processus ponctuel de Poisson

Le processus ponctuel de Poisson homogène, considéré sur la demi-droite positive, peut être défini comme un processus de comptage , un type de processus stochastique, que l'on peut noter . Un processus de comptage représente le nombre total d'occurrences ou d'événements survenus jusqu'à l'instant inclus . Un processus de comptage est un processus de comptage de Poisson homogène de taux s'il possède les trois propriétés suivantes : 0" $0\lambda >0$0

• comporte des incréments indépendants ; et
• le nombre d'événements (ou de points) dans un intervalle de longueur quelconque est une variable aléatoire de Poisson avec paramètre (ou moyenne) .

La dernière propriété implique :

Autrement dit, la probabilité que la variable aléatoire soit égale à est donnée par :

Le processus de comptage de Poisson peut également être défini en indiquant que les différences de temps entre les événements du processus de comptage sont des variables exponentielles de moyenne . Les différences de temps entre les événements ou arrivées sont connues sous le nom d'intervalles inter-arrivées ou d'intervalles inter-occurrences .

Interprété comme un processus ponctuel , un processus ponctuel de Poisson peut être défini sur la droite réelle en considérant le nombre de points du processus dans l'intervalle . Pour le processus ponctuel de Poisson homogène sur la droite réelle de paramètre , la probabilité que ce nombre aléatoire de points, noté ici , soit égal à un certain nombre entier est donnée par : 0" $0\lambda >0$0

Pour un certain entier positif , le processus ponctuel de Poisson homogène a la distribution de dimension finie donnée par :

où les vrais nombres .

Autrement dit, est une variable aléatoire de Poisson de moyenne , où . De plus, le nombre de points dans deux intervalles disjoints quelconques, par exemple et , est indépendant l'un de l'autre, et cette propriété s'étend à un nombre fini quelconque d'intervalles disjoints. Dans le contexte de la théorie des files d'attente, on peut considérer l'existence d'un point (dans un intervalle) comme un événement , mais ce sens diffère de celui du terme « événement » en théorie des probabilités. Il s'ensuit que représente le nombre moyen d' arrivées par unité de temps.

Le processus ponctuel de Poisson homogène précédent s'étend immédiatement aux dimensions supérieures en remplaçant la notion d'aire par le volume (de grande dimension). Pour une région bornée de l'espace euclidien , si les points forment un processus de Poisson homogène de paramètre , alors la probabilité que les points existent dans est donnée par :0" $0\lambda >0$ 0

où désigne maintenant le volume de dimension de . De plus, pour une collection d'ensembles boréliens disjoints et bornés , soit le nombre de points de existant dans . Alors le processus ponctuel de Poisson homogène correspondant avec paramètre a la distribution de dimension finie : 0" $0\lambda >0$ 0

Les processus ponctuels de Poisson homogènes ne dépendent pas de la position dans l'espace sous-jacent via leur paramètre ε , ce qui implique qu'il s'agit à la fois d'un processus stationnaire (invariant par translation) et d'un processus stochastique isotrope (invariant par rotation). De même que dans le cas unidimensionnel, si le processus ponctuel homogène est restreint à un sous-ensemble borné de Ω , alors, selon certaines définitions de la stationnarité, le processus n'est plus stationnaire.

Si un processus ponctuel homogène est défini sur la droite réelle comme un modèle mathématique de la survenue d'un phénomène, il présente la caractéristique que les positions de ces survenues ou événements sur la droite réelle (souvent interprétée comme le temps) sont uniformément distribuées. Plus précisément, si un événement se produit (selon ce processus) dans un intervalle où , alors sa position est une variable aléatoire uniforme définie sur cet intervalle. De plus, le processus ponctuel homogène est parfois appelé processus ponctuel de Poisson uniforme (voir Terminologie ). Cette propriété d'uniformité s'étend aux dimensions supérieures en coordonnées cartésiennes, mais pas, par exemple, en coordonnées polaires.

Sur la droite réelle, le processus ponctuel de Poisson non homogène possède une mesure moyenne donnée par une intégrale unidimensionnelle. Pour deux nombres réels et , où , on note le nombre de points d'un processus de Poisson non homogène d'intensité appartenant à l'intervalle . La probabilité que des points existent dans cet intervalle est donnée par :

où la mesure moyenne ou d'intensité est :

ce qui signifie que la variable aléatoire est une variable aléatoire de Poisson avec une moyenne de .

