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En mathématiques , un intervalle est l' ensemble de tous les nombres réels compris entre deux bornes fixes, sans interruption. Par exemple, l'ensemble des nombres réels constitué de intervalle unité . Un intervalle peut ne contenir aucune de ses bornes (on parle alors d'intervalle ouvert), ses deux bornes (on parle alors d'intervalle fermé), ou au moins une de ses bornes (on parle alors d'intervalle semi-ouvert ou semi-fermé).
Les intervalles que nous venons de décrire sont des intervalles bornés . Souvent, les intervalles peuvent également s'étendre indéfiniment dans une ou les deux directions, le côté non borné étant alors noté par le symbole de l'infini positif ou négatif . L'ensemble de tous les nombres réels positifs est un intervalle en ce sens, noté analyse mathématique . Par exemple, ils apparaissent implicitement dans la définition epsilon-delta de la continuité ; le théorème des valeurs intermédiaires affirme que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle ; les intégrales de fonctions réelles sont définies sur un intervalle ; etc. Par exemple, l’arithmétique d’intervalles consiste à effectuer des calculs avec des intervalles plutôt qu’avec des nombres réels afin de garantir l’enclavement du résultat d’un calcul numérique, même en présence d’incertitudes sur les données d’entrée et d’erreurs d’arrondi .
Les intervalles peuvent être définis de manière plus générale sur tout ensemble totalement ordonné , comme l'ensemble des entiers ou des nombres rationnels . La notation des intervalles d'entiers est abordée dans la section spéciale ci-dessous .
sous-ensemble de l'ensemble des nombres réels qui contient tous les nombres réels compris entre deux nombres quelconques de ce sous-ensemble. Par exemple, les nombres de un à deux, et les nombres supérieurs à 10. Selon cette définition, l' ensemble vide et l'ensemble des nombres réels sont tous deux des intervalles.
10 intervalles ouverts et fermés
Un
où et sont des nombres réels tels que . Dans le dernier cas, l'intervalle résultant est l' ensemble vide et ne dépend pas de des ouverts pour la topologie usuelle des nombres réels, et ils forment une base des ouverts.
UN
où . L'intervalle constitué d'un seul point est parfois appelé intervalle fermé dégénéré .
Outre les intervalles fermés usuels en analyse, il existe des intervalles non bornés incluant leur extrémité finie, tels que ℝⁿ ou ℝⁿ , qui sont topologiquement fermés (c'est-à-dire qu'ils contiennent tous leurs points frontières qui sont des nombres réels). Cependant, on ne les appelle généralement pas « intervalles fermés » en analyse, ce terme étant réservé au cas fermé et borné. Les intervalles fermés (bornés), ainsi que les intervalles fermés semi-infinis et l'intervalle ℝⁿ, constituent l'ensemble des intervalles qui sont des ensembles fermés pour la topologie usuelle sur les nombres réels.
Intervalles semi-ouverts
UN
En résumé, un ensemble de nombres réels est un intervalle si et seulement s'il est ouvert, fermé ou semi-ouvert. Les seuls intervalles qui apparaissent deux fois dans la classification ci-dessus sont la fois ouverts et fermés.
Intervalles dégénérés
UNensemble constitué d'un seul nombre réel(c'est-à-dire un intervalle de la formedes ensembles bornés , au sens où leur diamètre (qui est égal à la différence absolue entre leurs extrémités) est fini. Ce diamètre peut être appelé longueur , largeur , mesure , étendue ou taille de l'intervalle. La taille des intervalles non bornés est généralement définie comme milieu ) d'un intervalle borné avec des extrémités minimum (élément inférieur à tous les autres éléments) ; ouvert à droite s'il ne contient aucun maximum ; et ouvert s'il ne contient ni l'un ni l'autre. L'intervalle -ensemble de sous-ensemble propre de virgule décimale , un point-virgule peut être utilisé comme séparateur pour éviter toute ambiguïté.
Inclure ou exclure des points de terminaison
Pour indiquer qu'une des extrémités doit être exclue de l'ensemble, le crochet correspondant peut être remplacé par une parenthèse, ou inversé. Ces deux notations sont décrites dans la norme internationale ISO 31-11 . Ainsi, en notation ensembliste ,
Chaque intervalle ensemble vide , tandis que couple ordonné en théorie des ensembles, les coordonnées d'un point ou d'un vecteur en géométrie analytique et en algèbre linéaire , ou encore (parfois) un nombre complexe en algèbre . C'est pourquoi Bourbaki a introduit la notation informatique .
