Programmation géométrique

Un programme géométrique ( PG ) est un problème d'optimisation de la forme

{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\mbox{minimize}}&f_{0}(x)\\{\mbox{subject to}}&f_{i}(x)\leq 1,\quad i=1,\ldots ,m\\&g_{i}(x)=1,\quad i=1,\ldots ,p,\end{array <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mstyle><mtext>minimiser</mtext></mstyle></mrow></mtd><mtd><msub><mi>f</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mstyle><mtext>sous réserve de</mtext></mstyle></mrow></mtd><mtd><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≤</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>m</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><msub><mi>g</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\mbox{minimiser}}&f_{0}(x)\\{\mbox{sous réserve de}}&f_{i}(x)\leq 1,\quad i=1,\ldots ,m\\&g_{i}(x)=1,\quad i=1,\ldots ,p,\end{array}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle f_{0},\dots ,f_{m <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{0},\dots ,f_{m}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{p <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>g</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g_{1},\dots ,g_{p}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{n <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mo>+</mo><mo>+</mo></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle x\mapsto cx_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>↦</mo><mi>c</mi><msubsup><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><msubsup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>⋯</mo><msubsup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><msub><mi>un</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\mapsto cx_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où $0\ c > 0$ 0\ et ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>un</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$

La programmation géométrique est étroitement liée à l'optimisation convexe : tout programme géométrique peut être rendu convexe par un changement de variables. Les programmes géométriques ont de nombreuses applications, notamment le dimensionnement des composants dans la conception de circuits intégrés , la conception d'aéronefs, l'estimation du maximum de vraisemblance pour la régression logistique en statistique et le réglage des paramètres des systèmes linéaires positifs en théorie du contrôle .

Forme convexe

Les programmes géométriques ne sont généralement pas des problèmes d'optimisation convexe, mais ils peuvent être transformés en problèmes convexes par un changement de variables et une transformation des fonctions objectif et de contrainte. En particulier, après avoir effectué le changement de variables ${\displaystyle y_{i}=\log(x_{i}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>y</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y_{i}=\log(x_{i})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>g</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$

Il existe plusieurs logiciels permettant de formuler et de résoudre des programmes géométriques.