Fonction logistique généralisée

Effet de la variation du paramètre A. Tous les autres paramètres sont égaux à 1.

Effet de la variation du paramètre B. A = 0, tous les autres paramètres sont 1.

Effet de la variation du paramètre C. A = 0, tous les autres paramètres sont 1.

Effet de la variation du paramètre K. A = 0, tous les autres paramètres sont 1.

Effet de la variation du paramètre Q. A = 0, tous les autres paramètres sont 1.

Effet de la variation du paramètre . A = 0, tous les autres paramètres sont 1. ${\displaystyle u <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle u }</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

La fonction ou courbe logistique généralisée est une extension des fonctions logistiques ou sigmoïdes . Développée à l'origine pour la modélisation de la croissance, elle permet de créer des courbes en S plus flexibles. La fonction est parfois appelée courbe de Richards d'après F. J. Richards , qui a proposé la forme générale de la famille de modèles en 1959.

Définition

La courbe de Richards a la forme suivante :

{\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-Bt})^{1/ u <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mi>UN</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y(t)=A+{KA \over (C+Qe^{-Bt})^{1/ u }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où = poids, taille, corpulence, etc., et = heure. Il comporte six paramètres : ${\displaystyle Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle K <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle C=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle C=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle K <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src=$
$0 v > 0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9a5b220856a9047b20d89d6c17f7724232f230"> :affecte l'asymptote à proximité de laquelle la croissance maximale se produit.
${\displaystyle Q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y(0) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y(0)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle C <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A+{K-A \over C^{\,1/ u <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mi>UN</mi> </mrow> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <mspace></mspace> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A+{KA \over C^{\,1/ u }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'équation peut également s'écrire :

{\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+e^{-B(t-M)})^{1/ u <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mi>UN</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y(t)=A+{KA \over (C+e^{-B(tM)})^{1/ u }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où peut être considéré comme une heure de départ, à laquelle . Inclure à la fois et peut être pratique : ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y(M)=A+{K-A \over (C+1)^{1/ u <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mi>UN</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y(M)=A+{KA \over (C+1)^{1/ u }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-B(t-M)})^{1/ u <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mi>UN</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y(t)=A+{KA \over (C+Qe^{-B(tM)})^{1/ u }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

cette représentation simplifie le réglage d'une heure de départ et de la valeur de à cet instant. ${\displaystyle Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La fonction logistique , avec un taux de croissance maximal à l'instant , est le cas où . ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Q= u =1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q= u =1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Équation différentielle logistique généralisée

Un cas particulier de la fonction logistique généralisée est :

{\displaystyle Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha u (t-t_{0})})^{1/ u <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha u (t-t_{0})})^{1/ u }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

qui est la solution de l'équation différentielle de Richards (RDE) :

{\displaystyle Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}} ight)^{ u } ight)Y <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>′</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>Y</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y^{\prime }(t)=\alpha \gauche(1-\gauche({\frac {Y}{K}}\droite)^{ u }\droite)Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

avec condition initiale

{\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle Y (t_ {0}) = Y_ {0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où

{\displaystyle Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}} ight)^{ u <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>K</mi> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q=-1+\gauche({\frac {K}{Y_{0}}}\droite)^{ u }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

à condition que et $0 v > 0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9a5b220856a9047b20d89d6c17f7724232f230"> $0 α > 0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd4f784b6e8bb68fa774213ceacbab2d97825dc">

L'équation différentielle logistique classique est un cas particulier de l'équation ci-dessus, avec , tandis que la courbe de Gompertz peut être récupérée dans la limite à condition que : ${\displaystyle u =1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle u =1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle u ightarrow 0^{+ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mo>→</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle nu rightarrow 0 ^ {+}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \alpha =O\left({\frac {1}{ u }} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mi>O</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>v</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha =O\gauche({\frac {1}{ u }}\droite)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

En fait, pour les petits, c'est ${\displaystyle u <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle u }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left( u \ln \left({\frac {Y}{K}} ight) ight)}{ u }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>′</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>Y</mi> <mi>l</mi> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>v</mi> <mi>dans</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>Y</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>v</mi> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mi>l</mi> <mi>Y</mi> <mi>dans</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>Y</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left( u \ln \left({\frac {Y}{K}} ight) ight)}{ u }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}} ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le RDE modélise de nombreux phénomènes de croissance, apparaissant dans des domaines tels que l'oncologie et l'épidémiologie.

Gradient de la fonction logistique généralisée

Lors de l'estimation de paramètres à partir de données, il est souvent nécessaire de calculer les dérivées partielles de la fonction logistique par rapport aux paramètres à un point de données donné (voir ). Pour le cas où , ${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle C=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/ u }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/ u }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{ u (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{ u }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial u }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{ u ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{ u }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{ u (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{ u }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{ u (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{ u }}+1}}}\\\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>K</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>B</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>ν</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mi>ν</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>ν</mi> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>Q</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>ν</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>M</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <mi>Q</mi> <mi>B</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>ν</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/ u }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/ u }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{ u (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{ u }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial u }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{ u ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{ u }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{ u (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{ u }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{ u (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{ u }}+1}}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Cas particuliers

Les fonctions suivantes sont des cas spécifiques de courbes de Richards :

Définition

Équation différentielle logistique généralisée

Gradient de la fonction logistique généralisée

Cas particuliers

Notes de bas de page