Fonction de fenêtre

En traitement du signal et en statistique , une fonction de fenêtrage (également appelée fonction d'apodisation ou fonction de pondération ) est une fonction mathématique qui s'annule en dehors d'un intervalle donné . Typiquement, les fonctions de fenêtrage sont symétriques par rapport au milieu de l'intervalle, atteignent un maximum au centre et s'atténuent en s'éloignant du centre. Mathématiquement, lorsqu'une autre fonction ou une séquence de données est « multipliée » par une fonction de fenêtrage, le produit s'annule également en dehors de l'intervalle : seule la zone de superposition, la « vue à travers la fenêtre », subsiste. De manière équivalente, et en pratique, le segment de données contenu dans la fenêtre est d'abord isolé, puis seules ces données sont multipliées par les valeurs de la fonction de fenêtrage. Ainsi, la pondération, et non la segmentation, est la fonction principale des fonctions de fenêtrage.

L'analyse de segments d'une fonction plus longue permet notamment de détecter les événements transitoires et de réaliser un moyennage temporel des spectres de fréquence. La durée de ces segments est déterminée pour chaque application par des exigences telles que la résolution temporelle et fréquentielle. Cependant, cette méthode modifie également le contenu fréquentiel du signal par un phénomène appelé fuite spectrale . Les fonctions de fenêtrage permettent de répartir cette fuite spectrale de différentes manières, selon les besoins de l'application. De nombreuses options sont détaillées dans cet article, mais nombre de ces différences sont si subtiles qu'elles sont négligeables en pratique.

Dans les applications typiques, les fonctions de fenêtre utilisées sont des courbes non négatives, lisses et en forme de cloche. Des fonctions rectangulaires, triangulaires et autres peuvent également être utilisées. Une définition plus générale des fonctions de fenêtre n'exige pas qu'elles soient identiquement nulles en dehors d'un intervalle, pourvu que le produit de la fenêtre par son argument soit de carré intégrable et, plus précisément, que la fonction tende suffisamment rapidement vers zéro.

Les fonctions de fenêtre sont utilisées dans l'analyse spectrale /modification/ resynthèse , la conception de filtres à réponse impulsionnelle finie , la fusion d'ensembles de données multi-échelles et multidimensionnels, ainsi que la formation de faisceaux et la conception d'antennes .

La transformée de Fourier de la fonction cos( ωt ) est nulle, sauf à la fréquence ± ω . Cependant, de nombreuses autres fonctions et formes d'onde ne possèdent pas de transformée analytique simple. On peut aussi s'intéresser à leur contenu spectral uniquement sur une période donnée.

Dans les deux cas, la transformée de Fourier (ou une transformée similaire) peut être appliquée à un ou plusieurs intervalles finis du signal. En général, la transformée est appliquée au produit du signal et d'une fonction de fenêtrage. Toute fenêtre (y compris rectangulaire) influence l'estimation spectrale calculée par cette méthode.

Les fenêtres sont parfois utilisées dans la conception de filtres numériques , notamment pour convertir une réponse impulsionnelle « idéale » de durée infinie, telle qu'une fonction sinc , en un filtre à réponse impulsionnelle finie (FIR) . C'est ce qu'on appelle la méthode de la fenêtre .

Les fonctions de fenêtrage sont parfois utilisées en analyse statistique pour restreindre l'ensemble des données analysées à un intervalle proche d'un point donné, avec un facteur de pondération qui atténue l'influence des points plus éloignés de la portion de courbe étudiée. En analyse bayésienne et en ajustement de courbes , on parle souvent de noyau .

Lors de l'analyse modale d'un signal transitoire , tel qu'une impulsion, une réponse à un choc, une salve sinusoïdale, une salve de type chirp ou une salve de bruit, où la distribution de l'énergie en fonction du temps est extrêmement irrégulière, une fenêtre rectangulaire peut s'avérer la plus appropriée. Par exemple, lorsque la majeure partie de l'énergie est concentrée au début de l'enregistrement, une fenêtre non rectangulaire atténue fortement cette énergie, dégradant ainsi le rapport signal/bruit .

