Potentiel vecteur magnétique

En électromagnétisme classique , le potentiel vecteur magnétique (souvent appelé A ) est la quantité vectorielle définie de telle sorte que son courbure soit égale au champ magnétique : . Avec le potentiel électrique φ , le potentiel vecteur magnétique peut également être utilisé pour spécifier le champ électrique E. Par conséquent, de nombreuses équations de l'électromagnétisme peuvent être écrites soit en termes de champs E et B , soit de manière équivalente en termes de potentiels φ et A . Dans des théories plus avancées telles que la mécanique quantique , la plupart des équations utilisent des potentiels plutôt que des champs.

Le potentiel vectoriel magnétique a été introduit indépendamment par Franz Ernst Neumann et Wilhelm Eduard Weber en 1845 et en 1846, respectivement pour discuter de la loi des circuits d'Ampère . William Thomson a également introduit la version moderne du potentiel vectoriel en 1847, ainsi que la formule la reliant au champ magnétique.

Cet article utilise le système SI.

Dans le système SI , les unités de A sont V · s · m ⁻¹ et sont les mêmes que celles de l'impulsion par unité de charge ou de la force par unité de courant .

Le potentiel vecteur magnétique, , est un champ vectoriel , et le potentiel électrique , , est un champ scalaire tel que : où est le champ magnétique et est le champ électrique . En magnétostatique où il n'y a pas de distribution de courant ou de charge variable dans le temps , seule la première équation est nécessaire. (Dans le contexte de l'électrodynamique , les termes potentiel vectoriel et potentiel scalaire sont utilisés pour le potentiel vectoriel magnétique et le potentiel électrique , respectivement. En mathématiques, le potentiel vectoriel et le potentiel scalaire peuvent être généralisés à des dimensions supérieures.)

Si les champs électriques et magnétiques sont définis comme ci-dessus à partir de potentiels, ils satisfont automatiquement deux des équations de Maxwell : la loi de Gauss pour le magnétisme et la loi de Faraday . Par exemple, si est continue et bien définie partout, alors il est garanti qu'elle ne produira pas de monopôles magnétiques . (Dans la théorie mathématique des monopôles magnétiques, est autorisé à être soit indéfini, soit à valeurs multiples à certains endroits ; voir monopôle magnétique pour plus de détails).

En commençant par les définitions ci-dessus et en se rappelant que la divergence du roulage est nulle et que le roulage du gradient est le vecteur nul :

Alternativement, l'existence de et est garantie à partir de ces deux lois en utilisant le théorème de Helmholtz . Par exemple, comme le champ magnétique est sans divergence (loi de Gauss pour le magnétisme ; c'est-à-dire ), existe toujours qui satisfait la définition ci-dessus.

Le potentiel vecteur est utilisé lors de l'étude du lagrangien en mécanique classique et en mécanique quantique (voir équation de Schrödinger pour les particules chargées , équation de Dirac , effet Aharonov–Bohm ).

Dans le couplage minimal , on parle d'impulsion potentielle et elle fait partie de l' impulsion canonique .

L' intégrale de ligne de sur une boucle fermée, , est égale au flux magnétique , , à travers une surface, , qu'elle entoure :

Par conséquent, les unités de sont également équivalentes à weber par mètre . L'équation ci-dessus est utile dans la quantification du flux des boucles supraconductrices .

Bien que le champ magnétique, , soit un pseudovecteur (également appelé vecteur axial ), le potentiel vectoriel, , est un vecteur polaire . Cela signifie que si la règle de la main droite pour les produits vectoriels était remplacée par une règle de la main gauche, mais sans modifier aucune autre équation ou définition, alors changerait de signe, mais A ne changerait pas. Voici un exemple de théorème général : le roulage d'un vecteur polaire est un pseudovecteur, et vice versa.

La définition ci-dessus ne définit pas le potentiel vecteur magnétique de manière unique car, par définition, nous pouvons ajouter arbitrairement des composantes sans boucle au potentiel magnétique sans modifier le champ magnétique observé. Ainsi, il existe un degré de liberté disponible lors du choix de . Cette condition est connue sous le nom d'invariance de jauge .

Deux choix de jauges courants sont

• La jauge de Lorenz :
• La jauge de Coulomb :

Dans d'autres jauges, les formules pour et sont différentes ; par exemple, voir jauge de Coulomb pour une autre possibilité.

En utilisant la définition ci-dessus des potentiels et en l'appliquant aux deux autres équations de Maxwell (celles qui ne sont pas automatiquement satisfaites), on obtient une équation différentielle compliquée qui peut être simplifiée en utilisant la jauge de Lorenz où est choisi pour satisfaire :

En utilisant la jauge de Lorenz, les équations des ondes électromagnétiques peuvent être écrites de manière compacte en termes de potentiels,

• Équation d'onde du potentiel scalaire
• Équation d'onde du potentiel vectoriel

Les solutions des équations de Maxwell dans la jauge de Lorenz (voir Feynman et Jackson ) avec la condition limite que les deux potentiels tendent vers zéro suffisamment vite lorsqu'ils s'approchent de l'infini sont appelées les potentiels retardés , qui sont le potentiel vecteur magnétique et le potentiel scalaire électrique dû à une distribution de courant de densité de courant , de densité de charge et de volume , dans laquelle et sont non nuls au moins parfois et à certains endroits) :