Certains auteurs comme Yves Tillé utilisent nombres réels étendus , l'ensemble de tous les nombres réels augmentés de infinie pour indiquer l'absence de limite dans cette direction. Par exemple, nombres réels positifs , également noté . Le contexte influence certaines définitions et la terminologie employées ci-dessus. Par exemple, l'intervalle
Intervalles entiers
Lorsque des entiers , les notations ⟦ a, b ⟧, langages de programmation ; en Pascal , par exemple, elle sert à définir formellement un type sous-intervalle, le plus souvent utilisé pour spécifier les bornes inférieure et supérieure des indices valides d'un tableau .
Une autre façon d'interpréter les intervalles d'entiers consiste à les considérer comme des ensembles définis par énumération , en utilisant la notation à points de suspension .
Un intervalle d'entiers possédant une borne inférieure ou supérieure finie inclut toujours cette borne. Par conséquent, l'exclusion des bornes peut être explicitement notée en écrivant connexes de . Il s'ensuit que l'image d'un intervalle par toute fonction continue de à est également un intervalle. C'est une formulation du théorème des valeurs intermédiaires .
Les intervalles sont également les sous-ensembles convexes de . L'enveloppe convexe d'un sous-ensemble par un intervalle est également l' enveloppe convexe de .
L' adhérence d'un intervalle est l'union de l'intervalle et de l'ensemble de ses extrémités finies, et est donc également un intervalle. (Ce dernier point découle également du fait que l'adhérence de tout sous-ensemble connexe d'un espace topologique est un sous-ensemble connexe.) Autrement dit, nous avons
L'intersection de deux intervalles quelconques est toujours un intervalle. L'union de deux intervalles est un intervalle si et seulement si leur intersection est non vide, ou si une extrémité ouverte de l'un est une extrémité fermée de l'autre.
Si l'on considère comme un espace métrique , ses boules ouvertes sont les intervalles ouverts bornés boules fermées sont les intervalles fermés bornés métrique et d'ordre de la droite réelle coïncident, ce qui correspond à la topologie usuelle de la droite réelle.
Tout élément principe de trichotomie .
Applications
intervalles dyadiques
Un intervalle dyadique est un intervalle réel borné dont les extrémités sont et , où et sont des entiers. Selon le contexte, l'une ou l'autre des extrémités peut être incluse ou non dans l'intervalle.
Les intervalles dyadiques possèdent les propriétés suivantes :
- La longueur d'un intervalle dyadique est toujours une puissance entière de deux .
- Chaque intervalle dyadique est contenu dans exactement un autre intervalle dyadique de longueur double.
- Chaque intervalle dyadique est couvert par deux intervalles dyadiques de longueur moitié.
- Si deux intervalles dyadiques ouverts se chevauchent, alors l'un d'eux est un sous-ensemble de l'autre.
Les intervalles dyadiques ont par conséquent une structure qui reflète celle d’un arbre binaire infini .
Les intervalles dyadiques sont pertinents dans plusieurs domaines de l'analyse numérique , notamment le raffinement adaptatif de maillage , les méthodes multigrilles et l'analyse par ondelettes . Une autre façon de représenter une telle structure est l'analyse p-adique (pour analyse mathématique , où ils servent à exprimer des idées et apparaissent souvent dans des résultats clés.
L' intégrale d'une fonction réelle est définie sur un intervalle. Les extrémités de cet intervalle sont généralement indiquées en indice et en exposant, de sorte que l'intégrale s'applique à tous les éléments appartenant à l'intervalle .
Les intervalles apparaissent implicitement dans la définition epsilon-delta de la continuité d'une fonction : l'explication suivante les explicite. La fonction est dite continue en un point si, pour toute valeur donnée de ε (ε > 0), il existe une valeur de δ (delta > 0) telle que ε(x) ≥ 0 appartient à l'intervalle ouvert ε( x) lorsque x est choisi dans l'intervalle [0, ε] . Les valeurs possibles de ε et δ appartiennent elles-mêmes à l'intervalle non borné ε (x), mais sont généralement considérées comme décrivant de petits incréments positifs. L'idée est qu'il existe un petit intervalle symétrique autour du point x tel que la valeur de ε reste dans un intervalle ouvert de rayon r centré sur x .
0 
0 Le théorème des valeurs intermédiaires traduit l'intuition selon laquelle si f est une fonction continue à valeurs réelles sur un intervalle et ε une valeur quelconque entre 0 et δ , alors on s'attend à trouver une valeur entre ε et δ telle que f(x) = ε. Par exemple, si f est définie sur l'intervalle [0, 1] , alors pour tout x compris entre 0 et δ , il existe une valeur entre ε et δ telle que f(x) = δ. Une formulation équivalente du théorème affirme que l' image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle [0, 1].
