Processus ponctuel

En statistique et en théorie des probabilités , un processus ponctuel ou un champ de points est un ensemble d'un nombre aléatoire de points mathématiques situés aléatoirement sur un espace mathématique tel que la droite réelle ou l'espace euclidien .

Les processus ponctuels sur la droite réelle constituent un cas particulier important et particulièrement facile à étudier , car les points sont ordonnés naturellement et le processus ponctuel entier peut être décrit entièrement par les intervalles (aléatoires) entre les points. Ces processus ponctuels sont fréquemment utilisés comme modèles d'événements aléatoires dans le temps, tels que l'arrivée de clients dans une file d'attente ( théorie des files d'attente ), les impulsions dans un neurone ( neurosciences computationnelles ), les particules dans un compteur Geiger , la localisation des stations radio dans un réseau de télécommunications ou les recherches sur le Web .

Les processus ponctuels généraux sur un espace euclidien peuvent être utilisés pour l'analyse de données spatiales , ce qui présente un intérêt dans des disciplines aussi diverses que la foresterie, l'écologie végétale, l'épidémiologie, la géographie, la sismologie, la science des matériaux, l'astronomie, les télécommunications, les neurosciences informatiques, l'économie et autres.

Certains auteurs considèrent les processus ponctuels et les processus stochastiques comme deux objets distincts, un processus ponctuel étant un objet aléatoire issu d'un processus stochastique ou associé à celui-ci , bien que la distinction entre processus ponctuels et processus stochastiques soit parfois floue . D'autres considèrent un processus ponctuel comme un processus stochastique, indexé par des ensembles de l'espace sous-jacent sur lequel il est défini, tel que la droite réelle ou l'espace euclidien de dimension n . D'autres processus stochastiques, comme les processus de renouvellement et de comptage, sont étudiés dans le cadre de la théorie des processus ponctuels . Le terme « processus ponctuel » est parfois préféré, car historiquement, le mot « processus » désignait l'évolution d'un système au cours du temps ; un processus ponctuel est donc également appelé champ de points aléatoires

En mathématiques, un processus ponctuel est un élément aléatoire dont les valeurs sont des « motifs ponctuels » sur un ensemble S. Alors que dans la définition mathématique exacte, un motif ponctuel est spécifié comme une mesure de comptage localement finie , il suffit, pour des applications plus concrètes, de considérer un motif ponctuel comme un sous-ensemble dénombrable de S qui n'a pas de points limites .espace de Hausdorff localement compact et dénombrable , et est sa σ- algèbre de Borel . Considérons maintenant un noyau localement fini à valeurs entières de dans , c'est-à-dire une application telle que :

1. Pour tout , est une mesure (à valeurs entières) localement finie sur .
2. Pour chaque , est une variable aléatoire sur .

Ce noyau définit une mesure aléatoire de la manière suivante. On peut considérer qu'il définit une application qui envoie sur une mesure (à savoir, ), où est l'ensemble des mesures localement finies sur . Pour rendre cette application mesurable, il faut définir un -corps sur . Ce -corps est construit comme l'algèbre minimale telle que toutes les applications d'évaluation de la forme , où est relativement compact , soient mesurables. Muni de ce -corps, est alors un élément aléatoire, où pour tout , est une mesure localement finie sur .

Par processus ponctuel , on entend simplement une mesure aléatoire à valeurs entières (ou, de manière équivalente, un noyau à valeurs entières) construite comme décrit précédemment. L'exemple le plus courant pour l'espace d'états S est l'espace euclidien R^ⁿ ou un sous-ensemble de celui-ci, la demi-droite réelle [0,∞) constituant un cas particulier particulièrement intéressant. Cependant, les processus ponctuels ne se limitent pas à ces exemples et peuvent, entre autres, être utilisés si les points sont eux-mêmes des sous-ensembles compacts de R^ⁿ , auquel cas ξ est généralement appelé processus particulaire .

Malgré le nom de processus ponctuel puisque S pourrait ne pas être un sous-ensemble de la droite réelle, car cela pourrait suggérer que ξ est un processus stochastique .

