Normale (géométrie)

Pour un polygone convexe (tel qu'un triangle ), une normale à la surface peut être calculée comme le produit vectoriel de deux arêtes (non parallèles) du polygone.

Pour un plan donné par l' équation générale du plan, le vecteur est une normale.

Pour un plan dont l'équation est donnée sous forme paramétrique, où est un point du plan et sont des vecteurs non parallèles dirigés selon le plan, la normale au plan est un vecteur normal à la fois à et , qui peut être obtenu comme produit vectoriel

Si une surface (éventuellement non plane) dans l'espace 3D est paramétrée par un système de coordonnées curvilignes avec des variables réelles , alors une normale à S est par définition une normale à un plan tangent, donnée par le produit vectoriel des dérivées partielles.

Si une surface est définie implicitement comme l'ensemble des points satisfaisant une certaine condition , alors la normale en un point de la surface est donnée par le gradient , puisque le gradient en tout point est perpendiculaire à l'ensemble de niveau.

Pour une surface définie comme le graphe d'une fonction, une normale orientée vers le haut peut être trouvée soit à partir de la paramétrisation donnant , soit plus simplement à partir de sa forme implicite donnant . Puisqu'une surface n'a pas de plan tangent en un point singulier , elle n'a pas de normale bien définie en ce point : par exemple, au sommet d'un cône . En général, il est possible de définir une normale presque partout pour une surface lipschitzienne .

Orientation

La normale à une (hyper)surface est généralement normalisée à une longueur unitaire , mais elle n'a pas de direction unique, puisque son opposée est également une normale unitaire. Pour une surface qui constitue la frontière topologique d'un ensemble en trois dimensions, on distingue deux orientations de la normale : la normale dirigée vers l'intérieur et la normale dirigée vers l'extérieur . Pour une surface orientée , la normale est généralement déterminée par la règle de la main droite ou son analogue en dimensions supérieures.

Si la normale est construite comme le produit vectoriel de vecteurs tangents (comme décrit dans le texte ci-dessus), c'est un pseudovecteur .

Pour un hyperplan à n dimensions dans un espace à n dimensions défini par sa représentation paramétrique, où x est un point de l'hyperplan et où u sont des vecteurs linéairement indépendants dirigés vers l'hyperplan, une normale à l'hyperplan est tout vecteur du noyau de la matrice, c'est - à - dire ∑_{i=1}

La définition de la normale à une surface dans l'espace tridimensionnel peut être étendue aux hypersurfaces de dimension n dans localement de manière implicite comme l'ensemble des points satisfaisant une équation fonction scalaire donnée . Si f( continûment différentiable , alors l'hypersurface est une variété différentiable au voisinage des points où le gradient est non nul. En ces points, le vecteur normal est donné par le gradient.

La droite normale est le sous-espace unidimensionnel muni de la base

A vector that is normal to the space spanned by the linearly independent vectors differential variety defined by implicit equations in the -dimensional space is the set of the common zeros of a finite set of differentiable functions in variables The Jacobian matrix of the variety is the matrix whose -th row is the gradient of By the implicit function theorem, the variety is a manifold in the neighborhood of a point where the Jacobian matrix has rank At such a point the normal vector space is the vector space generated by the values at of the gradient vectors of the

In other words, a variety is defined as the intersection of hypersurfaces, and the normal vector space at a point is the vector space generated by the normal vectors of the hypersurfaces at the point.

The normal (affine) space at a point of the variety is the affine subspace passing through and generated by the normal vector space at

These definitions may be extended

En un point où les lignes de la matrice jacobienne sont et , l'espace affine normal est le plan d'équation . De même, si le plan normal en , est le plan d'équation .

Au point où les lignes de la matrice jacobienne sont et Ainsi, l'espace vectoriel normal et l'espace affine normal ont une dimension de 1 et l'espace affine normal est l' axe -.

• Les normales de surface sont utiles pour définir les intégrales de surface des champs vectoriels .
• Les normales de surface sont couramment utilisées en infographie 3D pour les calculs d'éclairage (voir la loi du cosinus de Lambert ), souvent ajustées par mappage normal .
• Les calques de rendu contenant des informations sur les normales de surface peuvent être utilisés en composition numérique pour modifier l'éclairage apparent des éléments rendus.vision par ordinateur , les formes des objets 3D sont estimées à partir des normales de surface en utilisant la stéréophotométrie .
• Le vecteur normal peut être obtenu comme le gradient de la fonction de distance signée .