Notation d'index abstrait

La notation d'indice abstraite (également appelée notation d'indice de dénomination de créneau) est une notation mathématique pour les tenseurs et les spineurs qui utilise des indices pour indiquer leurs types, plutôt que leurs composants dans une base particulière. Les indices sont de simples espaces réservés, non liés à une base quelconque et, en particulier, ne sont pas numériques. Il ne faut donc pas la confondre avec le calcul de Ricci . La notation a été introduite par Roger Penrose comme un moyen d'utiliser les aspects formels de la convention de sommation d'Einstein pour compenser la difficulté de décrire les contractions et la différenciation covariante dans la notation tensorielle abstraite moderne, tout en préservant la covariance explicite des expressions impliquées.

Soit un espace vectoriel , et son espace dual . Considérons par exemple un tenseur covariant d'ordre 2 . On peut alors l'identifier à une forme bilinéaire sur . En d'autres termes, c'est une fonction de deux arguments dans laquelle on peut représenter une paire d' emplacements :

La notation d'index abstraite est simplement un étiquetage des emplacements avec des lettres latines, qui n'ont aucune signification en dehors de leur désignation comme étiquettes des emplacements (c'est-à-dire qu'elles ne sont pas numériques) :

Une contraction (ou trace) tensorielle entre deux tenseurs est représentée par la répétition d'un label d'indice, où un label est contravariant (un indice supérieur correspondant au facteur ) et un label est covariant (un indice inférieur correspondant au facteur ). Ainsi, par exemple,

est la trace d'un tenseur sur ses deux dernières cases. Cette manière de représenter les contractions tensorielles par des indices répétés est formellement similaire à la convention de sommation d'Einstein . Cependant, comme les indices ne sont pas numériques, elle n'implique pas de sommation : elle correspond plutôt à l'opération de trace abstraite indépendante de la base (ou appariement naturel ) entre les facteurs tensoriels de type et ceux de type .

Un tenseur homogène général est un élément d'un produit tensoriel de copies de et de , tel que

Étiquetez chaque facteur de ce produit tensoriel avec une lettre latine en position surélevée pour chaque facteur contravariant et en position abaissée pour chaque position covariante. De cette façon, écrivez le produit comme

ou, simplement

Les deux dernières expressions désignent le même objet que la première. Les tenseurs de ce type sont désignés à l'aide d'une notation similaire, par exemple :

En général, chaque fois qu'un facteur contravariant et un facteur covariant apparaissent dans un produit tensoriel d'espaces, il existe une application de contraction (ou trace ) associée. Par exemple,

est la trace sur les deux premiers espaces du produit tensoriel. est la trace sur le premier et le dernier espace.

Ces opérations de trace sont signifiées sur les tenseurs par la répétition d'un indice. Ainsi la première trace est donnée par

et le deuxième par

A tout produit tensoriel sur un même espace vectoriel sont associées des applications de tressage . Par exemple, l'application de tressage

interchange les deux facteurs tensoriels (de sorte que son action sur les tenseurs simples est donnée par ). En général, les applications de tressage sont en correspondance bijective avec les éléments du groupe symétrique , agissant en permutant les facteurs tensoriels. Ici, nous utilisons pour désigner l'application de tressage associée à la permutation (représentée comme un produit de permutations cycliques disjointes ).

Les applications de tressage sont importantes en géométrie différentielle , par exemple pour exprimer l' identité de Bianchi . On note ici le tenseur de Riemann , considéré comme un tenseur dans . La première identité de Bianchi affirme alors que

La notation d'indice abstraite gère le tressage comme suit. Sur un produit tensoriel particulier, un ordre des indices abstraits est fixé (il s'agit généralement d'un ordre lexicographique ). Le tressage est ensuite représenté en notation en permutant les étiquettes des indices. Ainsi, par exemple, avec le tenseur de Riemann

l'identité Bianchi devient

Un tenseur général peut être antisymétrisé ou symétrisé, et il existe une notation correspondante.

Nous démontrons la notation par un exemple. Antisymétrisons le tenseur de type (0,3) , où est le groupe symétrique sur trois éléments.

De même, nous pouvons symétriser :