Une caractéristique du cadre unidimensionnel est qu'un processus de Poisson non homogène peut être transformé en un processus homogène par une transformation ou une application monotone , ce qui est réalisé avec l'inverse de .

Un processus de Poisson non homogène défini dans le plan est appelé processus de Poisson spatial Il est défini par une fonction d'intensité et sa mesure d'intensité est obtenue en effectuant une intégrale de surface de cette fonction sur une région donnée . Par exemple, sa fonction d'intensité (en fonction des coordonnées cartésiennes et ) peut être

L'intensité correspondante est donc donnée par l'intégrale de surface.

où se trouve une région délimitée dans le plan .

Dans le plan, correspond à une intégrale de surface tandis que dans l'intégrale devient une intégrale de volume ( -dimensionnelle).

Lorsque la droite réelle est interprétée comme le temps, le processus non homogène est utilisé dans les domaines des processus de dénombrement et de la théorie des files d'attente. Parmi les phénomènes qui ont été représentés par ou qui apparaissent comme un processus ponctuel de Poisson non homogène, on peut citer :

• Buts marqués lors d'un match de football.
• Défauts dans une carte de circuit imprimé

Dans le plan, le processus ponctuel de Poisson est important dans les disciplines connexes de la géométrie stochastique et des statistiques spatiales . L'intensité de ce processus ponctuel dépend de la position dans l'espace sous-jacent, ce qui permet de modéliser des phénomènes dont la densité varie selon la région. Autrement dit, les phénomènes peuvent être représentés par des points dont la densité dépend de la position . Ce processus a été utilisé dans diverses disciplines, notamment pour l'étude du saumon et des poux de mer dans les océans , en foresterie .

La fonction d'intensité de Poisson a une interprétation, considérée comme intuitive, avec l'élément de volume au sens infinitésimal : est la probabilité infinitésimale qu'un point d'un processus ponctuel de Poisson existe dans une région de l'espace avec un volume situé à .

Par exemple, étant donné un processus ponctuel de Poisson homogène sur la droite réelle, la probabilité de trouver un point unique du processus dans un petit intervalle de largeur est approximativement de . En fait, c'est par ce type d'intuition que le processus ponctuel de Poisson est parfois introduit et que sa distribution est dérivée.

Si un processus ponctuel de Poisson possède une mesure d'intensité localement finie et diffuse (ou non atomique), alors il s'agit d'un processus ponctuel simple . Pour un processus ponctuel simple, la probabilité qu'un point existe à un emplacement donné dans l'espace sous-jacent (espace d'état) est soit nulle, soit égale à un. Cela implique qu'avec une probabilité de un, deux points (ou plus) d'un processus ponctuel de Poisson ne peuvent pas se superposer dans l'espace sous-jacent.

Le nombre de points dans la fenêtre, noté ici par , doit être simulé, ce qui est fait en utilisant une fonction génératrice de nombres (pseudo)-aléatoires capable de simuler des variables aléatoires de Poisson.

La deuxième étape consiste à placer aléatoirement les points dans la fenêtre .

Malgré son nom, le processus ponctuel de Poisson n'a été ni découvert ni étudié par celui qui lui a donné son nom. Il est cité comme exemple de la loi d'éponymie de Stigler . Son nom provient de sa relation intrinsèque avec la distribution de Poisson, établie par Poisson comme cas limite de la distribution binomiale . Il décrit la probabilité de la somme de tirages de Bernoulli de probabilité , souvent comparée au nombre de faces (ou de piles) obtenues lors de lancers de pièces biaisés , la probabilité d'obtenir face (ou pile) étant . Pour une constante positive , lorsque tend vers l'infini et tend vers zéro de sorte que le produit soit fixé, la distribution de Poisson se rapproche davantage de la distribution binomiale. 0" $0\Lambda >0$ 0

En 1841, Poisson établit la loi de Poisson en étudiant la loi binomiale à la limite lorsque n tend vers zéro et vers l'infini. Cette loi n'apparaît qu'une seule fois dans l'œuvre de Poisson , et le résultat était peu connu de son vivant. Au cours des années suivantes, d'autres chercheurs l'utilisèrent sans citer Poisson, notamment Philipp Ludwig von Seidel et Ernst Abbe . À la fin du XIXe siècle, Ladislaus Bortkiewicz raviva l'intérêt pour cette loi en citant Poisson et en utilisant des données réelles sur le nombre de décès dus aux coups de sabot de cheval dans l' armée prussienne .

