Worldlex Wiki En mathématiques , une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes d'une ou plusieurs variables complexes qui est différentiable de manière complexe au voisinage de chaque point d'un domaine dans l'espace des coordonnées complexes L'existence d'une dérivée complexe au voisinage de est une condition très forte : elle implique qu'une fonction holomorphe est infiniment différentiable et localement égale à sa propre série de Taylor (est analytique ). Les fonctions holomorphes sont les objets d'étude l'analyse complexe .
Bien que le terme « fonction analytique » soit souvent utilisé de manière interchangeable avec « fonction holomorphe », le mot « analytique » est défini dans un sens plus large pour désigner toute fonction (réelle, complexe ou de type plus général) qui peut être écrite sous forme de série entière convergente au voisinage de chaque point de son domaine . Le fait que toutes les fonctions holomorphes soient des fonctions analytiques complexes, et réciproquement, est un théorème majeur de l’analyse complexe .
Les fonctions holomorphes sont parfois aussi appelées fonctions régulières . Une fonction holomorphe dont le domaine est tout le plan complexe est appelée fonction entière . L'expression « holomorphe en un point " signifie pas seulement différentiable à , mais différenciable partout dans un voisinage proche de le plan complexe.
Étant donné une fonction à valeurs une seule variable complexe, un certain son domaine est défini comme la limite
Il s'agit de la même définition que pour la dérivée d'une fonction réelle , sauf que toutes les quantités sont complexes. En particulier, la limite est prise comme le nombre complexe à , et cela signifie que la même valeur est obtenue pour toute séquence de valeurs complexes pour . Si la limite existe, est dite complexe différentiable en . Ce concept de différentiabilité complexe partage plusieurs propriétés avec la différentiabilité réelle : il est linéaire et obéit à la règle du produit , à la règle du quotient et à la règle de la chaîne .
Une fonction est holomorphe sur un ensemble ouvert si elle est complexe différentiable en tout point de . Une fonction holomorphe enun si elle est holomorphe sur un certain voisinage de . Une fonction est holomorphe sur un certain ensemble non ouvert si elle est holomorphe en tout point de .
Une fonction peut être complexe différentiable en un point mais non holomorphe en ce point. Par exemple, la fonction différentiable , mais n'est pas différentiable de manière complexe ailleurs, et surtout pas à proximité de voir les équations de Cauchy-Riemann ci-dessous). Donc, elle n'est pas holomorphe .
La relation entre la différentiabilité réelle et la différentiabilité complexe est la suivante : Si une fonction complexe holomorphe, ont des dérivées partielles premières par rapport à , et satisfont aux équations de Cauchy-Riemann :
ou, de manière équivalente, le dérivé de Wirtinger de en ce qui concerne , le conjugué complexe de , est zéro :
c'est-à-dire qu'en gros, fonctionnellement indépendant , le conjugué complexe de .
Si la continuité n'est pas assurée, la réciproque n'est pas nécessairement vraie. Une réciproque simple est que si des dérivées partielles premières continues et satisfont aux équations de Une réciproque plus satisfaisante, mais beaucoup plus difficile à démontrer, est le théorème de Looman-Menchoff : continu possèdent des dérivées partielles premières (mais pas nécessairement continues), et elles satisfont aux équations de Cauchy-Riemann, alors holomorphe.
Une conséquence utile immédiate des équations de Cauchy-Riemann ci-dessus est que la dérivée complexe peut être définie explicitement en termes de dérivées partielles réelles. une fonction complexe qui est complexement différentiable autour d'un alors (comme nous l'avons fait précédemment dans l'article), nous pouvons écrire alors la dérivée complexe de la fonction peut s'écrire .
Terminologie
Le terme holomorphe a été introduit en 1875 par Charles Briot et Jean-Claude Bouquet , deux élèves d' Augustin-Louis Cauchy . Il dérive du grec ὅλος ( hólos ), signifiant « tout », et μορφή ( morphḗ ), signifiant « forme », « apparence » ou « type », par opposition au terme méromorphe, dérivé de μέρος ( méros ), signifiant « partie ». Une fonction holomorphe ressemble à une fonction entière (« tout ») dans un domaine du plan complexe, tandis qu'une fonction méromorphe (définie comme holomorphe sauf en certains pôles isolés ) ressemble à une fraction rationnelle (« partie ») de fonctions entières dans un domaine du plan complexe. Cauchy utilisait quant à lui le terme synectique .