On peut souhaiter mesurer le contenu harmonique d'une note de musique d'un instrument particulier ou la distorsion harmonique d'un amplificateur à une fréquence donnée. En se référant à nouveau à la figure 2 , on observe l'absence de fuite spectrale sur un ensemble discret de fréquences harmoniques échantillonnées par la transformée de Fourier discrète (TFD). (Les zéros spectraux correspondent en réalité à des passages par zéro, qui ne peuvent être représentés sur une échelle logarithmique comme celle-ci.) Cette propriété est spécifique à la fenêtre rectangulaire, et celle-ci doit être correctement configurée pour la fréquence du signal, comme décrit précédemment.

Lorsque la longueur d'un ensemble de données à transformer dépasse celle nécessaire pour obtenir la résolution fréquentielle souhaitée, il est courant de le subdiviser en sous-ensembles plus petits et de les traiter individuellement par fenêtrage. Pour atténuer la perte de signal aux extrémités de la fenêtre, les sous-ensembles peuvent se chevaucher temporellement. Voir la méthode de Welch d'analyse spectrale de puissance et la transformée en cosinus discrète modifiée .

Les fenêtres bidimensionnelles sont couramment utilisées en traitement d'images pour réduire les hautes fréquences indésirables dans la transformée de Fourier de l'image . Elles peuvent être construites à partir de fenêtres unidimensionnelles selon deux formes . La forme séparable est triviale à calculer. La forme radiale , qui fait intervenir le rayon , est isotrope et indépendante de l'orientation des axes de coordonnées. Seule la fonction gaussienne est à la fois séparable et isotrope . Les formes séparables de toutes les autres fonctions de fenêtre présentent des angles qui dépendent du choix des axes de coordonnées. L'isotropie/ anisotropie d'une fonction de fenêtre bidimensionnelle est partagée par sa transformée de Fourier bidimensionnelle. La différence entre les formes séparable et radiale est comparable au résultat de la diffraction par des ouvertures rectangulaires et circulaires, que l'on peut visualiser respectivement à l'aide du produit de deux fonctions sinus cardinal et d'une fonction d'Airy .

Conventions :

• La séquence est symétrique , de longueur
• symétrique DFT , de longueur

• Le paramètre B affiché sur chaque graphique spectral est la métrique de bande passante équivalente au bruit de la fonction , en unités de bins DFT .
  • Voir fuite spectrale §§ Signaux à temps discret et Quelques métriques de fenêtre et Fréquence normalisée pour comprendre l'utilisation des « classes » pour l'axe des x dans ces graphiques.

L'échantillonnage clairsemé d'une transformée de Fourier à temps discret (TFDT), comme les transformées de Fourier discrètes (TFD) de la figure 2, ne révèle que la propagation dans les intervalles de la TFD d'une sinusoïde dont la fréquence est également un intervalle entier de la TFD. Les lobes secondaires invisibles indiquent la propagation attendue des sinusoïdes à d'autres fréquences. Par conséquent, lors du choix d'une fonction de fenêtrage, il est généralement important d'échantillonner la TFDT plus densément (comme nous le faisons tout au long de cette section) et de choisir une fenêtre qui atténue les lobes secondaires à un niveau acceptable.

La fenêtre rectangulaire (parfois appelée fenêtre boxcar , uniforme ou de Dirichlet , ou encore, de manière trompeuse, « aucune fenêtre » dans certains programmes ) est la fenêtre la plus simple, équivalente au remplacement de toutes les valeurs d'une séquence de données, sauf N consécutives, par des zéros, ce qui fait que la forme d'onde s'allume et s'éteint soudainement :

D'autres fenêtres sont conçues pour modérer ces changements soudains, pour réduire la perte par festonnage et améliorer la plage dynamique (décrite dans § Analyse spectrale ).