Plusieurs auteurs revendiquent des utilisations ou des découvertes précoces du processus ponctuel de Poisson. Par exemple, en 1767, soit une décennie avant la naissance de Poisson, John Michell s'intéressait à la probabilité qu'une étoile se trouve dans une certaine région d'une autre étoile, en supposant à tort que les étoiles étaient « dispersées par pur hasard ». Il étudia un exemple constitué des six étoiles les plus brillantes des Pléiades , sans toutefois établir la distribution de Poisson. Ces travaux inspirèrent Simon Newcomb, qui étudia le problème et calcula la distribution de Poisson comme approximation de la distribution binomiale en 1860.

Au début du XXe siècle, le processus de Poisson (à une dimension) est apparu indépendamment dans différentes situations. En Suède, en 1903, Filip Lundberg a publié une thèse contenant des travaux, aujourd'hui considérés comme fondamentaux et novateurs, dans laquelle il proposait de modéliser les sinistres d'assurance à l'aide d'un processus de Poisson homogène.

Au Danemark, A.K. Erlang a établi la distribution de Poisson en 1909 en développant un modèle mathématique du nombre d'appels téléphoniques entrants dans un intervalle de temps fini. Ignorant les travaux antérieurs de Poisson, Erlang a supposé que le nombre d'appels arrivant dans chaque intervalle de temps était indépendant. Il a ensuite déterminé le cas limite, ce qui revient à reformuler la distribution de Poisson comme une limite de la distribution binomiale.

En 1910, Ernest Rutherford et Hans Geiger publièrent des résultats expérimentaux sur le comptage des particules alpha. Leurs travaux expérimentaux bénéficièrent des contributions mathématiques de Harry Bateman , qui établit les probabilités de Poisson comme solution d'une famille d'équations différentielles, bien que la solution ait été obtenue antérieurement, ce qui mena à la découverte indépendante du processus de Poisson. Par la suite, le processus de Poisson fit l'objet de nombreuses études et applications, mais son histoire initiale est complexe, ce qui s'explique par ses diverses applications dans de nombreux domaines par des biologistes, des écologistes, des ingénieurs et divers physiciens.

Les années qui suivirent 1909 furent marquées par de nombreuses études et applications du processus ponctuel de Poisson. Cependant, son histoire initiale est complexe, ce qui s'explique par la diversité de ses applications dans de nombreux domaines par des biologistes , des écologues, des ingénieurs et d'autres chercheurs en sciences physiques . Les premiers résultats furent publiés dans différentes langues et dans différents contextes, sans terminologie ni notation standardisées. Par exemple, en 1922, le chimiste suédois et lauréat du prix Nobel Theodor Svedberg proposa un modèle dans lequel un processus ponctuel de Poisson spatial constitue le processus sous-jacent pour étudier la distribution des plantes au sein des communautés végétales. Plusieurs mathématiciens commencèrent à étudier ce processus au début des années 1930, et d'importantes contributions furent apportées par Andreï Kolmogorov , William Feller et Alexandre Khinchin , entre autres. Dans le domaine de l'ingénierie du trafic routier , des mathématiciens et des statisticiens étudièrent et utilisèrent le processus de Poisson et d'autres processus ponctuels.

Dans sa thèse de 1943, le Suédois Conny Palm a étudié les processus de Poisson et autres processus ponctuels dans un cadre Harald Cramér à l'Université de Stockholm , où Lundberg était doctorant sous la direction de Cramér. Ce dernier n'a pas utilisé le terme « processus de Poisson » dans un ouvrage qu'il a achevé en 1936, mais l'a fait dans les éditions ultérieures, ce qui a conduit à la spéculation que le terme « processus de Poisson » a été inventé entre 1936 et 1939 à l'Université de Stockholm.

Pour un processus ponctuel de Poisson avec mesure d'intensité sur un certain espace , la fonctionnelle de Laplace est donnée par :

Une version du théorème de Campbell fait intervenir la fonctionnelle de Laplace du processus ponctuel de Poisson.

