Potentiel vectoriel

En calcul vectoriel , un potentiel vectoriel est un champ vectoriel dont le roulis est un champ vectoriel donné. Il est analogue à un potentiel scalaire , qui est un champ scalaire dont le gradient est un champ vectoriel donné.

Formellement, étant donné un champ vectoriel , un potentiel vectoriel est un champ vectoriel tel que ${\displaystyle \mathbf {v} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle C^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {v} = abla imes \mathbf {A} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>∇</mi> <mo>×</mo> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} = abla imes \mathbf {A} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Conséquence

Si un champ vectoriel admet un potentiel vectoriel , alors de l'égalité ( la divergence de la boucle est nulle) on obtient ce qui implique que doit être un champ vectoriel solénoïdal . ${\displaystyle \mathbf {v} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle abla \cdot ( abla imes \mathbf {A} )=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∇</mi> <mo>⋅</mo> <mo>(</mo> <mi>∇</mi> <mo>×</mo> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle nabla cdot (nabla times mathbf {A}) = 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle abla \cdot \mathbf {v} = abla \cdot ( abla imes \mathbf {A} )=0, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∇</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>∇</mi> <mo>⋅</mo> <mo>(</mo> <mi>∇</mi> <mo>×</mo> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle abla \cdot \mathbf {v} = abla \cdot ( abla imes \mathbf {A})=0,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {v} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Théorème

Soit un champ vectoriel solénoïdal qui est deux fois continûment différentiable . Supposons que décroît au moins aussi vite que pour . Définissons où désigne le roulage par rapport à la variable . Alors est un potentiel vectoriel pour . C'est-à-dire, ${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3} o \mathbb {R} ^{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>:</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>→</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3} o \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {v} (mathbf {x})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \| <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>‖</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>‖</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \| o \infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>‖</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>‖</mo> <mo>→</mo> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \|\mathbf {x} \|\à \infty }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac { abla _{y} imes \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} ight\|}}\,d^{3}\mathbf {y} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>∇</mi> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>‖</mo> <mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </mrow> <mo>‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac { abla _{ y} imes \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} ight\|}}\,d^{3}\mathbf {y} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle abla _{y} imes <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>∇</mi> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle nabla _ {y} times}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {y} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {y} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {v} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle abla imes \mathbf {A} =\mathbf {v} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∇</mi> <mo>×</mo> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle nabla times mathbf {A} = mathbf {v} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le domaine intégral peut être restreint à toute région simplement connexe . C'est-à-dire que est aussi un potentiel vectoriel de , où ${\displaystyle \mathbf {\Omega } <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {Omega}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A'} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <msup> <mi>UN</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A'} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {v} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac { abla _{y} imes \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} ight\|}}\,d^{3}\mathbf {y} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <msup> <mi>UN</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>∇</mi> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>‖</mo> <mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </mrow> <mo>‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac { abla _{y} imes \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} ight\|}}\,d^{3}\mathbf {o} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une généralisation de ce théorème est le théorème de décomposition de Helmholtz , qui stipule que tout champ vectoriel peut être décomposé comme une somme d'un champ vectoriel solénoïdal et d'un champ vectoriel irrotationnel .

Par analogie avec la loi de Biot-Savart , est également qualifié de potentiel vecteur pour , où ${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <msup> <mi>UN</mi> <mo>$ ${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x}) <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} ) imes (\mathbf {x} -\mathbf {y} )}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{3}}}d^{3}\mathbf {y} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <msup> <mi>UN</mi> <mo>

${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} ) imes (\mathbf {x} - \mathbf {y} )}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{3}}}d^{3}\mathbf {y} </span referrerpolicy=$ .

En remplaçant ( densité de courant ) par et ( champ H ) par , on obtient la loi de Biot-Savart. ${\displaystyle \mathbf {j} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {v} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {H} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>H</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {H} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Soit un domaine en étoile centré au point , où . En appliquant le lemme de Poincaré pour les formes différentielles aux champs vectoriels, alors est aussi un potentiel vectoriel pour , où ${\displaystyle \mathbf {\Omega } <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {Omega}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {p} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {p} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <msup> <mi>UN</mi> <mo>‴</mo> </msup> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {v} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}s((\mathbf {x} -\mathbf {p} ) imes (\mathbf {v} (s\mathbf {x} +(1-s)\mathbf {p} ))\ ds <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <msup> <mi>UN</mi> <mo>‴</mo> </msup> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>×</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}s((\mathbf {x} -\mathbf {p} )\fois (\mathbf {v} (s\mathbf {x} +(1-s)\mathbf {p} ))\ ds}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Non-unicité

Le potentiel vectoriel admis par un champ solénoïdal n'est pas unique. Si est un potentiel vectoriel pour , alors est aussi où est une fonction scalaire continûment différentiable. Cela résulte du fait que le roulis du gradient est nul. ${\displaystyle \mathbf {A} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {v} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} + abla f, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mi>∇</mi> <mi>f</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {A} + nabla f,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette non-unicité conduit à un degré de liberté dans la formulation de l'électrodynamique, ou liberté de jauge, et nécessite de choisir une jauge .