Intervalles de confiance
Les intervalles de confiance sont importants en inférence statistique et fournissent une plage de valeurs estimées pour un paramètre statistique inconnu , comme la moyenne d'une population . Contrairement à d'autres types d'intervalles, un intervalle de confiance est calculé à partir d'un échantillon aléatoire et ses bornes sont des variables aléatoires réelles . Un échantillon différent pourrait donner un résultat différent.
Lorsqu'un échantillonnage est répété, il existe une probabilité prédéfinie, appelée niveau de confiance , qu'un intervalle donné contienne la valeur réelle du paramètre inconnu. Par exemple, si le niveau de confiance choisi est de 0,95 et que la même procédure d'échantillonnage est répétée de nombreuses fois, on s'attend à ce qu'à long terme, environ 95 % des intervalles obtenus contiennent la valeur réelle.
La distribution normale en fournit une illustration simplifiée. Sa fonction de densité de probabilité a pour graphique la courbe en cloche bien connue. Le pic correspond à sa moyenne (la lettre grecque mu) et sa largeur est décrite par son écart type (sigma). Ces deux paramètres distinguent une courbe en cloche d'une autre, mais dans tous les cas, la région située à deux écarts types de part et d'autre de la moyenne représente une probabilité d'environ 0,95.
pour une variable aléatoire normalement distribuée .
Soit la moyenne de l'échantillon pour une taille d'échantillon fixe, qui est un estimateur de . Elle suit également une loi normale d'écart-type . Les inégalités précédentes peuvent alors s'écrire en fonction de pour donner
Si la valeur de l'écart type est connue, alors l'intervalle sera un intervalle de confiance pour avec un niveau de confiance d'environ 0,95. Ses bornes sont les variables aléatoires et , dont les valeurs réelles dépendront de l'échantillon prélevé.
En topologie générale
Tout espace de Tychonoff est plongeable dans un espace produit d'intervalles unitaires fermés. Plus précisément, tout espace de Tychonoff muni d'une base de cardinalité est plongeable dans le produit de copies des intervalles.
Les concepts d'ensembles convexes et de composantes convexes sont utilisés dans une preuve que tout ensemble totalement ordonné muni de la topologie d'ordre est complètement normal ou de plus, monotone normal .
Généralisations
Balles
Un intervalle fini ouvert est une boule ouverte unidimensionnelle de centre et de rayon . L'intervalle fini fermé correspondant est la boule fermée, et ses deux extrémités forment une sphère de dimension 0. Généralisée à l'espace euclidien à , une boule est l'ensemble des points dont la distance au centre est inférieure au rayon. Dans le cas bidimensionnel, une boule est appelée un disque .
Si un demi-espace est considéré comme une sorte de boule dégénérée (sans centre ni rayon bien définis), un demi-espace peut être considéré comme analogue à un intervalle semi-borné, avec son plan frontière comme la sphère (dégénérée) correspondant à l'extrémité finie.
Intervalles multidimensionnels
Un intervalle fini est l'intérieur d'un hyperrectangle unidimensionnel . Généralisé à l'espace des coordonnées réelles, un hyperrectangle (ou boîte) aligné sur les axes est le produit cartésien d' intervalles finis. Pour , il s'agit d'un rectangle ; pour , il s'agit d'un parallélépipède rectangle (aussi appelé « boîte »).
En autorisant un mélange d'extrémités ouvertes, fermées et infinies, le produit cartésien de n'importe quels intervalles est parfois appelé un intervalle à n dimensions .
Domaines
Un intervalle ouvert est un ensemble ouvert connexe de nombres réels. Généralisé aux espaces topologiques en général, un ensemble ouvert connexe non vide est appelé un domaine .
intervalles complexes
Les intervalles de nombres complexes peuvent être définis comme des régions du plan complexe , rectangulaires ou circulaires .
Intervalles dans les ensembles partiellement ordonnés et les ensembles préordonnés
Ensembles convexes et composantes convexes en théorie de l'ordre
Propriétés
On obtient ensuite une généralisation des caractérisations des intervalles réels. Pour un sous-ensemble non vide d'un continuum linéaire, les conditions suivantes sont équivalentes.
- L'ensemble est un intervalle.
- L'ensemble est convexe par ordre.
- L'ensemble est un sous-ensemble connexe lorsqu'il est muni de la topologie d'ordre .
Pour un sous-ensemble d'un réseau, les conditions suivantes sont équivalentes.
- L'ensemble est un sous-treillis et un ensemble (ordre-)convexe.
- Il existe un idéal et un filtre tels que