potentiel newtonien

En mathématiques , le potentiel newtonien , ou potentiel de Newton , est un opérateur du calcul vectoriel qui agit comme l'inverse du laplacien négatif sur les fonctions lisses et à décroissance suffisamment rapide à l'infini. De ce fait, il constitue un objet d'étude fondamental en théorie du potentiel . De manière générale, il s'agit d'un opérateur intégral singulier , défini par convolution avec une fonction présentant une singularité mathématique à l'origine, le noyau newtonien.Il s'agit de la solution fondamentale de l' équation de Laplace . Elle porte le nom d' Isaac Newton , qui l'a découverte et a démontré qu'il s'agissait d'une fonction harmonique dans le cas particulier de trois variables , où elle constituait le potentiel gravitationnel fondamental de la loi de la gravitation universelle de Newton . En théorie moderne du potentiel, le potentiel newtonien est plutôt considéré comme un potentiel électrostatique .

Le potentiel newtonien d'une fonction intégrable à support compactest définie comme la convolution

où le noyau newtonienen dimensionest défini par

Iciest le volume de la boule unitaire d (les conventions de signe peuvent parfois varier ; voir Evans 1998 ) et Gilbarg & Trudinger 1983 ) ). Par exemple, pournous avons.

Le potentiel newtoniendeest une solution de l' équation de Poisson

c'est-à-dire que l'opération consistant à calculer le potentiel newtonien d'une fonction est une opération inverse partielle de l'opérateur de Laplace.sera une solution classique, c'est-à-dire deux fois différentiable, siest bornée et localement höldérienne, comme l'a démontré Otto Hölder . La question de savoir si la continuité seule est également suffisante restait ouverte. Henrik Petrini a démontré le contraire en fournissant un exemple de fonction continue.pour lequeln'est pas deux fois différentiable. La solution n'est pas unique, car l'addition de toute fonction harmonique àn'affectera pas l'équation. Ce fait peut être utilisé pour démontrer l'existence et l'unicité des solutions du problème de Dirichlet pour l'équation de Poisson dans des domaines convenablement réguliers et pour des fonctions convenablement bien définies.On applique d'abord un potentiel newtonien pour obtenir une solution, puis on ajuste en ajoutant une fonction harmonique pour obtenir les données aux limites correctes.

Le potentiel newtonien est défini plus largement comme la convolution

quandest une mesure de Radon à support compact . Elle satisfait l'équation de Poisson.

au sens des distributions . De plus, lorsque la mesure est positive , le potentiel newtonien est sous-harmonique sur.

Siest une fonction continue à support compact (ou, plus généralement, une mesure finie) qui est invariante par rotation , alors la convolution deavecsatisfait pouren dehors du soutien de

En dimension, cela se réduit au théorème de Newton selon lequel l'énergie potentielle d'une petite masse située à l'extérieur d'une distribution de masse sphérique symétrique beaucoup plus grande est la même que si toute la masse de l'objet plus grand était concentrée en son centre.

Lorsque la mesureest associée à une distribution de masse sur une hypersurface suffisamment lisse(une classe Hölder) qui diviseen deux régionset, alors le potentiel newtonien deest appelé potentiel de couche simple . Les potentiels de couche simples sont continus et résolvent l' équation de Laplace sauf surElles apparaissent naturellement dans l'étude de l'électrostatique, dans le contexte du potentiel électrostatique associé à une distribution de charges sur une surface fermée.est le produit d'une fonction continue suravec lemesure de Hausdorff à -dimension , alors en un pointde, la dérivée normale subit une discontinuité de sautlors du passage de la couche. De plus, la dérivée normale deest une fonction continue bien définie surCela rend les couches simples particulièrement adaptées à l'étude du problème de Neumann pour l'équation de Laplace.