La fenêtre rectangulaire est la fenêtre B -spline du 1er ordre ainsi que la fenêtre de puissance du sinus de puissance 0 .

La fenêtre rectangulaire fournit l'estimation de l'erreur quadratique moyenne minimale de la transformée de Fourier à temps discret , au prix d'autres problèmes évoqués.

Les fenêtres B -spline peuvent être obtenues par k -convolutions de la fenêtre rectangulaire. Elles comprennent la fenêtre rectangulaire elle-même ( k = 1), la fenêtre triangulaire ( k = 2) et la fenêtre de Parzen ( k = 4). D'autres définitions consistent à échantillonner les fonctions de base B -spline normalisées appropriées au lieu de convoluter des fenêtres à temps discret. Une fonction de base B -spline d'ordre k est une fonction polynomiale par morceaux de degré k − 1 obtenue par k -convolution de la fonction rectangulaire .

Les fenêtres triangulaires sont données par

où L peut être N , N + 1, ou N + 2. La première est également connue sous le nom de fenêtre de Bartlett ou fenêtre de Fejér . Les trois définitions convergent pour de grandes valeurs de N.

La fenêtre triangulaire est une fenêtre spline B d'ordre 2. La forme L = N peut être vue comme la convolution de deux fenêtres rectangulaires de largeur N / 2 . La transformée de Fourier du résultat correspond au carré de la transformée de Fourier de la fenêtre rectangulaire de demi-largeur.

En définissant L ≜ N + 1 , la fenêtre de Parzen, également connue sous le nom de fenêtre de la Vallée Poussin , est la fenêtre B -spline d'ordre 4 donnée par

La fenêtre de Welch est constituée d'une seule section parabolique :

On peut aussi l'écrire sous la forme de deux facteurs, comme dans une distribution bêta :

Le polynôme quadratique définissant atteint une valeur de zéro aux échantillons situés juste à l'extérieur de l'étendue de la fenêtre.

La fenêtre de Welch est très proche de la fenêtre sinus , et tout comme les fenêtres de puissance du sinus constituent une famille paramétrée utile, la famille des fenêtres de puissance de Welch l'est tout autant. Les puissances de la fenêtre de Welch, ou fenêtre parabolique, suivent également des distributions bêta symétriques et sont des fonctions purement algébriques (si les puissances sont rationnelles), contrairement à la plupart des fenêtres qui sont des fonctions transcendantes. Si l'on utilise des exposants différents pour les deux facteurs du polynôme de Welch, on obtient une distribution bêta générale, utile pour construire des fonctions de fenêtre asymétriques .

Les fenêtres de forme cosinus décalées d'une constante, telles que les fenêtres de Hamming et de Hann, sont parfois appelées fenêtres à cosinus surélevé. La fenêtre de Hann ressemble particulièrement à la distribution en cosinus surélevé , qui tend progressivement vers zéro à ses extrémités.

Les fenêtres à cosinus surélevé ont la forme suivante :

ou encore leurs versions à phase zéro :

Ce paramétrage produit une fenêtre de Hann :

Elle porte le nom de Julius von Hann et est parfois appelée Hanning , terme dérivé du verbe « hanner ». On la connaît également sous le nom de cosinus surélevé , en raison de sa ressemblance avec une distribution en cosinus surélevé .

Cette fonction appartient aux familles des sommes de cosinus et des puissances de sinus . Contrairement à la fenêtre de Hamming , les extrémités de la fenêtre de Hann touchent zéro. Les lobes secondaires qui en résultent s'atténuent d'environ 18 dB par octave.