• Solutions

où les champs au vecteur de position et au temps sont calculés à partir de sources situées à une position éloignée à un moment antérieur . L'emplacement est un point source dans la distribution de charge ou de courant (également la variable d'intégration, dans le volume ). Le temps antérieur est appelé temps retardé et calculé comme

• La condition de jauge de Lorenz est satisfaite :

• La position de , le point où les valeurs de et sont trouvées, n'entre dans l'équation que dans le cadre de la distance scalaire de à . La direction de à n'entre pas dans l'équation. La seule chose qui compte à propos d'un point source est sa distance.
• L'intégrande utilise un temps retardé , ce qui reflète le fait que les changements dans les sources se propagent à la vitesse de la lumière. Par conséquent, les densités de charge et de courant affectant le potentiel électrique et magnétique à et , à partir d'un emplacement distant, doivent également être à un moment antérieur
• L'équation de est une équation vectorielle. En coordonnées cartésiennes, l'équation se décompose en trois équations scalaires : Sous cette forme, il est évident que la composante de dans une direction donnée ne dépend que des composantes de qui sont dans la même direction. Si le courant est transporté dans un fil droit, pointe dans la même direction que le fil.

Les équations du domaine temporel précédentes peuvent être exprimées dans le domaine fréquentiel.

• jauge de Lorenz ou
• Solutions
• Équations d'ondes
• Équations du champ électromagnétique

où

Il y a quelques éléments notables à propos de et calculé de cette manière :

• La condition de jauge de Lorenz est satisfaite : cela implique que le potentiel électrique dans le domaine fréquentiel, , peut être calculé entièrement à partir de la distribution de densité de courant, .
• La position du point où se trouvent les valeurs de et n'entre dans l'équation que dans le cadre de la distance scalaire de à . La direction de à n'entre pas dans l'équation. La seule chose qui compte à propos d'un point source est sa distance.
• L'intégrande utilise le terme de déphasage qui joue un rôle équivalent au temps retardé . Cela reflète le fait que les changements dans les sources se propagent à la vitesse de la lumière ; le retard de propagation dans le domaine temporel est équivalent à un déphasage dans le domaine fréquentiel.
• L'équation de est une équation vectorielle. En coordonnées cartésiennes, l'équation se décompose en trois équations scalaires : Sous cette forme, il est évident que la composante de dans une direction donnée ne dépend que des composantes de qui sont dans la même direction. Si le courant est transporté dans un fil droit, pointe dans la même direction que le fil.

Voir Feynman pour la représentation du champ autour d'un solénoïde long et fin .

En supposant des conditions quasi-statiques, c'est-à-dire

les lignes et les contours de se rapportent à comme les lignes et les contours de se rapportent à Ainsi, une représentation du champ autour d'une boucle de flux (comme celle qui serait produite dans un inducteur toroïdal ) est qualitativement la même que le champ autour d'une boucle de courant.

La figure de droite est une représentation artistique du champ. Les lignes plus épaisses indiquent les trajectoires d'intensité moyenne plus élevée (les trajectoires plus courtes ont une intensité plus élevée, de sorte que l'intégrale de trajectoire est la même). Les lignes sont dessinées pour donner (esthétiquement) l'aspect général du champ.

Le dessin suppose tacitement que , est vrai sous l'une quelconque des hypothèses suivantes :

• la jauge de Coulomb est supposée
• la jauge de Lorenz est supposée et il n'y a pas de distribution de charge,
• la jauge de Lorenz est supposée et la fréquence nulle est supposée
• la jauge de Lorenz est supposée et une fréquence non nulle, mais toujours supposée suffisamment basse pour négliger le terme

Dans le contexte de la relativité restreinte , il est naturel de joindre le potentiel vecteur magnétique au potentiel électrique (scalaire) dans le potentiel électromagnétique , également appelé quatre potentiels .

L'une des raisons pour lesquelles on procède ainsi est que le potentiel quadruple est un vecteur mathématique quadruple . Ainsi, en utilisant les règles de transformation standard du vecteur quadruple, si les potentiels électrique et magnétique sont connus dans un référentiel inertiel, ils peuvent être simplement calculés dans n'importe quel autre référentiel inertiel.

Une autre motivation connexe est que le contenu de l'électromagnétisme classique peut être écrit sous une forme concise et pratique en utilisant le potentiel électromagnétique à quatre pôles, en particulier lorsque la jauge de Lorenz est utilisée. En particulier, dans la notation d'indice abstraite , l'ensemble des équations de Maxwell (dans la jauge de Lorenz) peut être écrit (en unités gaussiennes ) comme suit : où est le d'Alembertien et est le courant à quatre pôles . La première équation est la condition de jauge de Lorenz tandis que la seconde contient les équations de Maxwell. Le potentiel à quatre pôles joue également un rôle très important en électrodynamique quantique .

Dans un champ avec un potentiel électrique et un potentiel magnétique , le Lagrangien ( ) et l' Hamiltonien ( ) d'une particule avec masse et charge sont