Chaque instance (ou événement) d'un processus ponctuel ξ peut être représentée comme

où désigne la mesure de Dirac , n est une variable aléatoire à valeurs entières et sont des éléments aléatoires de S. Si les sont presque sûrement distincts (ou de manière équivalente, presque sûrement pour tout ), alors le processus ponctuel est dit simple .

Une autre représentation différente mais utile d'un événement (un événement dans l'espace des événements, c'est-à-dire une série de points) est la notation de comptage, où chaque instance est représentée comme une fonction, une fonction continue qui prend un intervalle :

qui correspond au nombre d'événements dans l'intervalle d'observation . Il est parfois noté , ou moyenne .

La fonctionnelle de Laplace d'un processus ponctuel N est une application de l'ensemble de toutes les fonctions à valeurs positives f sur l'espace d'état de N , définie comme suit :

Elles jouent un rôle similaire à celui des fonctions caractéristiques d' une variable aléatoire . Un théorème important stipule que deux processus ponctuels ont la même loi si leurs fonctionnelles de Laplace sont égales.

Un processus ponctuel est dit stationnaire s'il possède la même distribution que pour tout . Pour un processus ponctuel stationnaire, la mesure moyenne est donnée par une constante et , où désigne la mesure de Lebesgue. On appelle cette mesure l' intensité du processus ponctuel. Un processus ponctuel stationnaire sur possède presque sûrement soit 0, soit un nombre infini de points. Pour plus d'informations sur les processus ponctuels stationnaires et la mesure aléatoire, voir le chapitre 12 de Daley & Vere-Jones. La stationnarité a été définie et étudiée pour les processus ponctuels dans des espaces plus généraux que .

Historiquement, les premiers processus ponctuels étudiés avaient pour espace d'état la demi-droite réelle ℝ⁺ ₌ [0,∞), généralement interprétée ici comme le temps. Ces études étaient motivées par le désir de modéliser des systèmes de télécommunications , où les points représentaient des événements temporels, tels que des appels vers un central téléphonique.

_Les processus ponctuels sur R ₊ sont généralement décrits en donnant la séquence de leurs intervalles _de temps (aléatoires) entre événements ( T1 , T2 , ...), à partir desquels la séquence réelle ( X1 , X2 _, ...) des instants d'événement peut être obtenue _.

Si les intervalles de temps entre les événements sont indépendants et identiquement distribués, le processus ponctuel obtenu est appelé processus de renouvellement .

L'analyse des données de répartition spatiale dans un sous-ensemble compact S de R^ⁿ est un objet d'étude majeur en statistique spatiale . Ces données apparaissent dans un large éventail de disciplines, parmi lesquelles

• foresterie et écologie végétale (positions des arbres ou des plantes en général)
• épidémiologie (lieux de résidence des patients infectés)
• zoologie (terriers ou nids d'animaux)
• géographie (position des établissements humains, villes ou cités)
• sismologie (épicentres des séismes)
• science des matériaux (positions des défauts dans les matériaux industriels)
• astronomie (emplacement des étoiles ou des galaxies)
• neurosciences computationnelles (pics neuronaux).

La nécessité d'utiliser des processus ponctuels pour modéliser ce type de données tient à leur structure spatiale intrinsèque. Par conséquent, une première question importante est souvent de savoir si les données présentent une aléatorité spatiale complète (c'est-à-dire si elles constituent la réalisation d'un processus de Poisson spatial ), par opposition à une agrégation ou une inhibition spatiale.

En revanche, de nombreux ensembles de données considérés dans les statistiques multivariées classiques sont constitués de points de données générés indépendamment qui peuvent être régis par une ou plusieurs covariables (généralement non spatiales).

Outre leurs applications en statistique spatiale, les processus ponctuels constituent l'un des objets fondamentaux de la géométrie stochastique . La recherche s'est également largement concentrée sur divers modèles construits à partir de processus ponctuels, tels que les pavages de Voronoï , les graphes géométriques aléatoires et les modèles booléens .