En fixant le paramètre à environ 0,54, ou plus précisément à 25/46, on obtient la fenêtre de Hamming , proposée par Richard W. Hamming . Ce choix place un passage par zéro à la fréquence 5π / ( N − 1), ce qui annule le premier lobe secondaire de la fenêtre de Hann et lui confère une hauteur environ cinq fois inférieure à celle de la fenêtre de Hann. La ​​fenêtre de Hamming est souvent appelée « blip de Hamming » lorsqu'elle est utilisée pour la mise en forme d'impulsions .

L'approximation des coefficients à deux décimales réduit considérablement le niveau des lobes secondaires, jusqu'à une condition quasi équiripple. Dans ce contexte d'équiripple, les valeurs optimales des coefficients sont a ₀ = 0,53836 et a ₁ = 0,46164.

Cette famille, qui généralise les fenêtres à cosinus surélevées , est également connue sous le nom de fenêtres à cosinus généralisées.

Dans la plupart des cas, y compris les exemples ci-dessous, tous les coefficients ont _k ≥ 0. Ces fenêtres n'ont que 2 K + 1 coefficients DFT à N points non nuls .

Les fenêtres de Blackman sont définies comme

Par convention, le terme non qualifié de fenêtre de Blackman fait référence à « proposition peu sérieuse » de Blackman de α = 0,16 ( a ₀ = 0,42, a ₁ = 0,5, a ₂ = 0,08), qui se rapproche étroitement de la fenêtre de Blackman exacte [ avec a ₀ = 7938/18608 ≈ 0,42659, a ₁ = 9240/18608 ≈ 0,49656 et a ₂ = 1430/18608 ≈ 0,076849. Ces valeurs exactes placent des zéros aux troisième et quatrième lobes secondaires, mais entraînent une discontinuité aux bords et une atténuation de 6 dB/oct. Les coefficients tronqués n'annulent pas aussi bien les lobes secondaires, mais présentent une atténuation améliorée de 18 dB/octave.

La forme continue de la fenêtre de Nuttall et sa dérivée première sont continues partout, comme la fonction de Hann . Autrement dit, la fonction tend vers 0 en x = ± N /2, contrairement aux fenêtres de Blackman-Nuttall, de Blackman-Harris et de Hamming. La fenêtre de Blackman ( α = 0,16 ) est également continue et sa dérivée est continue sur les bords, mais la « fenêtre de Blackman exacte » ne l'est pas.

Une généralisation de la famille de Hamming, produite en ajoutant davantage de fonctions cosinus décalées, destinées à minimiser les niveaux des lobes secondaires

Une fenêtre à profil plat est une fenêtre partiellement négative présentant une atténuation minimale par festonnage dans le domaine fréquentiel. Cette propriété est avantageuse pour la mesure des amplitudes des composantes sinusoïdales. Cependant, sa large bande passante induit une bande passante de bruit élevée et une sélection de fréquence plus large, ce qui peut constituer un inconvénient selon l'application.

Les fenêtres à toit plat peuvent être conçues à l'aide de méthodes de conception de filtres passe-bas, ou elles peuvent être de la variété habituelle de somme de cosinus :

La variante Matlab possède les coefficients suivants :

D'autres variantes sont disponibles, telles que des lobes secondaires qui s'atténuent au prix de valeurs plus élevées près du lobe principal.

Les fenêtres de Rife-Vincent sont généralement normalisées pour une valeur moyenne unitaire, et non pour une valeur maximale unitaire. Les valeurs des coefficients ci-dessous, appliquées à l'équation 1 , reflètent cette convention.

Classe I, Ordre 1 ( K = 1) : Fonctionnellement équivalent à la fenêtre de Hann et à la puissance du sinus ( α = 2 ).

Classe I, Ordre 2 ( K = 2) : Fonctionnellement équivalent à la puissance du sinus ( α = 4 ).

La classe I est définie en minimisant l'amplitude des lobes secondaires d'ordre élevé. Les coefficients pour les ordres jusqu'à K=4 sont tabulés.

