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Potentiel électrique

ou parfois [ Ce potentiel est égal à l' énergie potentielle électrique de toute particule chargée en un point donné (mesurée en joules ) divisée par la charge de cette particule...

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ou parfois [ Ce potentiel est égal à l' énergie potentielle électrique de toute particule chargée en un point donné (mesurée en joules ) divisée par la charge de cette particule (mesurée en coulombs ). En divisant par la charge de la particule on obtient un quotient qui est une propriété du champ électrique lui-même. En résumé, le potentiel électrique est l'énergie potentielle électrique par unité de charge.

Cette valeur peut être calculée dans un champ électrique statique (invariant dans le temps) ou dynamique (variable dans le temps) à un instant donné, l'unité étant le joule par coulomb (J⋅C⁻¹ ⁾ ou le volt (V). Le potentiel électrique à l'infini est supposé nul.

En électrodynamique , en présence de champs variables dans le temps, le champ électrique ne peut être exprimé uniquement comme un potentiel scalaire . Il peut en revanche être exprimé à la fois comme la somme du potentiel électrique scalaire et du potentiel vecteur magnétique . Le potentiel électrique et le potentiel vecteur magnétique forment ensemble un quadrivecteur , de sorte que les deux types de potentiel se combinent sous l'effet des transformations de Lorentz .

En pratique, le potentiel électrique est une fonction continue dans tout l'espace, car la dérivée spatiale d'un potentiel électrique discontinu engendre un champ électrique d'amplitude infinie. Notamment, le potentiel électrique dû à une charge ponctuelle idéale (proportionnel à , où est la distance à la charge ponctuelle) est continu dans tout l'espace, sauf au niveau de la charge ponctuelle. Bien que le champ électrique ne soit pas continu à travers une charge surfacique idéale , il n'est infini en aucun point. Par conséquent, le potentiel électrique est continu à travers une charge surfacique idéale. De plus, le potentiel électrique d'une ligne de charge idéale (proportionnel à , où est la distance radiale à la ligne de charge) est continu partout, sauf sur la ligne de charge.

Introduction

La mécanique classique explore des concepts tels que la force , l'énergie et l'énergie potentielle . La force et l'énergie potentielle sont directement liées. Une force résultante agissant sur un objet provoque son accélération . Lorsqu'un objet se déplace dans la direction de la force qui s'exerce sur lui, son énergie potentielle diminue. Par exemple, l' énergie potentielle gravitationnelle d'un boulet de canon au sommet d'une colline est supérieure à celle au pied de la colline. En dévalant la pente, son énergie potentielle diminue et se transforme en énergie cinétique .

Il est possible de définir le potentiel de certains champs de force de sorte que l'énergie potentielle d'un objet dans ce champ ne dépende que de sa position par rapport à celui-ci. Le champ gravitationnel et le champ électrique (en l'absence de champs magnétiques variables) sont deux exemples de tels champs de force. Ces champs agissent sur les objets en raison de leurs propriétés intrinsèques (par exemple, leur masse ou leur charge) et de leur position.

Un objet peut posséder une propriété appelée charge électrique . Puisqu'un champ électrique exerce une force sur un objet chargé, si l'objet porte une charge positive, la force sera dans le sens du vecteur champ électrique à l'emplacement de la charge ; si la charge est négative, la force sera dans le sens opposé.

L'intensité de la force est donnée par la quantité de charge multipliée par l'intensité du vecteur champ électrique.

${\displaystyle |\mathbf {F} |=q|\mathbf {E} |. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mi>q</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |\mathbf {F} |=q|\mathbf {E} |.}</annotation></semantics></math><img src=$

Électrostatique

Le potentiel électrique autour de charges ponctuelles positives et négatives distinctes est représenté par un code couleur allant du magenta (+) au cyan (−), en passant par le jaune (0). Les contours circulaires correspondent aux lignes équipotentielles. Les lignes de champ électrique partent de la charge positive et pénètrent dans la charge négative.

Potentiel électrique au voisinage de deux charges ponctuelles opposées.

Le potentiel électrique en un point dans un champ électrique statique est donné par l' intégrale de ligne

{\displaystyle V_{\mathbf {E} }=-\int _{\mathcal {C}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>V</mi><mrow><mrow><mi>E</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mo>∫</mo><mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow></msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>ℓ</mi></mrow><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V_{\mathbf {E} }=-\int _{\mathcal {C}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ; il est déterminé de manière unique à une constante près, qui est ajoutée ou soustraite à l'intégrale. En électrostatique, l' équation de Maxwell-Faraday révèle que le rotationnel ${ extstyle abla imes \mathbf {E} <semantics><mrow><mstyle><mi>∇</mi><mo>×</mo><mrow><mi>E</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle abla imes \mathbf {E} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${ extstyle V_{\mathbf {E} </span referrerpolicy=$ bien définie partout. Le théorème du gradient nous permet alors d'écrire :

