Fonction sigmoïde

Une fonction sigmoïde est toute fonction mathématique dont le graphique présente une courbe caractéristique en forme de S ou sigmoïde .

Un exemple courant de fonction sigmoïde est la fonction logistique , qui est définie par la formule :

D'autres fonctions sigmoïdes sont données dans la section Exemples. Dans certains domaines, notamment dans le contexte des réseaux neuronaux artificiels , le terme « fonction sigmoïde » est utilisé comme synonyme de « fonction logistique ».

Les cas particuliers de la fonction sigmoïde incluent la courbe de Gompertz (utilisée dans la modélisation de systèmes qui saturent à de grandes valeurs de x) et la courbe d'ogive (utilisée dans le déversoir de certains barrages ). Les fonctions sigmoïdes ont un domaine de tous les nombres réels , avec une valeur de retour (réponse) généralement croissante de façon monotone mais qui peut être décroissante. Les fonctions sigmoïdes affichent le plus souvent une valeur de retour (axe des y) comprise entre 0 et 1. Une autre plage couramment utilisée est de −1 à 1.

Une grande variété de fonctions sigmoïdes, notamment les fonctions tangente logistique et hyperbolique, ont été utilisées comme fonction d'activation de neurones artificiels . Les courbes sigmoïdes sont également courantes en statistique sous forme de fonctions de distribution cumulative (qui vont de 0 à 1), telles que les intégrales de la densité logistique , de la densité normale et des fonctions de densité de probabilité t de Student . La fonction sigmoïde logistique est inversible et son inverse est la fonction logit .

Une fonction sigmoïde est une fonction réelle bornée et différentiable qui est définie pour toutes les valeurs d'entrée réelles et qui possède une dérivée non négative à chaque point et exactement un point d'inflexion .

En général, une fonction sigmoïde est monotone et possède une première dérivée en forme de cloche . Inversement, l' intégrale de toute fonction continue, non négative et en forme de cloche (avec un maximum local et aucun minimum local, sauf si elle est dégénérée) sera sigmoïde. Ainsi, les fonctions de distribution cumulative de nombreuses distributions de probabilité courantes sont sigmoïdes. Un exemple de ce type est la fonction d'erreur , qui est liée à la fonction de distribution cumulative d'une distribution normale ; un autre est la fonction arctan , qui est liée à la fonction de distribution cumulative d'une distribution de Cauchy .

Une fonction sigmoïde est contrainte par une paire d' asymptotes horizontales comme .

Une fonction sigmoïde est convexe pour les valeurs inférieures à un point particulier, et elle est concave pour les valeurs supérieures à ce point : dans de nombreux exemples ici, ce point est 0.

• Fonction logistique
• Tangente hyperbolique (version décalée et mise à l'échelle de la fonction logistique, ci-dessus)
• Fonction arctangente
• Fonction de Gudermann
• Fonction d'erreur
• Fonction logistique généralisée $0f\left(x\right)={\left(1+e^{-x}\right)}^{-\alpha },\alpha >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1cdd88719b29777a0f156de814f924f7c86e80">
• Fonction Smoothstep
• Certaines fonctions algébriques , par exemple
• et sous une forme plus générale
• Aux décalages et aux mises à l'échelle près, de nombreux sigmoïdes sont des cas particuliers de où est l'inverse de la transformation de Box-Cox négative , et et sont des paramètres de forme.
• Fonction de transition douce normalisée à (-1,1) :

en utilisant la tangente hyperbolique mentionnée ci-dessus. Ici, est un paramètre libre codant la pente à , qui doit être supérieure ou égale à car toute valeur plus petite entraînera une fonction avec plusieurs points d'inflexion, qui n'est donc pas une vraie sigmoïde. Cette fonction est inhabituelle car elle atteint en fait les valeurs limites de -1 et 1 dans une plage finie, ce qui signifie que sa valeur est constante à -1 pour tout et à 1 pour tout . Néanmoins, elle est lisse (infiniment différentiable, ) partout , y compris à .

De nombreux processus naturels, comme ceux des courbes d'apprentissage des systèmes complexes , présentent une progression à partir de débuts modestes qui s'accélèrent et se rapprochent d'un point culminant au fil du temps. Lorsqu'un modèle mathématique spécifique fait défaut, une fonction sigmoïde est souvent utilisée.

Le modèle de van Genuchten-Gupta est basé sur une courbe en S inversée et appliqué à la réponse du rendement des cultures à la salinité du sol .

Des exemples d'application de la courbe logistique en S à la réponse du rendement des cultures (blé) à la fois à la salinité du sol et à la profondeur de la nappe phréatique dans le sol sont présentés dans la modélisation de la réponse des cultures en agriculture .

Dans les réseaux neuronaux artificiels , des fonctions non lisses sont parfois utilisées pour des raisons d'efficacité ; elles sont appelées sigmoïdes dures .

Dans le traitement du signal audio , les fonctions sigmoïdes sont utilisées comme fonctions de transfert de mise en forme d'onde pour émuler le son de l'écrêtage des circuits analogiques .

En biochimie et en pharmacologie , les équations de Hill et de Hill-Langmuir sont des fonctions sigmoïdes.

En infographie et en rendu en temps réel, certaines fonctions sigmoïdes sont utilisées pour mélanger les couleurs ou la géométrie entre deux valeurs, en douceur et sans coutures ni discontinuités visibles.

Les courbes de titrage entre les acides forts et les bases fortes ont une forme sigmoïde en raison de la nature logarithmique de l' échelle de pH .

La fonction logistique peut être calculée efficacement en utilisant des Unums de type III .