La classe II minimise la largeur du lobe principal pour un lobe secondaire maximal donné.

La classe III est un compromis pour lequel l'ordre K = 2 ressemble à la fenêtre de Blackman § .

La fonction correspondante est un cosinus sans déphasage de π /2. Ainsi, la fenêtre sinusoïdale est parfois également appelée fenêtre cosinusoïdale . Comme elle représente la moitié d'un cycle d'une fonction sinusoïdale, elle est aussi connue sous le nom de fenêtre demi-sinusoïdale ou fenêtre demi-cosinusoïdale .

L' autocorrélation d'une fenêtre sinusoïdale produit une fonction connue sous le nom de fenêtre de Bohman.

Ces fonctions de fenêtre ont la forme :

La fenêtre rectangulaire ( α = 0 ), la fenêtre sinusoïdale ( α = 1 ) et la fenêtre de Hann ( α = 2 ) sont membres de cette famille.

Pour les valeurs entières paires de α, ces fonctions peuvent également être exprimées sous forme de somme de cosinus :

La transformée de Fourier d'une gaussienne est également une gaussienne. Comme le support d'une fonction gaussienne s'étend à l'infini, il faut soit la tronquer aux extrémités de la fenêtre, soit la fenêtrer elle-même avec une autre fenêtre terminée par zéro.

Étant donné que le logarithme d'une gaussienne produit une parabole , celle-ci peut être utilisée pour une interpolation quadratique quasi exacte dans l'estimation de fréquence .

L' écart type de la fonction gaussienne est σ · N /2 périodes d'échantillonnage.

La fenêtre gaussienne confinée minimise la largeur quadratique moyenne de la bande passante _σω pour une largeur temporelle donnée ( N +1) σt _. Ces fenêtres optimisent les produits temps-fréquence-bande passante RMS. Elles sont calculées comme les vecteurs propres minimaux d'une matrice dépendant d'un paramètre. La famille des fenêtres gaussiennes confinées comprend la fenêtre sinusoïdale et la fenêtre gaussienne dans les cas limites de grandes et petites _valeurs de σt , respectivement.

En définissant L ≜ N + 1 , une fenêtre gaussienne confinée de largeur temporelle L × σ _t est bien approximée par :

où est une fonction gaussienne :

L'écart type de la fenêtre approximative est asymptotiquement égal (c'est-à-dire de grandes valeurs de N ) à L × σ _t pour σ _t < 0,14 .

Une version plus généralisée de la fenêtre gaussienne est la fenêtre normale généralisée. En conservant la notation de la fenêtre gaussienne ci-dessus, nous pouvons représenter cette fenêtre comme

Pour tout ε pair , il s'agit d'une fenêtre gaussienne. À ε = 0, elle se rapproche d'une fenêtre rectangulaire lorsque ε tend vers 0. La transformée de Fourier de cette fenêtre n'existe pas sous forme analytique pour un ε quelconque . Cependant, elle présente les autres avantages d'une bande passante lisse et ajustable. À l'instar de la fenêtre de Tukey , cette fenêtre offre naturellement un « plateau » permettant de contrôler l'atténuation d'amplitude d'une série temporelle (ce qui n'est pas possible avec une fenêtre gaussienne). En substance, elle offre un bon compromis (contrôlable), en termes de fuite spectrale, de résolution fréquentielle et d'atténuation d'amplitude, entre la fenêtre gaussienne et la fenêtre rectangulaire. Voir également pour une étude de la représentation temps-fréquence de cette fenêtre (ou fonction).

La fenêtre de Tukey, également connue sous le nom de fenêtre à profil cosinus , peut être considérée comme un lobe cosinus de largeur Nα /2 (couvrant Nα /2 + 1 observations) qui est convolué avec une fenêtre rectangulaire de largeur N (1 − α /2) .

Pour α = 0, elle devient rectangulaire, et pour α = 1, elle devient une fenêtre de Hann.

