Antidérivé

En calcul différentiel et intégral , une primitive, une fonction primitive ou une intégrale indéfinie d'une fonction f est une fonction dérivable F dont la dérivée est égale à la fonction f . On peut l'écrire symboliquement F' = f . Le processus de recherche des primitives est appelé antidifférentiation (ou intégration indéfinie ), et son opération inverse est appelée dérivation , qui consiste à calculer la dérivée. Les primitives sont souvent notées par des lettres romaines majuscules telles que F et G.

Les primitives sont liées aux intégrales définies par le deuxième théorème fondamental du calcul : l'intégrale définie d'une fonction sur un intervalle fermé où la fonction est intégrable au sens de Riemann est égale à la différence entre les valeurs d'une primitive évaluée aux extrémités de l'intervalle.

En physique , les primitives apparaissent dans le contexte du mouvement rectiligne (par exemple, pour expliquer la relation entre la position , la vitesse et l'accélération ). L' équivalent discret de la notion de primitive est l'antidifférence .

La fonction est une primitive de , puisque la dérivée de est . La dérivée d'une constante étant nulle , admet une infinité de primitives, telles que , etc. Ainsi, toutes les primitives de peuvent être obtenues en faisant varier la valeur de C dans , où C est une constante arbitraire appelée constante d'intégration . Les graphiques des primitives d'une fonction donnée sont des translations verticales les unes des autres, la position verticale de chaque graphique dépendant de la valeur de C.

Plus généralement, la fonction puissance a une primitive si n ≠ −1 , et si n = −1 .

En physique , l'intégration de l'accélération donne la vitesse plus une constante. Cette constante correspond au terme de vitesse initiale qui disparaîtrait lors de la dérivation de la vitesse, car la dérivée d'une constante est nulle. Ce même principe s'applique aux intégrations et aux dérivées suivantes du mouvement (position, vitesse, accélération, etc.). L'intégration permet ainsi d'établir les relations entre l'accélération, la vitesse et le déplacement .

Les primitives peuvent être utilisées pour calculer des intégrales définies , en utilisant le théorème fondamental du calcul : si F est une primitive de la fonction continue f sur l'intervalle , alors :

De ce fait, chacune des primitives infinies d'une fonction donnée f peut être appelée « intégrale indéfinie » de f et écrite à l'aide du symbole intégral sans bornes :

Si F est une primitive de f et que la fonction f est définie sur un certain intervalle, alors toute autre primitive G de f diffère de F par une constante : il existe un nombre c tel que pour tout x , c ≥ 0. c est appelée la constante d'intégration . Si le domaine de F est une union disjointe de deux ou plusieurs intervalles (ouverts), alors une constante d'intégration différente peut être choisie pour chacun des intervalles. Par exemple,

est l'antidérivée la plus générale de sur son domaine naturel

Toute fonction continue f admet une primitive, et une primitive F est donnée par l'intégrale définie de f à borne supérieure variable : pour tout a appartenant au domaine de f . Faire varier la borne inférieure permet d'obtenir d'autres primitives, mais pas nécessairement toutes les primitives possibles. Il s'agit d'une autre formulation du théorème fondamental du calcul intégral .

Il existe de nombreuses fonctions élémentaires dont les primitives, bien qu'existantes, ne peuvent être exprimées à l'aide de fonctions élémentaires. Les fonctions élémentaires comprennent les polynômes , les fonctions exponentielles , les logarithmes , les fonctions trigonométriques , les fonctions trigonométriques inverses et leurs combinaisons par composition et combinaison linéaire . Voici quelques exemples d' intégrales non élémentaires :

Pour une discussion plus détaillée, voir aussi la théorie de Galois différentielle .

Trouver une primitive de fonctions élémentaires est souvent beaucoup plus difficile que de trouver leur dérivée (en effet, il n'existe pas de méthode prédéfinie pour calculer les intégrales indéfinies). Pour certaines fonctions élémentaires, il est impossible de trouver une primitive en fonction d'autres fonctions élémentaires. Pour en savoir plus, voir les sections Fonctions élémentaires et Intégrale non élémentaire .

