Élément aléatoire

En théorie des probabilités , l'élément aléatoire est une généralisation du concept de variable aléatoire à des espaces plus complexes que la simple droite réelle . Le concept a été introduit par 1948 ) qui a commenté :

Le développement de la théorie des probabilités et l'expansion de son champ d'application ont conduit à la nécessité de passer de schémas où les résultats (aléatoires) des expériences peuvent être décrits par un nombre ou un ensemble fini de nombres, à des schémas où les résultats des expériences représentent, par exemple, des vecteurs , des fonctions , des processus, des corps , des séries , des transformations , ainsi que des ensembles ou des collections d'ensembles.

L’usage moderne de « l’élément aléatoire » suppose fréquemment que l’espace des valeurs est un espace vectoriel topologique , souvent un espace de Banach ou de Hilbert avec une sigma-algèbre naturelle de sous-ensembles spécifiée.

espace de probabilité et Ω un espace mesurable . Un élément aléatoire à valeurs dans E est une fonction image réciproque de B appartient à Ω .

Parfois, les éléments aléatoires ayant des valeurs dans sont appelés variables aléatoires à valeurs dans . Remarquez que si , où sont les nombres réels, et est sa σ-algèbre de Borel, alors la définition d'élément aléatoire est la définition classique de variable aléatoire . La définition d'un élément aléatoire à valeurs dans un espace de Banach est généralement comprise comme utilisant la plus petite -algèbre sur B pour laquelle toute forme linéaire bornée est mesurable. Une définition équivalente, dans ce cas, à la précédente, est qu'une application , d'un espace de probabilité, est un élément aléatoire si est une variable aléatoire pour toute forme linéaire bornée f, ou, de manière équivalente, si est faiblement mesurable .

Exemples d'éléments aléatoires

variable aléatoire

fonction mesurable , de l'ensemble des résultats possibles vers .

En tant que fonction à valeurs réelles, elle décrit souvent une quantité numérique d'un événement donné. Par exemple, le nombre de faces obtenues après un certain nombre de lancers de pièce ; la taille de différentes personnes. Lorsque l' image (ou l'ensemble de valeurs) de est finie ou dénombrable, la variable aléatoire est dite discrète et sa distribution peut être décrite par une fonction de masse de probabilité qui associe une probabilité à chaque valeur de son image . Si l'image est non dénombrable, la variable aléatoire est dite continue. Dans le cas particulier où elle est absolument continue, sa distribution peut être décrite par une fonction de densité de probabilité, qui associe des probabilités aux intervalles ; en particulier, chaque point a nécessairement une probabilité nulle pour une variable aléatoire absolument continue. Toutes les variables aléatoires continues ne sont pas absolument continues , par exemple une distribution de mélange . De telles variables aléatoires ne peuvent être décrites ni par une fonction de densité de probabilité, ni par une fonction de masse de probabilité.

Vecteur aléatoire

vecteur colonne (ou sa transposée , qui est un vecteur ligne ) dont les composantes sont des variables aléatoires scalaires à valeurs sur le même espace de probabilité , où est l' espace d'échantillonnage , est la sigma-algèbre (l'ensemble de tous les événements) et est la mesure de probabilité (une fonction renvoyant la probabilité de chaque événement ).

Les vecteurs aléatoires sont souvent utilisés comme implémentation sous-jacente de divers types de variables aléatoires agrégées , par exemple une matrice aléatoire, un arbre aléatoire, une séquence aléatoire, un processus aléatoire, etc.

Matrice aléatoire

matricielles . De nombreuses propriétés importantes des systèmes physiques peuvent être représentées mathématiquement sous forme de problèmes matriciels. Par exemple, la conductivité thermique d'un réseau cristallin peut être calculée à partir de la matrice dynamique des interactions particule-particule au sein de ce réseau.

Fonction aléatoire

domaine vers le codomaine . Par exemple, cette classe peut être restreinte à toutes les fonctions continues ou à toutes les fonctions en escalier . Les valeurs déterminées par une fonction aléatoire évaluée en différents points d'une même réalisation ne sont généralement pas statistiquement indépendantes , mais, selon le modèle, les valeurs déterminées en un même point ou en des points différents de réalisations différentes peuvent être considérées comme indépendantes.

processus aléatoire

variables aléatoires représentant l'évolution d'un système de valeurs aléatoires au fil du temps. Il s'agit de l'équivalent probabiliste d'un processus déterministe (ou système déterministe ). Contrairement aux solutions d'une équation différentielle ordinaire , qui ne peuvent évoluer que d'une seule manière, un processus stochastique ou aléatoire présente une part d'indétermination : même si la condition initiale (ou point de départ) est connue, le processus peut évoluer dans plusieurs directions (souvent une infinité).

Dans le cas simple du temps discret , par opposition au temps continu , un processus stochastique implique une séquence de variables aléatoires et la série temporelle associée à ces variables aléatoires (par exemple, voir la chaîne de Markov , également connue sous le nom de chaîne de Markov à temps discret).

Champ aléatoire

espace de probabilité et un espace mesurable X, un champ aléatoire à valeurs dans X est une collection de variables aléatoires à valeurs dans X indexées par des éléments d'un espace topologique T. Autrement dit, un champ aléatoire F est une collection

où chaque variable aléatoire prend une valeur X. Il existe plusieurs types de champs aléatoires, parmi lesquels le champ aléatoire de Markov (MRF), le champ aléatoire de Gibbs (GRF), le champ aléatoire conditionnel (CRF) et le champ aléatoire gaussien . Un MRF présente les propriétés markoviennes. où représente l'ensemble des voisins de la variable aléatoire X<sub> i</sub> . Autrement dit, la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur dépend des autres variables aléatoires uniquement par l'intermédiaire de ses voisins immédiats. La probabilité d'une variable aléatoire dans un champ aléatoire de Markov (MRF) est donnée par où Ω' est la même réalisation de Ω, à l'exception de la variable aléatoire X i . Il est difficile de calculer avec cette équation, sans recourir à la relation entre les MRF et les GRF proposée par Julian Besag en 1974.

mesure aléatoire

une mesure . Soit X un espace métrique complet et séparable et la σ-algèbre de ses boréliens. Une mesure borélienne μ sur X est bornée finie si μ(A) < ∞ pour tout borélien borné A. Soit l'espace de toutes les mesures bornées finies sur . Soit espace de probabilité , alors une mesure aléatoire applique de cet espace de probabilité sur l' espace mesurable

Ensemble aléatoire

Un ensemble aléatoire est un élément aléatoire à valeurs ensemblistes.

Un exemple précis est un ensemble compact aléatoire . Soit un espace métrique complet et séparable . Soit l'ensemble de tous les sous-ensembles compacts de . La métrique de Hausdorff sur est définie par

$est également un espace métrique séparable complet. Les sous-ensembles ouverts correspondants engendrent une σ -algèbre sur , la σ-algèbre de Borel de .$

Un ensemble compact aléatoire est une fonction mesurable d'un espace de probabilité dans .

En d'autres termes, un ensemble compact aléatoire est une fonction mesurable telle que soit presque sûrement compact et

est une fonction mesurable pour chaque .

objets géométriques aléatoires

Il s'agit notamment de points aléatoires, de figures aléatoires, et de formes aléatoires.

Mourier E. (1955) Éléments aléatoires dans un espace de Banach (Ces). Paris.

Prokhorov Yu.V. (1999) Élément aléatoire. Probabilité et statistique mathématique. Encyclopédie. Moscou : « Grande Encyclopédie russe », p. 623.