La fenêtre dite « à profil de Planck » est une fonction en forme de bosse largement utilisée dans la théorie des partitions de l'unité dans les variétés . Elle est lisse (une fonction) partout, mais vaut exactement zéro en dehors d'une région compacte, exactement un sur un intervalle à l'intérieur de cette région, et varie de manière lisse et monotone entre ces limites. Son utilisation comme fonction de fenêtre en traitement du signal a été initialement proposée dans le contexte de l' astronomie des ondes gravitationnelles , inspirée par la distribution de Planck . Elle est définie comme une fonction par morceaux :

Le degré d'atténuation est contrôlé par le paramètre ε , les valeurs plus petites donnant des transitions plus nettes.

La DPSS (séquence sphéroïdale prolate discrète) ou fonction Slepian , le cône ou la fenêtre maximise la concentration d'énergie dans le lobe principal , et est utilisée dans l'analyse spectrale multitaper , qui moyenne le bruit dans le spectre et réduit la perte d'informations aux bords de la fenêtre.

Le lobe principal se termine à une bande de fréquence donnée par le paramètre α .

Les fenêtres Kaiser ci-dessous sont créées par une simple approximation des fenêtres DPSS :

La fenêtre de Kaiser, ou fenêtre de Kaiser-Bessel, est une approximation simple de la fenêtre DPSS utilisant les fonctions de Bessel , découverte par James Kaiser .

où représente la fonction de Bessel modifiée de première espèce d'ordre 0. Le paramètre variable ^détermine le compromis entre la largeur du lobe principal et les niveaux des lobes secondaires du spectre de fuite. La largeur du lobe principal, entre les zéros, est donnée par en unités de bins DFT, et sa valeur typique est de 3.

Minimise la norme de Chebyshev des lobes secondaires pour une largeur de lobe principal donnée.

La fonction de fenêtre Dolph–Chebyshev à phase nulle est généralement définie en termes de sa transformée de Fourier discrète à valeurs réelles , :

T _{_n} ( x ) est le n -ième polynôme de Tchebychev de première espèce évalué en x , qui peut être calculé à l'aide de

et

est l'unique solution réelle positive de , où le paramètre α fixe la norme de Chebyshev des lobes secondaires à −20 α décibels.

La fonction de fenêtre peut être calculée à partir de W ₀ ( k ) par une transformée de Fourier discrète inverse (DFT) :

La version décalée de la fenêtre peut être obtenue par :

qui, pour les valeurs paires de N, doit être calculé comme suit :

qui est une DFT inverse de

Variantes :

• En raison de la condition d'ondulation équidistante, la fenêtre temporelle présente des discontinuités aux extrémités. Une approximation qui les évite, en permettant aux ondulations équidistantes de s'atténuer aux extrémités, est une fenêtre de Taylor .
• Une alternative à la définition de la DFT inverse est également disponible. [1] .

La fenêtre ultrasphérique a été introduite en 1984 par Roy Streit et a une application dans la conception de réseaux d'antennes, la conception de filtres non récursifs, et l'analyse spectrale.

Comme d'autres fenêtres ajustables, la fenêtre ultrasphérique possède des paramètres permettant de contrôler la largeur de son lobe principal (transformée de Fourier) et l'amplitude relative de ses lobes secondaires. Contrairement à d'autres fenêtres, elle dispose d'un paramètre supplémentaire permettant de régler la vitesse de décroissance (ou d'augmentation) de l'amplitude des lobes secondaires.

La fenêtre peut être exprimée dans le domaine temporel comme suit :

où est le polynôme ultrasphérique de degré N, et et contrôlent les motifs des lobes secondaires.

Certaines valeurs spécifiques de donnent d'autres fenêtres bien connues : et donnent respectivement les fenêtres de Dolph-Chebyshev et de Saramäki . Voir ici une illustration des fenêtres ultrasphériques avec différentes paramétrisations.