Il existe de nombreuses propriétés et techniques permettant de trouver des primitives. Parmi celles-ci, on peut citer :

• La linéarité de l'intégration (qui décompose les intégrales complexes en intégrales plus simples)
• L'intégration par substitution , souvent combinée avec des identités trigonométriques ou le logarithme népérien
• La méthode de la règle de la chaîne inverse (un cas particulier d'intégration par substitution)
• Intégration par parties (pour intégrer les produits de fonctions)
• Intégration de fonction inverse (une formule qui exprime la primitive de l'inverse f ⁻¹ d'une fonction inversible et continue f , en termes de f ⁻¹ et de la primitive de f ).
• La méthode des fractions partielles en intégration (qui permet d'intégrer toutes les fonctions rationnelles — fractions de deux polynômes)
• L' algorithme de Risch
• Techniques supplémentaires pour les intégrations multiples (voir par exemple les intégrales doubles , les coordonnées polaires , le jacobien et le théorème de Stokes ).
• Intégration numérique (une technique d'approximation d'une intégrale définie lorsqu'il n'existe pas de primitive élémentaire, comme dans le cas de exp(− x ² ) )
• Manipulation algébrique de l'intégrande (afin que d'autres techniques d'intégration, telles que l'intégration par substitution, puissent être utilisées)
• Formule de Cauchy pour l'intégration répétée (pour calculer la primitive n -ième d'une fonction)

Les systèmes de calcul formel permettent d'automatiser tout ou partie des opérations liées aux techniques symboliques décrites précédemment, ce qui s'avère particulièrement utile lorsque les manipulations algébriques sont très complexes ou longues. Les intégrales déjà calculées peuvent être consultées dans une table d'intégrales .

Les fonctions non continues peuvent admettre des primitives. Bien que des questions restent en suspens dans ce domaine, on sait que :

• Certaines fonctions hautement pathologiques présentant de grandes discontinuités peuvent néanmoins avoir des antidérivées.
• Dans certains cas, les primitives de telles fonctions pathologiques peuvent être trouvées par intégration de Riemann , tandis que dans d'autres cas, ces fonctions ne sont pas intégrables par intégration de Riemann.

En supposant que les domaines des fonctions soient des intervalles ouverts :

• Une condition nécessaire, mais non suffisante, pour qu'une fonction f admette une primitive est que f possède la propriété des valeurs intermédiaires . Autrement dit, si [ a , b ] est un sous-intervalle du domaine de f et si y est un nombre réel quelconque compris entre f ( a ) et f ( b ) , alors il existe un entier c entre a et b tel que f ( c ) = y . Ceci découle du théorème de Darboux .
• L'ensemble des discontinuités de f est nécessairement un ensemble maigre . Cet ensemble est également nécessairement un ensemble F-sigma (puisque l'ensemble des discontinuités de toute fonction est nécessairement de ce type). De plus, pour tout ensemble F-sigma maigre, on peut construire une fonction f admettant une primitive dont l'ensemble des discontinuités est l'ensemble donné.
• Si une fonction f admet une primitive, est bornée sur des sous-intervalles finis fermés de son domaine et présente un ensemble de discontinuités de mesure de Lebesgue nulle, alors une primitive peut être trouvée par intégration au sens de Lebesgue. En fait, en utilisant des intégrales plus puissantes comme l' intégrale de Henstock-Kurzweil , toute fonction admettant une primitive est intégrable, et son intégrale générale coïncide avec sa primitive.
• Si f admet une primitive F sur un intervalle fermé , alors, pour toute partition choisie, si l'on sélectionne les points d'échantillonnage conformément au théorème des accroissements finis , la somme de Riemann correspondante se réduit à la valeur . Cependant, si f est non bornée, ou si f est bornée mais que l'ensemble de ses discontinuités est de mesure de Lebesgue positive, un choix différent de points d'échantillonnage peut conduire à une valeur significativement différente pour la somme de Riemann, quelle que soit la finesse de la partition. Voir l'exemple 4 ci-dessous.

• Si , alors .
• $0,\backslash \; a\; eq\; 1\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C;a>0,a\ne 1$0,\ a eq 1