Worldlex Wiki La fonction exponentielle est parfois appelée fonction exponentielle naturelle , comme le logarithme népérien , afin de la distinguer d'autres fonctions également appelées exponentielles . Parmi ces dernières figurent les fonctions de la forme qui correspondent à exponentiation
à base fixe Plus généralement, et notamment dans les applications, les fonctions de la forme générale également appelées fonctions exponentielles. Elles croissent ou décroissent de façon exponentielle est proportionnel à la valeurLa fonction exponentielle peut être généralisée pour accepter des nombres complexes comme arguments. Ceci révèle des relations entre la multiplication des nombres complexes, les rotations dans le plan complexe et la trigonométrie . La formule d'Euler résume ces relations.
La fonction exponentielle peut être encore plus généralisée pour accepter d'autres types d'arguments, tels que des matrices et des éléments d' algèbres de Lie .
courbe de la fonction est croissante et sa pente est supérieure à celle de chaque puissance de asymptote horizontale . L'équation signifie que la pente de la tangente à la courbe en chaque point est égale à sa hauteur (sonSérie Puissance
La fonction exponentielle est la somme de la série de puissances
Équation fonctionnelle
L'exponentielle satisfait l' équation fonctionnelle et transforme l' élément neutre additif élément neutre multiplicatif
Propriétés
Réciproque : L'équation fonctionnelle implique . Par conséquent pour tout et
0"}},"i":0}}] Positivité0" 
Extension de l'exponentiation aux bases réelles positives : Soit nombre d'Euler,
Fonctions exponentielles générales
Une fonction est communément appelée fonction exponentielle , c'est-à-dire si elle est obtenue par exponentiation en fixant la base et en laissant varier l' exposant .
Plus généralement, et notamment dans les contextes appliqués, le terme fonction exponentielle est couramment utilisé pour les fonctions de la forme . Ceci peut se justifier par le fait que, si les valeurs de la fonction représentent des quantités , un changement d' unité de mesure modifie la valeur de qu'il est donc absurde d'
Ces fonctions exponentielles les plus générales sont les fonctions différentiables qui satisfont aux caractérisations équivalentes suivantes.
- pour chaque et certaines constantes et0"}},"i":0}}] 0"
0 .
- pour chaque et certaines constantes et .
- La valeur de est indépendante de .
- Pour chaque valeur de est indépendante de c'est-à-dire, pour chaque
Intérêts composés
La première occurrence de la fonction exponentielle remonte à l'étude des intérêts composés de Jacob Bernoulli en 1683. C'est cette étude qui a conduit Bernoulli à considérer le nombre maintenant connu sous le nom de nombre d'Euler et noté
La fonction exponentielle intervient comme suit dans le calcul des intérêts composés en continu .
Si un capital de 1 rapporte des intérêts à un taux annuel de limitede la fonction exponentielle, donnée pour la première fois parLeonhard Euler.
Équations différentielles
Les fonctions exponentielles peuvent être définies comme solutions d' équations différentielles . En effet, la fonction exponentielle est une solution de l'équation différentielle la plus simple possible, à savoir autre fonction exponentielle, de la forme toute solution de cette équation différentielle a cette forme primitive de son argument.
Plus généralement, les solutions de toute équation différentielle linéaire à coefficients constants peuvent être exprimées sous forme de fonctions exponentielles et, lorsqu'elles ne sont pas homogènes, de primitives. Ceci est également valable pour les systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants.
exponentielle complexe
La fonction exponentielle peut être naturellement étendue à une fonction complexe , c'est-à-dire une fonction dont le domaine et le codomaine sont les nombres complexes , telle sa restriction aux nombres réels soit la fonction exponentielle définie précédemment, appelée fonction exponentielle réelle dans la suite. Cette fonction est également appelée fonction exponentielle , et notée La plupart des définitions de la fonction exponentielle peuvent être utilisées telles quelles pour définir la fonction exponentielle complexe, et la preuve de leur équivalence est la même que dans le cas réel. La fonction exponentielle complexe peut être définie de plusieurs manières équivalentes, identiques à celles utilisées dans le cas réel. L' exponentielle complexe est l'unique fonction complexe qui est égale à sa dérivée complexe et qui prend la valeur pour l'argument : La fonction exponentielle complexe est la somme de la série. Cette série est absolument convergente pour tout nombre complexe fonction entière . La fonction exponentielle complexe est la limite Comme pour la fonction exponentielle réelle (voir holomorphe au point Le logarithme complexe est l' inverse à droite de l'exponentielle complexe : cependant, comme le logarithme complexe est une fonction multivoque , on a et il est difficile de définir l'exponentielle complexe à partir du logarithme complexe. En revanche, c'est le logarithme complexe qui est souvent défini à partir de l'exponentielle complexe. L'exponentielle complexe possède les propriétés suivantes : et C'est une fonction périodique de période l'identité d'Euler Le conjugué complexe de l'exponentielle complexe est Son module est où Les fonctions exponentielles complexes et les fonctions trigonométriques sont fortement liées par la formule d'Euler : Cette formule permet de décomposer les exponentielles complexes en parties réelles et imaginaires : Les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en termes d'exponentielles complexes : Dans ces formules, sont généralement interprétées comme des variables réelles, mais les formules restent valides si les variables sont interprétées comme des variables complexes. Ces formules peuvent être utilisées pour définir des fonctions trigonométriques d'une variable complexe. Lien avec la trigonométrie
Intrigues
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