La fenêtre de Poisson, ou plus généralement la fenêtre exponentielle, croît exponentiellement vers son centre et décroît exponentiellement dans sa seconde moitié. Puisque la fonction exponentielle ne s'annule jamais, les valeurs de la fenêtre à ses limites sont non nulles (on peut la voir comme le produit d'une fonction exponentielle par une fenêtre rectangulaire ). Elle est définie par

où τ est la constante de temps de la fonction. La fonction exponentielle décroît comme e ≃ 2,71828, soit environ 8,69 dB par constante de temps. Cela signifie que pour une décroissance cible de D dB sur la moitié de la longueur de la fenêtre, la constante de temps τ est donnée par

Les fonctions de fenêtrage ont également été construites comme des combinaisons multiplicatives ou additives d'autres fenêtres.

Une fenêtre de Planck-taper multipliée par une fenêtre de Kaiser , définie à l'aide d'une fonction de Bessel modifiée, est utilisée. Cette fonction de fenêtrage hybride a été introduite pour réduire le niveau des lobes secondaires de la fenêtre de Planck-taper tout en conservant sa bonne décroissance asymptotique . Elle possède deux paramètres ajustables, ε ( issu de la fenêtre de Planck-taper) et α ( issu de la fenêtre de Kaiser), ce qui permet de l'adapter aux exigences d'un signal donné.

Une fenêtre de Hann multipliée par une fenêtre de Poisson . En effet, elle ne présente pas de lobes secondaires, car sa transformée de Fourier tend vers zéro loin du lobe principal, sans minimum local. Elle peut donc être utilisée dans des algorithmes de recherche locale comme la méthode de Newton . La fenêtre de Hann-Poisson est définie par :

où α est un paramètre qui contrôle la pente de l'exponentielle.

La fenêtre GAP est une famille de fonctions de fenêtrage ajustables, basées sur un développement polynomial symétrique d'ordre . Elle est continue et sa dérivée est continue partout. Avec un ensemble approprié de coefficients et d'ordre de développement, la fenêtre GAP peut imiter toutes les fonctions de fenêtrage connues, en reproduisant fidèlement leurs propriétés spectrales.

où représente l'écart type de la séquence.

De plus, à partir d'un ensemble de coefficients de développement imitant une fonction de fenêtre connue, la fenêtre GAP peut être optimisée par minimisation afin d'obtenir un nouvel ensemble de coefficients améliorant une ou plusieurs propriétés spectrales, telles que la largeur du lobe principal, l'atténuation des lobes secondaires et le taux de décroissance des lobes secondaires. Ainsi, une fonction de fenêtre GAP peut être développée avec des propriétés spectrales adaptées à l'application spécifique.

• utilisé dans le rééchantillonnage de Lanczos
• pour la fenêtre de Lanczos, est défini comme
• également appelée fenêtre sinc , car : est le lobe principal d'une fonction sinc normalisée

Conformément à la convention ci-dessus, la forme est symétrique autour de . Cependant, certaines fonctions de fenêtrage sont asymétriques, comme la distribution gamma utilisée dans les implémentations FIR des filtres gammatone , ou la distribution bêta pour une approximation à support borné de la distribution gamma. Ces asymétries permettent de réduire le délai lors de l'utilisation de grandes fenêtres, ou de mettre en évidence la phase transitoire initiale d'une impulsion décroissante.

Toute fonction bornée à support compact , y compris les fonctions asymétriques, peut être utilisée comme fonction de fenêtre. De plus, il existe des méthodes pour transformer des fenêtres symétriques en fenêtres asymétriques en transformant la coordonnée temporelle, comme par exemple avec la formule ci-dessous.

où la fenêtre accorde une plus grande importance aux premiers échantillons lorsque , et inversement, elle accorde une plus grande importance aux derniers échantillons lorsque . $1\alpha >1$1