La fonction génératrice des probabilités d'une variable aléatoire à valeurs entières non négatives conduit à la définition de la fonctionnelle génératrice des probabilités de manière analogue par rapport à toute fonction bornée non négative telle que . Pour un processus ponctuel, la fonctionnelle génératrice des probabilités est définie comme :

où le produit est effectué pour tous les points de . Si la mesure d'intensité de est localement finie, alors est bien définie pour toute fonction mesurable sur . Pour un processus ponctuel de Poisson de mesure d'intensité , la fonctionnelle génératrice est donnée par :

qui, dans le cas homogène, se réduit à

Pour un processus ponctuel de Poisson général avec mesure d'intensité, la mesure du premier moment est sa mesure d'intensité :

ce qui, pour un processus ponctuel de Poisson homogène à intensité constante , signifie :

où est la longueur, la surface ou le volume (ou plus généralement, la mesure de Lebesgue ) de .

L'équation de Mecke caractérise le processus ponctuel de Poisson. Soit l'espace des mesures -finies sur un espace quelconque . Un processus ponctuel d'intensité sur est un processus ponctuel de Poisson si et seulement si, pour toutes fonctions mesurables , on vérifie la propriété suivante :

Pour plus de détails, voir

Pour un processus ponctuel de Poisson général avec mesure d'intensité, la mesure du -ième moment factoriel est donnée par l'expression :

où est la mesure d'intensité ou la mesure du premier moment de , qui, pour un certain ensemble borélien, est donnée par

Pour un processus ponctuel de Poisson homogène, la mesure du -ième moment factoriel est simplement :

où est la longueur, l'aire ou le volume (ou plus généralement, la mesure de Lebesgue ) de . De plus, la densité du -ième moment factoriel est :

Les processus ponctuels simples sont entièrement caractérisés par leurs probabilités de vide. Autrement dit, l'information complète d'un processus ponctuel simple est entièrement contenue dans ses probabilités de vide, et deux processus ponctuels simples ont les mêmes probabilités de vide si et seulement s'il s'agit du même processus ponctuel. Le cas du processus de Poisson est parfois connu sous le nom de théorème de Rényi , du nom d' Alfréd Rényi qui a découvert ce résultat pour le cas d'un processus ponctuel homogène en une dimension.

Sous une forme le théorème de Rényi dit que, si est une mesure de Radon diffuse (ou non atomique) sur et est un processus ponctuel simple localement fini sur tel que pour tout ensemble étant une union finie de rectangles, alors est vrai :

,

alors est un processus ponctuel de Poisson avec mesure d'intensité .

Le théorème de superposition du processus ponctuel de Poisson dit que la superposition de processus ponctuels de Poisson indépendants avec des mesures moyennes sera également un processus ponctuel de Poisson avec une mesure moyenne

Autrement dit, l'union de deux (ou d'une infinité dénombrable) processus de Poisson est un autre processus de Poisson. Si l'on tire un point d'une union dénombrable de processus de Poisson, la probabilité que ce point appartienne au i-ème processus de Poisson est donnée par :

Pour deux processus de Poisson homogènes d'intensités , les deux expressions précédentes se réduisent à

et

Une version du théorème de déplacement fait intervenir un processus ponctuel de Poisson sur avec une fonction d'intensité . On suppose alors que les points de sont déplacés aléatoirement ailleurs dans , de sorte que le déplacement de chaque point soit indépendant et que le déplacement d'un point initialement en soit un vecteur aléatoire de densité de probabilité . Le nouveau processus ponctuel est alors également un processus ponctuel de Poisson avec une fonction d'intensité .

Si le processus de Poisson est homogène avec et si est une fonction de , alors 0" $0\lambda \left(x\right)=\lambda >0$0

Autrement dit, après chaque déplacement aléatoire et indépendant des points, le processus ponctuel de Poisson initial existe toujours.

Le théorème de déplacement peut être étendu de telle sorte que les points de Poisson soient déplacés aléatoirement d'un espace euclidien à un autre espace euclidien , où n'est pas nécessairement égal à .

