Variable aléatoire multivariée

De même, un nouveau vecteur aléatoire peut être défini en appliquant une transformation affine à un vecteur aléatoire :

, où est une matrice et est un vecteur colonne.

Si est une matrice inversible et a une fonction de densité de probabilité , alors la densité de probabilité de est

.

Plus généralement, nous pouvons étudier les applications inversibles de vecteurs aléatoires.

Soit une application bijective d'un ouvert de sur un sous-ensemble de , soit une application dont les dérivées partielles sont continues sur et soit le déterminant jacobien de nul en aucun point de . Supposons que le vecteur aléatoire réel ait une fonction de densité de probabilité et satisfasse . Alors est de densité de probabilité .

où désigne la fonction indicatrice et l'ensemble désigne le support de . 0 \\} \\subseteq \\mathcal{R} " $0\backslash \}\backslash subseteq\; \{\backslash mathcal\; \{R{R}_Y=\{y=g(x):f_X(x)>0\}\subseteq R$0\}\subseteq {\mathcal {R

La matrice de covariance (également appelée matrice de moment centré d'ordre deux ou matrice de variance-covariance) d'un vecteur aléatoire est une matrice dont ^l' élément ( i,j ) représente la covariance entre les i- ^ème et j ^-ème variables aléatoires. La matrice de covariance est l'espérance, élément par élément, de la matrice calculée comme suit : , où l'exposant T désigne la transposée du vecteur indiqué :

Par extension, la matrice de covariance croisée entre deux vecteurs aléatoires et ( ayant des éléments et ayant des éléments) est la matrice

où, là encore, l'espérance matricielle est calculée élément par élément dans la matrice. Ici, l' ^{élément (} i,j ) représente la covariance entre le i ^-ème élément de et le j ^-ème élément de .

La matrice de covariance est une matrice symétrique , c'est-à-dire

.

La matrice de covariance est une matrice semi-définie positive , c'est-à -dire

.

La matrice de covariance croisée est simplement la transposée de la matrice , c'est-à-dire

.

Deux vecteurs aléatoires et sont dits non corrélés si

.

Elles sont non corrélées si et seulement si leur matrice de covariance croisée est nulle.

La matrice de corrélation (ou moment d'ordre deux ⁾ d'un vecteur aléatoire est une matrice dont ^l' élément ( i,j ) représente la corrélation entre les variables ^aléatoires i et j . Cette matrice est l'espérance, élément par élément, de la matrice calculée comme suit : , où l'exposant T désigne la transposée du vecteur indiqué :

Par extension, la matrice de corrélation croisée entre deux vecteurs aléatoires et ( ayant éléments et ayant éléments) est la matrice

La matrice de corrélation est liée à la matrice de covariance par

.

De même pour la matrice de corrélation croisée et la matrice de covariance croisée :

On peut calculer l'espérance d'une forme quadratique dans le vecteur aléatoire comme suit :

où est la matrice de covariance de et désigne la trace d'une matrice, c'est-à-dire la somme des éléments de sa diagonale principale (de haut à gauche vers bas à droite). Puisque la forme quadratique est un scalaire, son espérance l'est également.

Démonstration : Soit un vecteur aléatoire avec et et soit une matrice non stochastique.

Ensuite, d'après la formule de la covariance, si l'on note et , on constate que :

Ainsi

ce qui nous laisse le soin de montrer que

Ceci est vrai car on peut permuter cycliquement les matrices lors de la prise d'une trace sans modifier le résultat (par exemple : ).

Nous constatons que

Et puisque

est un scalaire , alors

trivialement. En utilisant la permutation, on obtient :

et en intégrant cela dans la formule originale, on obtient :

On peut calculer l'espérance du produit de deux formes quadratiques différentes dans un vecteur aléatoire gaussien de moyenne nulle comme suit :

où est à nouveau la matrice de covariance de . De même, puisque les deux formes quadratiques sont des scalaires et que leur produit est donc un scalaire, l'espérance de leur produit est également un scalaire.

En théorie du portefeuille en finance , un objectif fréquent est de choisir un portefeuille d'actifs risqués dont la distribution des rendements aléatoires présente des propriétés souhaitables. Par exemple, on peut souhaiter choisir le portefeuille dont le rendement a la variance la plus faible pour une espérance donnée. Ici, le vecteur aléatoire représente les rendements aléatoires des actifs individuels, et le rendement du portefeuille p (un scalaire aléatoire) est le produit scalaire de ce vecteur de rendements aléatoires avec un vecteur w de ^{pondérations} – les fractions du portefeuille investies dans chaque actif. Puisque p = wᵀ , l'espérance du rendement du portefeuille est wᵀE ( ) et sa variance peut être exprimée par ^wᵀCw , où C est ^la matrice de covariance .

En théorie de la régression linéaire , nous disposons de n observations pour une variable dépendante y et de n observations pour chacune des k variables indépendantes x_{_j} . Les observations de la variable dépendante sont regroupées dans un vecteur colonne y ; les observations de chaque variable indépendante sont également regroupées dans des vecteurs colonnes, et ces derniers sont combinés en une matrice de conception X (qui ne désigne pas ici un vecteur aléatoire) des observations des variables indépendantes. L’équation de régression suivante est alors postulée pour décrire le processus ayant généré les données :

où β est un vecteur postulé fixe mais inconnu de k coefficients de réponse, et e est un vecteur aléatoire inconnu reflétant les influences aléatoires sur la variable dépendante. Par une technique choisie telle que les moindres carrés ordinaires , un vecteur est sélectionné comme estimateur de β, et l'estimateur du vecteur e , noté , est calculé comme

Le statisticien doit ensuite analyser les propriétés de et , qui sont considérés comme des vecteurs aléatoires, car une sélection aléatoire différente de n cas à observer aurait donné des valeurs différentes pour eux.

L'évolution d'un vecteur aléatoire k × 1 au fil du temps peut être modélisée comme un modèle autorégressif vectoriel (VAR) comme suit :

où l'observation du vecteur des i périodes en arrière est appelée le i -ème décalage de , c est un vecteur k × 1 de constantes ( ordonnées à l'origine ), A _i est une matrice k × k invariante dans le temps et est un vecteur aléatoire k × 1 de termes d'erreur .