Aujourd'hui, on préfère parfois le terme « fonction holomorphe » à celui de « fonction analytique ». Un résultat important de l'analyse complexe est que toute fonction holomorphe est analytique complexe, ce qui ne découle pas immédiatement des définitions. Le terme « analytique » reste cependant d'usage courant.
Propriétés
Comme la différentiation complexe est linéaire et obéit aux règles du produit, du quotient et de la chaîne, les sommes, les produits et les compositions de fonctions holomorphes sont holomorphes, et le quotient de deux fonctions holomorphes est holomorphe partout où le dénominateur est non nul. Autrement dit, si les fonctions holomorphes dans un , alors , , , et . De plus, holomorphe ne contient aucun zéro dans sinon il est méromorphe .
Si l'on identifie le avion , alors les fonctions holomorphes coïncident avec les fonctions de deux variables réelles avec des dérivées premières continues qui résolvent les équations de Cauchy-Riemann , un ensemble de deux équations aux dérivées partielles .
Toute fonction holomorphe peut être séparée en ses parties réelle et imaginaire , et chacune d'elles est une fonction harmonique sur chacune satisfait l'équation de Laplace ), avec le conjugué harmonique de . Réciproquement, toute fonction harmonique undomaine connexeest la partie réelle d'une fonction holomorphe le conjugué harmonique , unique à une constante près, alors holomorphe.
Le théorème intégral de Cauchy implique que l' intégrale de contour de toute fonction holomorphe le long d'une boucle s'annule :
Ici un chemin rectifiable dans un domaine complexe le point de départ est égal à son point d'arrivée, une fonction holomorphe.
La formule intégrale de Cauchy stipule que toute fonction holomorphe à l'intérieur d'un disque est entièrement déterminée par ses valeurs sur la frontière du disque. De plus : Supposons un domaine complexe une fonction holomorphe et le disque entièrement . Soit le cercle formant frontière de . Ensuite, pour chaque l' intérieur de :
où l'intégrale de contour est prise dans le sens antihoraire .
peut être écrit comme une intégrale de contour[ utilisant la formule de différenciation de Cauchy
Exemples
Toutes les fonctions polynomiales dans à coefficients complexes sont des fonctions entières (holomorphes dans tout le plan complexe ), et il en va de même pour la fonction exponentielle les trigonométriques(cf. d'Euler ). La principale de lafonction logarithme complexe holomorphe sur leLa fonction racine carrée peut être définie comme est donc holomorphe partout où le . La réciproque holomorphe . (La fonction réciproque, et toute autre fonction rationnelle , est méromorphe sur .)
En conséquence des équations de Cauchy-Riemann , toute fonction holomorphe à valeurs réelles doit être constante . Par conséquent, la valeur , l' argument , la vraie partie la imaginaire sont pas holomorphes. Un autre exemple typique de fonction continue qui n'est pas holomorphe est le conjugué complexe . (Le conjugué complexe est antiholomorphe .)
Plusieurs variables
La définition d'une fonction holomorphe se généralise aisément à plusieurs variables complexes. Une sont analytiques en un point s'il existe un voisinage de dans lequel is equal to a convergent power series in complex variables; the function is holomorphic in an open subset of if it is analytic at each point in . Osgood's lemma shows (using the multivariate Cauchy integral formula) that, for a continuous function , this is equivalent to being holomorphic in each variable separately (meaning that if any coordinates are fixed, then the restriction of is a holomorphic function of the remaining coordinate). The much deeper Hartogs' theorem proves that the continuity assumption is unnecessary: is holomorphic if and only if it is holomorphic in each variable separately.
More generally, a function of several complex variables that is square integrable over every compact subset of its domain is analytic if and only if it satisfies the Cauchy–Riemann equations in the sense of distributions.
Functions of several complex variables are in some basic ways more complicated than functions of a single complex variable. For example, the region of convergence of a power series is not necessarily an open ball; these regions are logarithmically convex Reinhardt domains, the simplest example of which is a polydisk. However, they also come with some fundamental restrictions. Unlike functions of a single complex variable, the possible domains on which there are holomorphic functions that cannot be extended to larger domains are highly limited. Such a set is called a domain of holomorphy.
A complex differential -form is holomorphic if and only if its antiholomorphic Dolbeault derivative is zero: .