Worldlex Wiki La fonction rectangulaire (également connue sous le nom de fonction rectangle , fonction rect , fonction Pi , fonction Pi de Heaviside , fonction porte , impulsion unitaire ou fonction boîte normalisée ) est définie comme
\\frac{T}{2} \\\\ \\frac{1}{2}, & \ ext{if } |t| = \\frac{T}{2} \\\\ 1, & \ ext{if } |t| < \\frac{T}{2}. \\end{array}\ ight." 
Les définitions alternatives de la fonction définissent comme étant 0, 1, ou indéfinie. L'aire sous la courbe ne change pas pour les différentes définitions des fonctions en .
La fonction rectangulaire peut servir de base à une onde rectangulaire .
Woodward dans « Probability and Information Theory, with Applications to Radar » comme un opérateur de découpe idéal , ainsi que la fonction sinc comme un opérateur d'interpolation idéal , et leurs opérations de contre-échantillonnage qui sont respectivement l'échantillonnage ( opérateur de peigne ) et la réplication ( opérateur de réplication ).Relation avec la fonction du wagon
La fonction rectangulaire est un cas particulier de la fonction boîte plus générale :
où est la fonction de Heaviside ; la fonction est centrée en et a une durée , de à
Transformée de Fourier de la fonction rectangulaire
Les transformées de Fourier unitaires de la fonction rectangulaire sont en utilisant la fréquence ordinaire fonction sinc et en utilisant la fréquence angulaire , où est la forme non normalisée de la fonction sinc .
Pour , sa transformée de Fourier est
Autoconvolution de la fonction rectangulaire
L' autoconvolution de la fonction rectangulaire discontinue donne la fonction triangulaire , une spline définie par morceaux qui est continue, mais non continûment différentiable . Les convolutions successives de la fonction rectangulaire produisent des impulsions définies par morceaux avec des maxima plus faibles, plus larges et plus lisses, « plus lisses » signifiant que les dérivées d'ordre supérieur sont continues.
La convolution de la fonction rectangulaire discontinue avec elle-même donne la fonction triangulaire, qui est une fonction continue :
L'autoconvolution de la fonction rectangulaire appliquée deux fois donne une spline parabolique continue et différentiablement continue :
L'autoconvolution de la fonction rectangulaire appliquée trois fois donne une spline cubique continue et différentiablement continue du second ordre :
L'autoconvolution de la fonction rectangulaire appliquée quatre fois donne une spline continue, et une spline d'ordre 4 différentiablement continue du troisième ordre :
Puisque la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire est la fonction Sinc , le théorème de convolution implique que la transformée de Fourier des impulsions résultant de convolutions successives de la fonction rectangulaire avec elle-même est simplement la fonction Sinc à l'ordre du nombre de fois où la fonction de convolution a été appliquée + 1 (c'est-à-dire que la transformée de Fourier de la fonction triangulaire est Sinc 2 , la transformée de Fourier de la spline parabolique résultant de deux convolutions successives de la fonction rectangulaire avec elle-même est Sinc 3 , etc.)
Utilisation en probabilité
Approximation rationnelle
La fonction impulsionnelle peut également être exprimée comme la limite d'une fonction rationnelle :
Fonction delta de Dirac
La fonction rectangle peut être utilisée pour représenter la fonction delta de Dirac . Plus précisément, pour une fonction , sa moyenne sur la largeur autour de 0 dans le domaine de la fonction est calculée comme suit :