Une méthode d'approximation des événements ou phénomènes aléatoires par des processus de Poisson est appelée heuristique de regroupement . Cette heuristique, ou principe général, consiste à utiliser un processus ponctuel de Poisson (ou distribution de Poisson) pour approximer des événements considérés comme rares ou improbables d'un processus stochastique. Dans certains cas, ces événements rares sont quasi indépendants, ce qui permet d'utiliser un processus ponctuel de Poisson. Lorsque les événements ne sont pas indépendants, mais tendent à se produire en groupes , alors, si ces groupes sont définis de manière à être approximativement indépendants les uns des autres, le nombre de groupes observés sera proche d'une variable aléatoire de Poisson et leur position sera proche d'un processus de Poisson

La méthode de Stein est une technique mathématique initialement développée pour l'approximation de variables aléatoires telles que les variables gaussiennes et de Poisson, et qui a également été appliquée aux processus ponctuels. Cette méthode permet d'obtenir des majorations de métriques de probabilité , ce qui permet de quantifier la variation stochastique entre deux objets mathématiques aléatoires. Des majorations de métriques de probabilité telles que la variation totale et la distance de Wasserstein ont été obtenues.

Les chercheurs ont appliqué la méthode de Stein aux processus ponctuels de Poisson de diverses manières , notamment en utilisant le calcul de Palm . Des techniques basées sur la méthode de Stein ont été développées pour intégrer dans les bornes supérieures les effets de certaines opérations sur les processus ponctuels , telles que l'amincissement et la superposition La méthode de Stein a également été utilisée pour établir des bornes supérieures sur les métriques des processus de Poisson et d'autres processus, comme le processus ponctuel de Cox , qui est un processus de Poisson avec une mesure d'intensité aléatoire

Les mesures aléatoires de type Poisson (PT) forment une famille de trois mesures de comptage aléatoires stables par restriction à un sous-espace (c'est-à-dire stables par l'opération d'amincissement du processus ponctuel) . Ces mesures aléatoires sont des exemples de processus binomial mixte et partagent la propriété d'autosimilarité de la mesure aléatoire de Poisson . Elles sont les seules, parmi les séries entières non négatives canoniques, à posséder cette propriété et comprennent la distribution de Poisson , la distribution binomiale négative et la distribution binomiale . La mesure aléatoire de Poisson est indépendante sur les sous-espaces disjoints, tandis que les autres mesures aléatoires PT (binomiale négative et binomiale) ont des covariances respectivement positives et négatives. Les mesures aléatoires PT sont étudiées dans et comprennent la mesure aléatoire de Poisson , la mesure aléatoire binomiale négative et la mesure aléatoire binomiale.

Pour les modèles mathématiques, le processus ponctuel de Poisson est souvent défini dans l'espace euclidien, mais a été généralisé à des espaces plus abstraits et joue un rôle fondamental dans l'étude des mesures aléatoires, qui nécessite une compréhension des domaines mathématiques tels que la théorie des probabilités, la théorie de la mesure et la topologie.

En général, la notion de distance présente un intérêt pratique pour les applications, tandis qu'une structure topologique est nécessaire pour les distributions de Palm, ce qui signifie que les processus ponctuels sont généralement définis sur des espaces mathématiques métriques. De plus, une réalisation d'un processus ponctuel peut être considérée comme une mesure de comptage ; les processus ponctuels sont donc des types de mesures aléatoires, appelées mesures de comptage aléatoires. Dans ce contexte, le processus de Poisson et d'autres processus ponctuels ont été étudiés sur un espace de Hausdorff localement compact et dénombrable.

Pour un processus ponctuel donné, chaque point aléatoire de ce processus peut se voir attribuer aléatoirement un objet mathématique aléatoire, appelé marque . Ces marques peuvent être aussi diverses que des entiers, des nombres réels, des droites, des objets géométriques ou d'autres processus ponctuels. La paire constituée d'un point du processus ponctuel et de sa marque correspondante est appelée point marqué, et tous les points marqués forment un processus ponctuel marqué . On suppose souvent que les marques aléatoires sont indépendantes et identiquement distribuées, mais la marque d'un point peut néanmoins dépendre de la position de son point correspondant dans l'espace sous-jacent (espace d'états). Si le processus ponctuel sous-jacent est un processus de Poisson, alors le processus ponctuel résultant est un processus de Poisson marqué .