Problème de Bâle

La fonction zêta de Riemann nombres premiers . La fonction zêta est définie pour tout nombre complexe

La convergence peut être prouvée par le critère de l'intégrale , ou par l'inégalité suivante :

Ceci nous donne la borne supérieure 2, et comme la somme infinie ne contient aucun terme négatif, elle converge nécessairement vers une valeur strictement comprise entre 0 et 2. On peut montrer que nombres de Bernoulli lorsque

La fonction sinc normalisée admet une représentation par factorisation de Weierstrass sous la forme d'un produit infini :

Le produit infini est analytique , donc en prenant le logarithme népérien des deux côtés et en dérivant, on obtient :

(Par convergence uniforme , l'interversion de la dérivée et de la série infinie est permise). Après avoir divisé l'équation par et regroupé, on obtient

Nous effectuons un changement de variables ( ):

La formule d'Euler peut être utilisée pour déduire que ou en utilisant la fonction hyperbolique correspondante :

Alors

On calcule maintenant la limite lorsque tend vers zéro et on applique la règle de L'Hôpital trois fois. D'après le théorème de Tannery appliqué à , on peut intervertir la limite et la série infinie de sorte que et d'après la règle de L'Hôpital

Utilisez l'identité de Parseval (appliquée à la fonction

pour

et

Par conséquent, comme requis.

Étant donné une base orthonormée complète dans l'espace des fonctions périodiques L2 sur (c'est-à-dire le sous-espace des fonctions de carré intégrable qui sont également périodiques ), notée , l'identité de Parseval nous dit que

où est défini en termes du produit scalaire sur cet espace de Hilbert donné par

On peut considérer la base orthonormée de cet espace définie par telle que . Alors, si l'on prend , on peut calculer à la fois que

par le calcul élémentaire et l'intégration par parties , respectivement. Enfin, grâce à l'identité de Parseval énoncée sous la forme ci-dessus, on obtient que

Il est possible de prouver le résultat en utilisant le calcul élémentaire en appliquant la technique de la différentiation sous le signe intégral à une intégrale due à Freitas :

Bien que la fonction primitive de l'intégrande ne puisse être exprimée en termes de fonctions élémentaires, en dérivant par rapport à , on obtient

qui peut être intégrée par substitution et en complétant le carré. Dans l'intervalle, l'intégrale définie se réduit à

L'expression peut être simplifiée à l'aide de la formule d'addition de l'arctangente et intégrée par rapport à au moyen d' une substitution trigonométrique , ce qui donne :

La constante d'intégration peut être déterminée en remarquant que deux valeurs distinctes de sont liées par

car, lors du calcul, on peut factoriser et exprimer en fonction de l' identité logarithmique d'une puissance et de la substitution . Ceci permet de déterminer et il s'ensuit que

Cette intégrale finale peut être évaluée en développant le logarithme naturel en série de Taylor :

Les deux dernières identités impliquent

Alors que la plupart des démonstrations utilisent des résultats de mathématiques avancées , comme l'analyse de Fourier , l'analyse complexe et le calcul multivariable , la démonstration suivante ne nécessite même pas de calcul à une seule variable (jusqu'à ce qu'une seule limite soit prise à la fin).

Pour une démonstration utilisant le théorème des résidus, voir ici .

La preuve

L'idée principale de la démonstration est de borner les sommes partielles (finies) entre deux expressions, chacune tendant à ⁠ cotangente et cosécante . Ces identités sont elles-mêmes issues de la formule de de Moivre ; nous allons maintenant les établir.

Soit

D'après le théorème du binôme , nous avons

La combinaison des deux équations et l'égalité des parties imaginaires donnent l'identité

Nous prenons cette identité, fixons un entier positif

pour chaque injectivesur cet intervalle, les nombres

D'après les formules de Viète, on peut calculer directement la somme des racines en examinant les deux premiers coefficients du polynôme, et cette comparaison montre que

identité

Considérons maintenant l'inégalité

Multiplier par

Lorsque théorème des gendarmes ,

Et ceci achève la preuve.

Une démonstration est également possible en supposant la conjecture de Weil sur les nombres de Tamagawa . Cette conjecture affirme, dans le cas du groupe algébrique SL₂ ( ℝ ), que le nombre de Tamagawa du groupe est égal à un. Autrement dit, le quotient du groupe linéaire spécial sur les adéles rationnels par le groupe linéaire spécial des rationnels (un ensemble compact , car SL₂ ₍ ℝ) est un treillis des adéles) a pour mesure de Tamagawa 1.

Pour déterminer une mesure de Tamagawa, le groupe est constitué de matrices avec . Une forme volume invariante sur le groupe est

La mesure du quotient est le produit des mesures de correspondant à la place infinie, et des mesures de dans chaque place finie, où est les entiers p-adiques .

Pour les facteurs locaux, où est le corps à éléments, et est le sous-groupe de congruence modulo . Puisque chaque coordonnée applique ce dernier groupe sur et , la mesure de est , où est la mesure de Haar normalisée sur . De plus, un calcul standard montre que . En combinant ces résultats, on obtient .