{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf { abla } V_{\mathbf {E} }\, <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>E</mi></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mi>∇</mi></mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mrow><mi>E</mi></mrow></mrow></msub><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf { abla } V_{\mathbf {E} }\,}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cela signifie que le champ électrique est orienté vers le bas, c'est-à-dire vers les tensions plus faibles. D'après le théorème de Gauss , le potentiel satisfait également l'équation de Poisson . ${\displaystyle \mathbf { abla } \cdot \mathbf {E} =\mathbf { abla } \cdot \left(-\mathbf { abla } V_{\mathbf {E} } ight)=- abla ^{2}V_{\mathbf {E} }= ho /\varepsilon _{0 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>∇</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>E</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>∇</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mrow><mi>∇</mi></mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mrow><mi>E</mi></mrow></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><msup><mi>∇</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msub><mi>V</mi><mrow><mrow><mi>E</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><msub><mi>ε</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf { abla } \cdot \mathbf {E} =\mathbf { abla } \cdot \left(-\mathbf { abla } V_{\mathbf {E} } ight)=- abla ^{2}V_{\mathbf {E} }= ho /\varepsilon _{0}}</annotation></semantics></math><img src=$

où ${ extstyle \mathbf { abla } \cdot </span referrerpolicy=$ désigne la divergence .

Le concept de potentiel électrique est étroitement lié à celui d'énergie potentielle . Une charge test , , possède une énergie potentielle électrique , , donnée par

${\displaystyle U_{\mathbf {E} }=q\,V. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>U</mi><mrow><mrow><mi>E</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mi>q</mi><mspace></mspace><mi>V</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle U_{\mathbf {E} }=q\,V.}</annotation></semantics></math><img src=$

L'énergie potentielle, et par conséquent le potentiel électrique, n'est définie qu'à une constante additive près : il faut choisir arbitrairement une position où l'énergie potentielle et le potentiel électrique sont nuls.

Ces équations ne peuvent pas être utilisées si ${ extstyle abla imes \mathbf {E} eq \mathbf {0} </span referrerpolicy=$ , c’est-à-dire dans le cas d’un champ électrique non conservatif (causé par un champ magnétique variable ; voir les équations de Maxwell ). La généralisation du potentiel électrique à ce cas est décrite dans la section Généralisation à l’électrodynamique .

Potentiel électrique dû à une charge ponctuelle

située à une distance de l'emplacement de est

{\displaystyle V_{\mathbf {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>V</mi><mrow><mrow><mi>E</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi><msub><mi>ε</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mi>Q</mi><mi>r</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V_{\mathbf {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

potentiel de Coulomb . Il est à noter que, contrairement à l'intensité du champ électrique créé par une charge ponctuelle, le potentiel électrique est inversement proportionnel au rayon, et non au carré du rayon.

Le potentiel électrique en tout point d'un système de charges ponctuelles est égal à la somme des potentiels électriques individuels dus à chaque charge ponctuelle du système. Ce fait simplifie considérablement les calculs, car l'addition des champs de potentiel (scalaires) est beaucoup plus simple que l'addition des champs électriques (vectoriels). Plus précisément, le potentiel d'un ensemble de charges ponctuelles discrètes aux points devient :

${\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|}}\, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>V</mi><mrow><mrow><mi>E</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi><msub><mi>ε</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><msub><mi>q</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>−</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|}}\,}</annotation></semantics></math><img src=$

où

est un point où le potentiel est évalué ;
est un point où il existe une charge non nulle ; et
est la charge au point .

Et le potentiel d'une distribution de charge continue devient

${\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{R}{\frac { ho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>V</mi><mrow><mrow><mi>E</mi></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi><msub><mi>ε</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><msub><mo>∫</mo><mrow><mi>R</mi></mrow></msub><mrow><mfrac><mrow><mi>ρ</mi><mo>(</mo><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>′</mo></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>−</mo><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>′</mo></msup><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><msup><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mi>r</mi><mo>′</mo></msup><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{R}{\frac { ho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,,}</annotation></semantics></math><img src=$

où

est un point où le potentiel est évalué ;
est un point à l'intérieur de ) est la densité de charge au point .

Les équations du potentiel électrique présentées ci-dessus (et toutes les équations utilisées ici) sont exprimées selon le système d'unités SI . Dans d'autres systèmes d'unités (moins courants), comme le système CGS-Gauss , nombre de ces équations seraient modifiées.

