsi que de ceux de Norbert Wiener sur le modèle d'Einstein du mouvement brownien. Il a introduit et étudié un ensemble particulier de processus de Markov, appelés processus de diffusion, et a établi un système d'équations différentielles les décrivant. Indépendamment des travaux de Kolmogorov, Sydney Chapman a établi, dans un article de 1928, une équation, aujourd'hui connue sous le nom d' équation de Chapman-Kolmogorov , d'une manière mathématiquement moins rigoureuse que celle de Kolmogorov, dans le cadre de ses études sur le mouvement brownien. Les équations différentielles sont maintenant appelées équations de Kolmogorov ou équations de Kolmogorov-Chapman. Parmi les autres mathématiciens qui ont contribué de manière significative aux fondements des processus de Markov, on peut citer William Feller, à partir des années 1930, puis Eugene Dynkin, à partir des années 1950.

Les processus de Lévy, tels que le processus de Wiener et le processus de Poisson (sur la droite réelle), portent le nom de Paul Lévy, qui a commencé à les étudier dans les années 1930 , mais leurs liens avec les distributions infiniment divisibles remontent aux années 1920 . Dans un article de 1932, Kolmogorov a établi une fonction caractéristique pour les variables aléatoires associées aux processus de Lévy. Ce résultat a ensuite été démontré sous des conditions plus générales par Lévy en 1934, puis Khinchin a proposé indépendamment une autre forme de cette fonction caractéristique en 1937 Outre Lévy, Khinchin et Kolmogorov, Bruno de Finetti et Kiyosi Itô ont apporté des contributions fondamentales à la théorie des processus de Lévy dès leurs débuts .

L'une des applications les plus célèbres des processus stochastiques en finance est le modèle de Black-Scholes pour la tarification des options. Développé par Fischer Black , Myron Scholes et Robert Merton (dont les travaux ont valu le prix Nobel d'économie en 1997 ), ce modèle utilise le mouvement brownien géométrique , un type particulier de processus stochastique, pour décrire la dynamique des prix des actifs.

Le modèle suppose que le prix d'une action suit un processus stochastique à temps continu piloté par une équation différentielle stochastique (EDS) : Où:

• est le prix de l'actif sous-jacent au temps est un processus de Wiener standard (mouvement brownien) introduisant les chocs aléatoires du marché.

L'hypothèse fondamentale du modèle de Black-Scholes est que le prix d'un actif financier, tel qu'une action, suit une loi log-normale , tandis que ses rendements continus suivent une loi normale. Grâce à ces propriétés, le modèle fournit une solution analytique pour la valorisation des options de style européen. La formule de Black-Scholes a profondément influencé les marchés financiers, constituant le fondement d'une grande partie du trading d'options moderne. Malgré ses limitations, notamment l'hypothèse d'une volatilité constante et de l'absence de coûts de transaction, le modèle demeure largement utilisé en raison de sa simplicité et de sa pertinence pratique.

Une autre application importante des processus stochastiques en finance réside dans les modèles de volatilité stochastique , qui visent à saisir la nature variable de la volatilité des marchés. Le modèle de Heston en est un exemple courant ; il permet à la volatilité des prix des actifs de suivre son propre processus stochastique plutôt que de rester strictement constante.

Dans le modèle de Heston, le prix de l'actif et sa variance sont modélisés comme un système d'équations différentielles stochastiques couplées : Où:

• est la variance instantanée, qui suit un revient à etsont deux processus de Wiener distincts qui sont mathématiquement corrélés (avec un coefficient de corrélation dynamique des populations . Contrairement aux modèles déterministes , qui supposent que les populations évoluent de manière prévisible, les modèles stochastiques prennent en compte le caractère aléatoire inhérent aux naissances, aux décès et aux migrations. Le processus de naissance-mort , un modèle stochastique simple, décrit comment les populations fluctuent au fil du temps en raison des naissances et des décès aléatoires. Ces modèles sont particulièrement importants pour les petites populations, où les événements aléatoires peuvent avoir des conséquences importantes, comme dans le cas des espèces menacées ou des petites populations microbiennes.

  Un autre exemple est le processus de ramification , qui modélise la croissance d'une population où chaque individu se reproduit indépendamment. Ce processus est souvent utilisé pour décrire l'extinction ou l'explosion démographique, notamment en épidémiologie, où il permet de modéliser la propagation des maladies infectieuses au sein d'une population.

Les processus stochastiques jouent un rôle crucial en informatique, notamment dans l'analyse et le développement d' algorithmes randomisés . Ces algorithmes utilisent des entrées aléatoires pour simplifier la résolution de problèmes ou améliorer les performances dans des tâches de calcul complexes. Par exemple, les chaînes de Markov sont largement utilisées dans les algorithmes probabilistes pour les tâches d'optimisation et d'échantillonnage, comme ceux employés dans les moteurs de recherche tels que PageRank de Google. Ces méthodes offrent un bon compromis entre efficacité de calcul et précision, ce qui les rend indispensables pour le traitement de grands ensembles de données. Les algorithmes randomisés sont également largement utilisés dans des domaines tels que la cryptographie, les simulations à grande échelle et l'intelligence artificielle, où la gestion efficace de l'incertitude est essentielle.

Une autre application importante des processus stochastiques en informatique concerne la théorie des files d'attente , qui modélise l'arrivée et le traitement aléatoires des tâches dans un système . Ceci est particulièrement pertinent pour l'analyse du trafic réseau et la gestion des serveurs. Par exemple, les modèles de files d'attente permettent de prédire les délais, de gérer l'allocation des ressources et d'optimiser le débit des serveurs web et des réseaux de communication. La flexibilité des modèles stochastiques permet aux chercheurs de simuler et d'améliorer les performances des environnements à fort trafic. Par exemple, la théorie des files d'attente est essentielle à la conception de centres de données et d'infrastructures de cloud computing efficaces