À l'infini, un calcul intégral sur le domaine fondamental de montre que , et par conséquent la conjecture de Weil donne finalement . Du côté droit, nous reconnaissons le produit d'Euler pour , et cela donne donc la solution au problème de Bâle.

Cette approche montre le lien entre la géométrie (hyperbolique) et l'arithmétique, et peut être inversée pour donner une preuve de la conjecture de Weil pour le cas particulier de , sous réserve d'une preuve indépendante que .

Le problème de Bâle peut être démontré à l'aide de la géométrie euclidienne , en exploitant l'idée que la droite réelle peut être vue comme un cercle de rayon infini . Une esquisse intuitive, quoique non rigoureuse, est présentée ici.

• Choisissons un entier et considérons des points équidistants sur un cercle de circonférence égale à . Le rayon du cercle est et la longueur de chaque arc entre deux points est . Appelons ces points .
• Prenons un autre point générique sur le cercle, qui se trouvera à une fraction de l'arc entre deux points consécutifs (disons et sans perte de généralité).
• Tracez toutes les cordes passant par chacun des points. Ensuite (et c'est la clé de la démonstration), calculez la somme des inverses des carrés des longueurs de toutes ces cordes et notez-la .
• La démonstration repose sur le fait remarquable que (pour un fixé ), le ne dépend pas de . Remarquons qu'intuitivement, lorsque augmente, le nombre de cordes augmente, mais leur longueur augmente également (le cercle devenant plus grand), donc leur inverse au carré diminue.
• Considérons en particulier le cas où , c'est-à-dire que est le milieu de l'arc entre deux consécutifs . On peut alors trouver trivialement le à partir du cas , où il n'y a qu'un seul , et un autre du côté opposé du cercle. La corde est alors le diamètre du cercle, de longueur . Le est alors .
• Lorsque θ tend vers l'infini, le cercle se rapproche de la droite réelle. Si l'on place l'origine en θ₀ , les points se trouvent aux positions des entiers impairs (positifs et négatifs), car les arcs ont une longueur de 1 de θ₀ à θ₀ , et de 2 au-delà. On obtient ainsi cette variante du problème de Bâle :

• À partir de là, on peut retrouver la formulation originale au moyen d'un peu d'algèbre, comme suit :

c'est,

ou

.

L'indépendance de par rapport à peut être facilement démontrée à l'aide de la géométrie euclidienne dans le cas plus restrictif où est une puissance de 2, c'est-à-dire , ce qui permet toujours d'appliquer l'argument de passage à la limite. La démonstration se fait par récurrence sur , et utilise le théorème de Pythagore inverse , qui énonce que :

où et sont les côtés et est la hauteur d'un triangle rectangle.

• Dans le cas de base , il n'y a qu'une seule corde. Dans le cas où elle correspond au diamètre, la valeur est celle indiquée précédemment.
• Supposons maintenant que vous ayez des points sur un cercle de rayon et de centre , et des points sur un cercle de rayon et de centre . L'étape d'induction consiste à montrer que ces 2 cercles ont la même valeur pour un donné .

• Commencez par tracer les cercles de sorte qu'ils partagent le point . Remarquez que se trouve sur le plus petit cercle. Ensuite, notez que est toujours pair, et un simple raisonnement géométrique montre que vous pouvez choisir des paires de points opposés et sur le plus grand cercle en reliant chaque paire par un diamètre. De plus, pour chaque paire, l'un des points sera dans la moitié inférieure du cercle (plus proche de ) et l'autre dans la moitié supérieure.

• Le diamètre du grand cercle coupe le petit cercle en un point et en un autre point . Vous pouvez alors faire les considérations suivantes :
  • est un angle droit, puisque est un diamètre.
  • est un angle droit, puisque est un diamètre.
  • est la moitié de pour le théorème de l'angle inscrit .
  • Par conséquent, l'arc est égal à l'arc , encore une fois parce que le rayon est la moitié.
  • La corde est la hauteur du triangle rectangle , d'où le théorème de Pythagore inverse :

• Ainsi, pour la moitié des points du grand cercle (ceux de la moitié inférieure), il existe un point correspondant sur le petit cercle, à la même distance d'arc de ce point (puisque la circonférence du petit cercle est la moitié de celle du grand cercle, les deux points les plus proches de ce point ont également une distance d'arc de 2). Réciproquement, pour chaque point du petit cercle, on peut construire une paire de points sur le grand cercle, tous ces points étant équidistants et à la même distance d'arc de ce point .
• De plus, le total du grand cercle est le même que celui du petit cercle, puisque chaque paire de points sur le grand cercle a la même somme inverse au carré que le point correspondant sur le petit cercle.

Voir les cas particuliers des identités de la fonction zêta de Riemann. D' autres identités et représentations particulièrement particulières de cette constante apparaissent dans les sections ci-dessous.