Généralisation à l'électrodynamique

En présence de champs magnétiques variables dans le temps (ce qui est vrai chaque fois qu'il existe des champs électriques variables dans le temps et vice versa), il n'est pas possible de décrire le champ électrique simplement comme un potentiel scalaire car le champ électrique n'est plus conservatif : ${\displaystyle extstyle \int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell <semantics><mrow><mstyle><mstyle><msub><mo>∫</mo><mrow><mi>C</mi></mrow></msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>ℓ</mi></mrow></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle extstyle \int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf { abla } imes \mathbf {E} eq \mathbf {0} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>∇</mi></mrow><mo>×</mo><mrow><mi>E</mi></mrow><mo>≠</mo><mrow><mn>0</mn></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf { abla } imes \mathbf {E} eq \mathbf {0} }</annotation></semantics></math><img src=$

On peut néanmoins définir un potentiel scalaire en incluant également le potentiel vecteur magnétique Plus précisément, est défini de manière à satisfaire :

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf { abla } imes \mathbf {A} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>∇</mi></mrow><mo>×</mo><mrow><mi>UN</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf { abla } imes \mathbf {A} }</annotation></semantics></math><img src=$

où est le champ magnétique . D'après le théorème fondamental du calcul vectoriel , un tel peut toujours être trouvé, puisque la divergence du champ magnétique est toujours nulle en raison de l'absence de monopôles magnétiques . La quantité ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>E</mi></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></mrow><mrow><mi>∂</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}</annotation></semantics></math><img src=$ est un champ conservateur, puisque le tourbillon de ${\displaystyle \mathbf {E} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>E</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {E} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></mrow><mrow><mi>∂</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf { abla } V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}, <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>E</mi></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mi>∇</mi></mrow><mi>V</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></mrow><mrow><mi>∂</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf { abla } V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}</annotation></semantics></math><img src=$

où est le potentiel scalaire défini par le champ conservatif

Le potentiel électrostatique est simplement le cas particulier de cette définition où est invariant dans le temps. En revanche, pour les champs variables dans le temps, ${\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }} eq V_{(b)}-V_{(a) <semantics><mrow><mstyle><mo>−</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>ℓ</mi></mrow><mo>≠</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mo>(</mo><mi>un</mi><mo>)</mo></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }} eq V_{(b)}-V_{(a)}}</annotation></semantics></math><img src=$

Liberté de jauge

transformation de jauge suivante pour trouver un nouvel ensemble de potentiels qui produisent exactement les mêmes champs électrique et magnétique :

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{\prime }&=V-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\\\mathbf {A} ^{\prime }&=\mathbf {A} + abla \psi \end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mi>V</mi><mrow><mi>′</mi></mrow></msup></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>V</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>UN</mi></mrow><mrow><mi>′</mi></mrow></msup></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>+</mo><mi>∇</mi><mi>ψ</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}V^{\prime }&=V-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\\\mathbf {A} ^{\prime }&=\mathbf {A} + abla \psi \end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Selon le choix de la jauge, le potentiel électrique peut présenter des propriétés très différentes. Dans la jauge de Coulomb , le potentiel électrique est donné par l'équation de Poisson.

${\displaystyle abla ^{2}V=-{\frac { ho }{\varepsilon _{0 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>∇</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>V</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>ρ</mi><msub><mi>ε</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle abla ^{2}V=-{\frac { ho }{\varepsilon _{0}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

comme en électrostatique. Cependant, dans la jauge de Lorenz , le potentiel électrique est un potentiel retardé qui se propage à la vitesse de la lumière et qui est la solution d'une équation d'onde inhomogène :

${\displaystyle abla ^{2}V-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac { ho }{\varepsilon _{0 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>∇</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>V</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>∂</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>t</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>ρ</mi><msub><mi>ε</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle abla ^{2}V-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac { ho }{\varepsilon _{0}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Unités

L' unité dérivée du SI pour le potentiel électrique est le volt (en hommage à Alessandro Volta ), noté V. C'est pourquoi la différence de potentiel électrique entre deux points de l'espace est appelée tension . Les anciennes unités sont aujourd'hui rarement utilisées. Parmi les variantes du système d'unités centimètre-gramme-seconde figuraient plusieurs unités différentes pour le potentiel électrique, notamment l' abvolt et le statvolt .

Potentiel galvanométrique versus potentiel électrochimique

, est parfois appelé potentiel de Galvani ,

Pour en savoir plus

Politzer P, Truhlar DG (1981). Applications chimiques des potentiels électrostatiques atomiques et moléculaires : réactivité, structure, diffusion et énergétique des systèmes organiques, inorganiques et biologiques . Boston, MA : Springer US. ISBN978-1-4757-9634-6.
Sen K, Murray JS (1996). Potentiels électrostatiques moléculaires : concepts et applications . Amsterdam : Elsevier. ISBN978-0-444-82353-3.
Griffiths DJ (1999). Introduction à l'électrodynamique (3e éd.). Prentice Hall. ISBN0-13-805326-X.
Jackson JD (1999). Électrodynamique classique (3e éd.). États-Unis : John Wiley & Sons, Inc. ISBN978-0-471-30932-1.
Wangsness RK (1986). Champs électromagnétiques (2e édition révisée et illustrée ). Wiley. ISBN978-0-471-81186-2.